Problèmes de minimum et fonction noyau (f

21. L'introduction des normes |u|, nous amène à poser le problème de minimum suivant, analogue à celui qu'à considéré S. Bergman pour l'intégrale de Dirichlet (°*) :

Soit S une surface de Riemann, a un point fire de $, q un second point de S. Parmi les fonctions harmoniques u définies sur S qui y ont leurs moyennes d'ordre x bornées et qui prennent en q la valeur +, en existe-t-il qui rendent minima la norme ul, — [art] * #

Nous étudierons d’abord le cas + — 2, puisqu alors le minimum de la norme est lié, d'après F. Riesz, à des propriétés d'orthogonalité, et par suite à l'existence d’un « noyau reproduisant » (cf. Bergman [1}, Aronszajn [x }) qui se trouve être ici une fonction harmonique bornée, ce qui permet de retrouver par une autre voie certains résultats de la section précédente.

Nous désignerons par M{u) (ou Ms(u), s'il importe de préciser la surface où est définie u) la quantité |u 5 — u?(a); c’est visiblement une forme quadratique sur (HM,), dont la forme polaire sera notée

M(u, v). On a M(u, = + [+ 0) (0) — 80 —F (0): si (S,)

est une exhaustion de S, et si C, est la frontière de $,,

: dg(p; a; M(u, v)= lim == J u(p}o(p) PES: En) ;

si les représentations canoniques de Martin de u et v sont respectivement u(p) SE K(p,s)f(s)d>,(s) et vp)= JL K(p, s)g(s)d>,(s), Mu, v) ne f(s)g(s),(s) (”). Notons que M{u, 1) —u(a).

(63) L'idée de la fonction noyau k(p, q) revient à R. Barr.

(64) Cf. S. Bercman [1], L. Aucrors [6], K. I. Vrrranex [1].

(55) Le produit scalaire M(u, v) dépend évidemment du point a; si nous le notons Ma(u, v) il est clair que M,{(u, v) pour u et v fixes et p variable, est une fonction harmo-

RENE TS es a à . . dr cs 7 , “ nique de p, d’ailleurs égale à L (av) —@ — 6. On voit ainsi la possibilité de définir le « produit » de deux fonctions de (HM,) & est alors le « carré » de u. Ceci répond d’ail-

leurs à une définition générale du produit dans un espace réticulé (méthode de K. Rresz, Acta Szeged, 10, 1940, p. 1-20). Le produit de deux fonctions harmoniques quasi-bornées

u( p) ie K(p, s)f(s)dv,(s) et op) = [ Ke. Go) (s) sera défini si fg est yv;-som-

mable, par exemple si uE(HM.) et ve(HM), avec nn ie 1, et plus généralement si

68 M. PARREAU

Soit alors d — inf Mu); d'est < 1, puisque la fonction r uE(HM,), u(qg)= 1 satisfait aux conditions imposées. D’après un raisonnement classique de F. Riesz, une suite minimisante (c’est-à-dire une suite (u,) de fonctions de (HM,) telle que lim M(u,) — d) est en même temps. une suite de Cauchy, car san"

(ete) = (MC) + Mu) — Mr) € €

si M(u,) et M(u,) sont inférieurs à d+e. Elle converge donc au sens. de la norme (et a fortiori uniformément sur tout compact) vers une fonction u, qui prend la valeur 1 en get qui vérifie M(u,)— d. Si v est une fonction de (HM,) qui s’annule en q, on a alors M{u, +20) > M(u,) quel que soit À réel, de sorte que M{u,, v) —0. Il en résulte que la: fonction u, qui rend la norme |u}, minima est unique, et que pour

toute fonction ue(HM,), M(u,, u) — M{u,). u(q) ; si l’on pose

na —=0{(p) —À(p, q).

on a M{u, v,) —u(q). C'est la propriété de reproduction (‘°). Elleentraîne l’unicité et la symétrie de k(p, q), car

MOI (a 0) A0)

k(p, q) est donc, pour p fixe, une fonction harmonique de q. Suivant la terminologie de S. Bergman, nous appellerons k(p, q): la fonction-noyau relative aux moyennes quadratiques.

Si v(p) admet la représentation intégrale de Martin

KG. Sps)d(s).

et si ue(HM,) a pour mesure canonique associée f{s)d,(s) la pro-priété de reproduction se traduit par :

uE(HM%) et vE(HMy), où D et Y° sont deux fonctions convexes complémentaires, c’est-à-. dire telles que D/(t) et W/(1) soient fonctions inverses l’une de l’autre (ce qui exige que.

lim PO +).

t=> © l (55) L'existence de la fonction v, se voit aussi de la manière suivante (N. ARONSzAIN [1]) :

d’après l'inégalité de Scawarz, [u(p)| < He K(p, DA TO) RE [lu [b; u(qg), pour y

fixe, est alors une forme linéaire continue sur (HM,), donc u(q) — (u, vy).

Ma) = fs) =u(g)— fLK(g. ss) (s) :

cette égalité ayant lieu en particulier pour toute fonction f continue sur l°,on a g/(s)—K(g, s) », — presque partout. Comme g, n'est définie qu'à une équivalence près, ceci nous donne pour la fonction noyau l'expression :

(1) k(p, 9) = JL K(p, s)K(q, s)d(s).

Remarques. — 1. Si (u,) est une base orthonormale de (HM,), on. sait que X(p, q) = Ju,(p)u,(q).

2. Lorsque S est un domaine relativement compact très régulier

d'une autre surface de Riemann S*, la fonction v; est la solution du problème de Dirichlet pour S et la donnée frontière

pce. q) a a)

(d’après l'expression des fonctions K(p, s) dans le cas envisagé). Par exemple, dans le cercle unité }z << 1 A si l'on prend comme point a l'origine, R(z. 7) est la fonction harmonique qui prend au point-frontière z— ef la valeur

el} 07” < fe Fee (IE à c'est donc en

cel

3. Soit G un domaine très régulier de S, contenant le point fixe a, et soit kç(p, q) la fonction-noyau relative à G, ug la fonction

extrémale a . et dé le minimum MA(u) de Me(u) pour ue(HM, y c(q

et u(q) — 1. Lorsque G tend vers S, kc(p, q) tend vers k(p, q). En effet, Me(u) croît avec G, tant que u reste définie dans G; sa Ge G, on a donc Ma(ue) < Me(uer) < Meur), de sorte que d& croît également avec G, et a une limite finie puisque d& <dL 1. De plus, Meue, ue) — de, donc Muc —uc) < der — de : si G’ et G” sont.

deux domaines contenant G, on a Mu rt Ur) a 2er de 2dqn GET hda < £

si Gest assez grand. Par conséquent, les fonctions u; convergent en norme dans tout domaine G, du type indiqué, puisque (HM, )c, est. complet, et a fortiori convergent uniformément sur tout compact.

70 M. PARREAU

Leur limite x vérifie M) Ma(uc) Slim Mu), donc G+S

Ms(u) < Fo dé, d. Il en résulte que u est la fonction désignée plus

haut Din Fit que lim d; — d. Comme 4(p, q)— tip), on a bien le résultat annoncé.

h. SiS est une surface de Riemann régulière (%"), c'est-à-dire telle que D, x = Up: dj x} soit relativement compact pour tout 1 >> o (propriété indépendante de a), on peut encore obtenir la fonction-noyau de la façon suivante : Soit h}(p, q) la fonction harmonique de p (pour q fixe eD, ;) définie dans D, ; et prenant sur

CR tra) les valeurs g(p, qg); autrement dit, A(p, q) =g(p, q) —gx(p, q),

‘en appelant 4; la fonction de Green de D, ;. On a alors

(2) k(p, Dents 2 laCp, 9),

Supposons d’abord que $ soit un domaine relativement compact très régulier de frontière C, situé sur une surface S*. Pour À assez petit, Cu, x est formé de courbes « parallèles » à celles de C, et est mis en correspondance biunivoque avec C par les lignes de Green qui rencontrent normalement C et C,,1. Prenons comme métrique locale, en chaque point de GC, ds —|dg +idg*| (où dg désigne la différentielle de g(p, a) et dg” la différentielle adjointe), et appelons r(s, À) le point où C,, ; est coupé par la ligne de Green issue du point Pare QUE ). gts Pl Dei Le vallée

Poussin [1]) et CES) ee q)

s de C; lorsque 1—0

» de sorte que (2) résulte d’un

passage à la limite sous le signe somme dans la formule

Cp: 9) gese 2 fa09 q) np) 2

(l'intégrale est prise sur C, avec sn Venons-en au cas général. D’après ce qui précède, la fonction

(57) On peut encore exprimer la condition de régularité comme suit (cf. M. BrELoT et ‘G. Cnoquer [1]): le filtre des voisinages de la frontière idéale est régulier ; il coïncide avec le filtre de GREEN.

noyau Æ)(p, q) relative au domaine D, x est égale à © xp. q) ; d'autre part, la remarque 3 montre is lim à Rp, q) = A(p, q). La formule (2)

est alors une conséquence du Pise des accroissements finis (plus précisément une application de la règle de l'Hôpital).

22. Fonction-noyau et classification. La formule(1) montre que k(p, q) est positive. De ce fait, les fonctions v,(g), harmoniques et valant 1 en a, sont bornées dans leur ensemble en tout point q (principe de Harnack). Il en résulte que pour tout g, v, est une fonction harmonique bornée de p. D'autre part, si pour q donné »v, est constante (elle vaut alors 1}, on a u(g) — u(a) pour toute ue (HM.), d’après la propriété de reproduction. Inversement, si ceci est vrai, ONCE RAGE 1 pour tout p, de sorte que v{p)= 1. Remarquons enfin que pour q donné la condition v, — 1 , ou encore à d— 1 (u, et d ayant la même signification que plus haut).

En effet, v,——%— et u ——"%; de plus, si d—1, on à NN AO

M{u,) = M{1), d'où u,— 1, d’après l’unicité de la fonction extrémale.

En résumé :

Taéorème 16. — Soil S une surface de Riemann, a et q deux points fixes de S, , la norme [uè(a)|"® sur (HM,), et k(p, q) la fonction noyau relative à celle norme. Les propositions suivantes sont équivalentes :

a) La fonction v,(p) — k(p, q)est égale à la constante 1.

b) Parmi les fonctions ue(HM,) qui prennent la valeur 1 en q, c'est la constante 1 qui a la plus petite norme |\ul|,.

c) Le minimum de la norme, pour les fonctions considérées en b),

est égal à 1.

d) Pour toute ue(HM,), on a u(q) —u(a).

CorozLaire. — Pour qué S appartienne à Cum, à faut et il suffit que la fonclion-noyau k(p, q) soit identique à 1.

En effet, si ue(HM,) n’est pas constante, il existe un point q, de S. tel que u(q,) = u(a). Dans ces conditions, X(p, q,) n’est pas égale à 1 pour toute valeur de p, et par conséquent est une fonction harmonique bornée non constante. La fonction-noyau pouvant être définie. indépendamment des résultats de la section nr, nous obtenons ainsi une nouvelle démonstration de l'égalité Cu, — Cne-

7 M. PARREAU

Pour les applications à la classification, 1l est plus naturel de considérer, à la place de (HM,), le sous-espace V des fonctions harmoniques à moyennes d'ordre 2 bornées qui s’annulent en a, de façon à exclure les constantes autres que zéro. L'existence d'une fonction-noyau k(p; 4, q) relative à V se démontre par les mêmes moyens que précédemment, mais il est facile de voir que -k(p; a, q)—k(p, g) — 1 (car v, — 1 appartient à V,et y possède la propriété de reproduction). Comme plus haut, la fonction-no yau de V est étroitement liée à un problème de minimum. Si nous prenons pour q un point fixe b, il nous faudra distinguer ici deux cas, selon qu'il existe ou non des fonctions de (HM,) qui prennent en a et b des valeurs différentes. S'il en existe (alors d < 1), la fonction qui donne , Sa valeur minima (parmi les ueV telles que u(b)—1 est a de etle mininum RON A ETES ee : Es. EP s’il n'en existe pas, le problème de minimum n’a plus de sens, mais on est conduit à poser d' — +, puisque toute fonction harmonique w qui vaut o en a et 1 en b vérifie Ms(u)— + «.

Lorsqu'on approche S par l’ensemble (filtrant pour €) des domaines relativement compacts très réguliers G contenant a et b, la distinction entre les deux cas est plus évidente que précédemment: En effet, s’il existe une fonction ue(HM,) telle que u(a)£ u(b), on peut toujours supposer que w(a)—o et u(b}—1; on a alors

si cette condition est remplie, les Dao extrémales uç convergent vers une limite qui est la fonction extrémale pour S (même te tration que plus haut).

La condition sa ds —+ 0 s'écrit encore pe EE 0 ”

ME ° Mo) =" = kédyc (où C est la frontière de G, et dyg la différen-

posant pour te ke k(p ; a, b)), puisque or

tielle “or de — dg(p, a; G)); on a donca fortiori, grâce à l’inégalité de Schwarz, lim = | lkedye — 0. Cette condition est équivalente G c

à la précédente, car elle exprime que la meilleure majJorante harmonique de |k;| dans G tend vers o en a, donc uniformément sur tout <ompact. De plus, Le 2a0p: a G)2L0g(p D; G) __ogCp. Cie On dy dy dv :

reconnaît là la dérivée normale de la fonction-noyau *g(p ; à, b)

relative à (HD)n V et à la norme VD(u) (cf. Bergman 1] Abhlfors [6], Virtanen [1]). On peut donc énoncer :

Taéorème 17. — Pour que $ appartienne à Cup, ü faut et ilsufjit que pour tout couple (a, b) de points de S, on ait, lorsque G décrit l’ensemble filtrant des domaines relativement compacts très réguliers contenant a et b

: , |dx OUR (3) lim f. PAL €: D US — 0.

Il suffit évidemment qu'on ait(3) pour a fixe et tous les points b d'un ensemble non rare de points de S.

23. Les résultats précédents s'étendent en partie aux espaces (HM,), lorsque >: > 1. En effet, dans ce cas, l’espace (HM,) est uniformément convexe et complet (puisque CE v,) l'est); cela signifie que pour tout & => o, il existe un nombre À(£), tendant vers o avec e, tel que, pour u et ve (HM,), les conditions dut; RE > 1— (€) entraînent |u—v|, Le.

(°4 Soit alors q un point fixe de S, et d— inf |. Du fait de uE(HM), u(q)= 1 la convexité uniforme, une suite minimisante est une suite de Cauchy (cf. Garabedian[1]), de sorte que la valeur d est atteinte pour une fonction u, de la famille considérée.

Pour toute ve(HM,) qui s'annule en q, et tout À réel, on a donc fu, +, >|lulk. Si fd, et gd, sont les mesures canoniques associées à u, et v respectivement, il vient

Li ge, > fi, : autrement dit, pour v fixe,

40 = fo If, +9 de o(1) on peut dériver sous le signe somme, car pour 0 b< a, on à at— ba <a a*7'(a—b), de sorte que si À majore |} et 1,

a tag)

oh < 1 et

«dy, est minima pour À — 0. Or, dans l'expression

le théorème de Lebesgue permet alors de passer à la limite, et l’on a

O)=a fol +98 "sen (+29) g de.

7h M. PARREAU

La propriété de minimum implique donc que pour toute ge{#(T"; »,)

et vérifiant Le K(q, s)g(s)d (s)—0, on a f. | fe" sgn f,gdv, — 0. Si u(p) = FK( (p, s)f{s)d (s) est une fonction quelconque de

(EM, ), NO ORGUS, u, est nulle en g; par conséquent, l'égalité

que nous venons d' bte nous donne plus généralement, Role que soit fEL”(l". »,):

LA sen fé = AFS). Ka: SAS) CS). [Kg LKG SE,

On voit ainsi que la fonction extrémale x, est bornée, et qu'elle n'est constante que si K(g, s)— 1 » presque partout (auquel cas toute fonction quasi- HR sur S prend la même valeur en «a et en q).

On montrerait sans peine la convergence des fonctions extrémales u4 et des minima d relatifs à des domaines d’approximation G de S: on pourrait également poser le problème de minimum pour le sous-espace de (HM,) formé par les fonctions qui s’annulent en «& (ce qui permet de retrouver l'égalité Cum, — Cus)-

Ce que es) » -presque partout.