CLASSIFICATION DES SURFACES DE RIEMANN CRITÈRES ANALYTIQUES

1. — Fonctions analytiques à moyennes bornées et classes définies à partir de ces fonctions.

Nous allons entreprendre à propos des fonctions analytiques uniformes sur une surface de Riemann une étude analogue à celle que nous avons faite pour les fonctions harmoniques. Les fonctions considérées seront soit partout régulières (autrement dit holomorphes), soit régulières en dehors de pôles isolés (autrement dit méromorphes). Nous commencerons par étudier les moyennes des fonctions holomorphes.

1. Moyenne d’une fonction analytique dans un ouvert annulaire. — Soit Q un ouvert annulaire de frontière C — C, u C,, sur une surface de Riemann S (cf. chap. ur, n° 1); soit æ la fonction harmonique dans Q qui s’annule sur C, et prend sur C, la valeur constante

ù : : : sn A > 0 telle que je ds 1, et soit Le la différentielle adjointe à dx.

Si f est une fonction holomorphe dans Q, et « un nombre => o, nous appellerons moyenne d'ordre à de f dans Q la fonclion de x définie dans (0, À) par :

mO)=m, A, f, Q)= (Fr)

Nous savons déjà que pour x>1 cette fonction est convexe. Mais l'analyticité de f nous permet d'établir pour m, une propriété plus précise. En effet, log|flest sousharmonique : | f| cu une fonction

PL au sens de M. Montel (cf. Montel [1}, Rado [2]). Or, on a:

Taéorème 18. — Soil u une fonction PL dans l’ouvert annulaire Q.

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Pour tout «=> 0, log m,(X, u) est une fonction convexe de X\ pour Oo

On peut supposer dans la démonstation que « — 1 et que v—logu est harmonique (sinon, on remplacera v par sa meilleure majorante harmonique dans PR pour tout couple (à,, À) tel que DRE A) SN) PAST) = fe'dy, il suffit de vérifier que mOn) — m1) est > 0. Or

mm — m° = fédy fe + D o-(Jenar) A omme fe AN y = — T4 Me ly

dv \° = ei dy, 2 2 d 2

on à num = f ed. fe[() +) Jo (feu) >o

d'après l'inégalité de Schwarz. L'égalité ne peut avoir lieu qui si dv

ee o ; v est alors une fonction linéaire de x. Comme plus haut, on peut remplacer Q par un domaine G pointé

en a, et définir les moyennes à l’aide de la fonction de Green g(p, a; G).

2. Fonctions analytiques à moyennes bornées. — Soit f une fonction holomorphe sur la surface de Riemann $ tout entière. Si S, est un domaine canonique fixe de $S, et S, un domaine canonique variable contenant S,, la condition nécessaire et suffisante pour que les moyennes m, (1, : S, —S,) restent bornées par un nombre ne dépendant que de S, est que |f} admette une majorante harmonique (théorème 3). Nous dirons alors que f a ses moyennes d'ordre x bornées sur S, et nous appellerons (AM,,) l’ensemble des fonctions holomorphes sur S qui possèdent celte propriété. Quel que soit «, (AM,) est un espace vectoriel complexe, car [f +fF<A{(fF+If"), avec A,—Max(1, 2*°'). Pour « >1, la relation fe(AM,) équivaut à R/ECHM,,) et Jfe(HM,); de plus, (AM )}, muni de la norme

|fl L=[|fF(a)]l", où a est un point fixe de S, est un espace de

(65) C£. G. H. Haroy [1], F. Rresz [1], [2], P. Monrez [1].

MOYENNES DES FONCTIONS HARMONIQUES ET ANALYTIQUES ph

Banach (même démonstration que pour les espaces de fonctions harmoniques). Si o <a <<, m,(x, f) est inférieur à m g(. f), de sorte que (AM,) 5 (AM:). Enfin, si nous désignons par (AB) (resp. (AD) l’ensemble des Fe tu holomorphes sur S et bornées (resp. à intégrale de Dirichlet finie), nous avons évidemment (AB) c (AM) pour tout «, tandis que (AD) c(AM,), puisque (HD) c (HM,).

Dans le ur unilé, les fonctions holomorphes à moyennes d'ordre : bornées sont celles pour lesquelles l'intégrale / | ftre) | dp

reste bornée quand r— 1; les espaces (AM,) se confondent donc avec les classes de Hardy(”). Considérons alors une surface de

Riemann quelconque S, et son revêtement universel S, identifié à

{12} 1}. Si p(z) est la projection de z€$ sur S, et G le groupe de substitutions linéaires qui laissent invariante la fonction p(z), on voit comme au Chap. 11, n° 8, que les fonctions de (AM, correspondent de façon biunivoque aux fonctions automorphes par rapport au groupe (; qui appartiennent à la classe de Hardy (AM, );. Lorsque x >1, nous prendrons dans (AM, la norme classique, et dans (AM), la norme relative au point a —p(o); une fonction à moyennes d'ordre + bornées sur S et la fonction automorphe associée auront alors même norme. On peut donc étendre à une surface de Riemann quelconque le théorème de M. Riesz sur les fonctions conjuguées

(M. Riesz|1 |) :

Taéorème. — Six esl => 1, il exisle une constante B, telle que, pour toute fonction holomorphe f —u +. iv appartenant à (AM) et vérifiant (0) — 0, on ait |\v|, LB, ||u|,.

En appliquant ce résultat aux fonctions d'une exhaustion (S,) deS, on obtient :

CorozLaire. — Si pour « => 1 la parlie réelle d’une fonction holo-

morphe f appartient à (HM,,), f apparlient à (AM,).

3. Las d'ordre zéro et classe (AM). — Revenons à Re Q du n° r. Si « tend vers Oo, m (x, f; Q) tend vers la limite LOAEES - log fidy), qui est encore une fonction

multiplicativement convexe de à, et qu'on peut appeler moyenne d'ordre o de f dans Q("). Si S, est fixe et 5, variable > Do les

| (6) G. H. Haroy [1], F. Rresz [1].

(9) Cf. Harpyx, Lirrcewoop et PoLxa, Inequalities, Cambridge, 1934.

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moyennes m,(Xx, f: S,—S,) restent bornées si, et seulement si, log|f| admet une majorante harmonique. La condition de borne ainsi obtenue pour f est peu maniable, et n'offre guère d'intérêt pour la classification. En effet, elle ne se conserve pas par addition, et surtout elle n’impose aucune limitation à la nature de la surface S ou à la croissance de f au voisinage de la frontière idéale; elle signifie simplement que les zéros de f sont assez rares (si S est parabolique, elle exprime que f ne s ‘annule pas; si S est hyper-

bolique, que la série 2 g(p, b;), construite avec les zéros de f,

converge ("')). Nous définirons donc les fonctions «à moyennes d'ordre o bornées» par une condition plus restrictive que la précédente: nous appellerons ainsi les fonctions f pour lesquelles log |f| possède une majorante harmonique positive sur S (ce qui implique que S est hyperbolique). Il revient au même de dire que la fonction automorphe associée à f (voir le numéro précédent) a sa fonction caractéristique de Nevanlinna bornée, puisque, pour une fonction holomorphe dans f|2| < 1}, cette caractéristique est la

moyenne de log|f|.

L'exemple du cercle unité montre qu'on impose aux fonctions f une restriction inutile en supposant qu'elles sont holomorphes. Nous étendrons donc notre définition aux fonctions méromorphes, de la façon suivante:

Dérinirion 1. — Nous dirons qu'une fonction méromorphe sur

une surface de Riemann S appartient à la classe (AM, ) si log \f| admet une majorante harmonique sur la surface S' oblenue en 6tant deS les

pôles c, de f, ou, ce qui revient au même, si log \fl admet une majorante surharmonique sur $.

Montrons l’équivalence des deux conditions. Si la fonction log || est majorée sur S par la fonction surharmonique V, elle l’est à fortiori sur 5’, où elle est sousharmonique; elle y admet donc

une majorante harmonique. Inversement, supposons log| fl inférieur sur S à la fonction harmonique H. D’après le principe de Picard, H est prolongeable sur S en une fonction surharmonique de la forme

(7) Si log] f|a une majorante harmonique U, on a, pour tout domaine relativement

compact F de S, log |f(p)|+ > g(p; bj; G)<L U(p). On en déduit que DrC2 b;) est bjec }

inférieur à U(p)—log|f(p)|. Le mot « converge » signifie ici : n’est pas identique à

+ co, donc est + hors des b;.

D x (Ps Cx) + h, h étant une fonction harmonique positive régulière

sur S, et }, un nombre supérieur à l’ordre du pôle c,. Il en résulte

que la série D g(P; Cx), dans laquelle chaque pôle est compté avec son

ordre de multiplicité, est convergente. Nous avons vu que la série

des fonctions de Green des zéros de f, > g(p, b;), converge également. j

La fonction harmonique (1) DOTE EDEN Z b)— 2 gp; cr),

régulière sur S, est majorée par À, d’après le théorème 1 * ; elle appartient donc à (HM,), et log| f| est la différence de deux fonctions surharmoniques posilives, Lie D g(p, ©) et ton g(p: b;). B j Réciproquement, si log|f|— V, — V,, avec V, et V, surharmoniques

à >o, ona log\f|< V,. Donc:

TuÉéorèME 19. — Pour que f apparlienne à (AM), il faut et il suffit que l’une des deux conditions (équivalentes) suivantes soit remplie :

a) log|f| est la différence de deux fonctions surharmoniques posilives ;

b) les séries 29(p: b;) et D9(P: cx), construiles respectivement avec

les zéros et les Düles de f, Es convergentes, et la fonction (1) appar-

tient à (HM).

La définition 1, et l'inégalité

log|f, +f]< ER AU OteS

impliquent que (AM) est un espace vectoriel complexe ; c’est même un corps, puisque le produit et le quoüent de deux fonctions de (AM) sont dans (AM,), d’après la condition a) du Dore 19. En af +

af He

soient les constantes complexes à,, à,, a, a,. Si l'on désigne par zj(w) les zéros de f(p) — w, la série Ÿ g(p, z;(w)) converge pour toute

valeur complexe w("*). Enfin, pour #>0, (AM, )e (AM), car log fI< ISF.

particulier, si fe(AM,), il en est de même de — * quelles que

(F2) En excluant le cas trivial f(p) = w.

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Examinons maintenant le comportement d’une fonction de (AM) au voisinage d'une singularité isolée. Soit g un point de S, 5’ la surface S—{aq}, et f une fonction de (AM )s. Le point q ne peut être limite de pôles de f, sans quoi la série 2 JP: Cx) ne convergerait

pas, une infinité de ses termes tendant vers g(p, q). Il existe alors

un voisinage V de q tel que, dans Ne pe logl fl ait une majorante harmonique H—h+-Kg(p, q), h étant harmonique dans V et K=>o; f a donc un pôle d'ordre K au plus en q. Si f(AM, )s, q est un point régulier pour f, car on ne peut avoir |fF<h+Kg(p, q), que si f est bornée au voisinage de g. Ceci montre en particulier qu'il est inutile d'étendre aux fonctions méromorphes la notion de fonction à moyennes d'ordre + bornées, comme nous l'avons fait pour les moyennes d'ordre 0. De plus, notre définition large de la classe (AM, ) nous permet d'exprimer de manière simple le Re précédent :

Toute fonction qui est de la classe (AM) au voisinage d'un point q, ce point exclu, est prolongeable au point g, et son prolongement est encore de la classe (AM, ).

Cette proposition est un cas particulier du théorème suivant :

Tuéorème 20. — Soient S une surface de Riemann, E un ensemble fermé de capacité nulle sur S, et S’ la surface S-E. Si une fonction f appartient à (AM, }s, elle est prolongeable sur E, et la fonction prolongée appartient à (AM, )s.

Nous supposerons non constante ; S est alors hyperbolique. En adjoignant à E les zéros et les pôles de f, on obtient encore un ensemble fermé de capacité nulle ; on peut donc toujours supposer que f ne s’annule pas et ne on pas infinie dans S’; log [fl est alors harmonique sur S’, et, comme cette fonction appartient à (HM,)s; elle est de la forme UF +}, où he(HM , s et UF est le potentiel de Green (pour S) d'une mesure y. portée par E (cf. M. Brelot |3], théor. 2). L’uniformité de la fonction f se traduit par les relations :

(2) dk (+= (mode us)

pour tout cycle C de S’ ; en particulier, si C est le bord d’un compact de S, on a:

(2) ns

—— ds =0 (mod. 27) a dv

puisque alors ds — 0. En vertu du théorème de Gauss sur le flux, la mesure -# d’un domaine relativement compact très régulier de S dont la frontière C ne rencontre pas E est donc un nombre entier. Or, il est facile de voir (‘*) qu’un domaine quelconque peut être approché de l’intérieur par des domaines du type indiqué, de sorte que la propriété d’avoir une mesure -y. entière est vraie pour tout domaine, donc pour tout ouvert, et finalement pour tout ensemble y-mesurable. Elle est alors vraie pour * et u— (d’après la formule mi (A)=sups(B)). Si p est un point quelconque de $, et æ

si { est le paramètre local en p (ce point correspondant à {— 0), On ag (p)=hmy (lt ri): Il en résulte que si p appartient au r > O0

support de »*, la mesure comporte une masse ponctuelle en p; la même chose étant vraie pour 7, on voit que » est de la forme Dm, —Y nr, avec des m, et n; entiers => 0 ; l'ensemble formé par : -

les points c, et b; nécessairement discret. Si l’on pose : G)logi f(p)} = A(p) + Up) = A(p) + ZE mug(p, cx) — > n:g(p; bj)

cette égalité définit partout sur S une fonction analytique f(p), qui est uniforme à cause des relations(2}), et qui est égale à f sur S’. La formule(3) montre que f E(AM,)s (théorème ne si JAM, )s', le prolongement est holomorphe, et fe(AM,)s, pour les mêmes raisons que plus haut.