Fonction caractéristique

4. Fonction caractéristique d’une fonction méromorphe sur une surface régulière. — Les considérations du numéro précédent nous amènent à étendre à une surface de Riemann quelconque la notion de fonction caractéristique de Nevanlinna d'une fonction méromorphe (‘*). Nous le ferons en deux étapes, en supposant d'abord que la surface considérée est hyperbolique et régulière (cf. Chap. mm n° 21). Nous prendrons sur S un point fixe a; nous appellerons g(p)

(3) Pour cela, on utilisera la propriété suivante, due à Leseseur (cf. M. Breor[2]) : tout point de E est le centre de circonférences arbitrairement petites ne rencontrant pas E.

. (75) CF. R. NevanuinNa [1], BE Une telle extension a été faite dans le plan par Guxnar AF Häczsrrôm [1].

82 M. PARREAU

la fonction de Green du pôle a, D, le domaine {g(p) she C, sa frontière, et dA(p) la différentielle adjointe à — 7 |

rontière, et dh(p) la différentielle adjointe à Le da(p)

Soit donc f(p) une fonction méromorphe sur 5, ayant pour zéros les points b; et pour pôles les points c,. La fonction

U(p)=lg|f@)+ 2 30: 6: D) — à g(p; cx: D,) est harmo- =) KE nique régulière dans D, ; sa moyenne par rapport à g est U, (a). On a ainsi, lorsque f(a) 0, , G)logf(a}= f log f(p)dh(p)— 3 [ab)—2]+ À [g()— À. / CG bjED, ED,

C’est la formule de Jensen. Si f a en a un pôle d'ordre m ou en zéro d'ordre -m, le calcul de U,(a) montre que la formule (1) doit être remplacée par :

Go HE eee Cl Fe Jeoelf (pidh(p}— 2 [9()—2] + a [g(cx) — 2] — ma,

ED

l'accent placé après le Ÿ indiquant que la sommation porte sur les zéros ou les pôles différents de a. Si nous désignons par n(1, f) le

nombre des pôles de f dansfg(p) >2$, et si nous posons, avec R. Nevanlinna :

NG EE [ot A] —n(e, 9:

= fo {ne P)—n(co, fyjde— n(e, FN, mQ f)= fe 1o8 (f(p}dh(p) et TG PNG, f)+mO, f)

les formules (1) et (1’) peuvent se mettre sous la forme :

(2) TO, D=TÉ, 7 )+ Ce

Quand nous ne nous occuperons que d’une seule fonction méromorphe f(p), nous utiliserons les notations n(x, w), N(, w), m(x, w),

… à la place d is ose es etc... à la place de Lo) NO) (te =) etc...

lorsque w est un nombre complexe quelconque(*). Pour tout #, on a alors la relation :

(4) NO, w)+ mx, w) — TO, PH} LOG), qui exprime le premier théorème fondamental de R. Nevanlinna.

La fonction T(A, f) sera appelée la fonction caractéristique de f. Elle possède les propriétés classiques: elle croît quand x décroit (c'est-à-dire quand D, croît); elle est convexe en à. En effet, si

te: log|/(p) — à EI Cx Dy) est sous-harmonique dans D,, et sa moyenne sur or est égale à m(X, f) + NQ, f) — Nu, f). Or,

une telle moyenne a 1e propriétés indiquées (Hiobeone 3). Rappelons qu'on peut également définir une autre fonction caractérislique, qui ne diflère de la première que par une quantité bornée

(cf. T. Shimizu [1] et L. Ablfors [1], [3]). Soit [w,, w,] —

Verne F éonas la distance sphérique cordale de deux nombres complexes, et soit : HO Ne 10 ER log dh(p). D'après le théorème de la ue Ep tne

variation de l'argument, on a pour deux valeurs quelconques w,, w,.

[re w,) eV w,)| —=n(à, w}—n(X, w,).

En intégrant cette égalité, et en posant, lorsque w = f{a),

(3) TO, w)= NO, w) + mr, w)—log = — FC F1 CN),

on obtient T'(2, w,)—= T*(à, w,). T* (à, w) ne dépend donc pas de w; nous le noterons désormais T*(2), et nous l’appellerons fonction caractéristique d’Ahlfors de f. Si nous calculons T*(1) en prenant w — wo, nous obtenons aisément :

TG) log 1 HI << T'C) LT, f)— log 1 HG) + log 2.

(*) Cela ne risque pas de créer de confusion, car on n’aura presque jamais à considérer la caractéristique d’une fonction constante.

(5) Si w — f(a), on remplace la constante log

Lo), u] lim (n(, w)g(p) —log[f(p), w]).

pa

8/4 M. PARREAU do(w) + et

par conséquent l'intégration de | égalité(3) nous donnera:

D'autre part, soit Hors ; l'élément d’aire sur la sphère

de Riemann. La quantité | log dr(w) ne dépend pas de w,

(4) een an ie w) dr(w).

On a ainsi: