Notion de surface de Riemann

1. Nous rappellerons tout d’abord la notion de surface de Riemann & abstraite », due essentiellement à Hermann Weyl et maintenant classique (*).

Une surface de Riemann $ est définie par la donnée d'un espace topologique connexe, plus précisément d’une variété topologique à deux dimensions réelles, et d’une structure analytique complexe sur cette variété. On définit une telle structure en associant à tout point P de S une classe %(p) de fonctions à valeurs complexes, dont chacune est définie dans un voisinage de p, de façon que soit vérifiée la condition suivante :

Pour tout point p,eS, il est possible de trouver une fonction le.(p,) et un voisinage V de p,, tels que:

1° L'application p — {(p) soit un homéomorphisme de V sur un ouvert du plan complexe, qu’on peut toujours supposer être le cercle unité{|é| << 1}. On peut également supposer que {(p,)— 0.

2° La condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction f à valeurs complexes, définie au voisinage de peV, appartienne à J(p), est que f{p(t)) soit une fonction analytique de {, au voisinage de {(p).

Une fonction fe/b(p) est dite analytique en p; { est l’uniformisante locale, ou paramètre local.

2. Il est facile de passer de cette définition intrinsèque à la définition « géométrique » de Rado, dans laquelle la structure analytique

(5) Cf. H. Wexz [1], T. Rapo [1], et pour des variétés quelconques, C. CHEvALLEY, Theory of Lie Groups, 1, Princeton, 1944.

6 M. PARREAU

complexe est donnée au moyen d’un recouvrement (V) de S par des domaines élémentaires V, dont chacun est appliqué par une transformation topologique Ty sur le cercle unité{}{| << 1 de façon que soit satisfaite la condition de conformité :

Si Von V,-og, et si G est un domaine contenu dans V,n V,, Tv,o Ty! est une application biunivoque et conforme directe de Ty (G) sur Ty(G).

D'après un théorème important de T. Rado, selon lequel toute surface de Riemann est réunion dénombrable d’ensembles compacts, on peut se borner à considérer des recouvrements (V) dénombrables, chaque V étant relativement compact. On obtüent alors la définition de R. Nevanlinna ([3], [4}).

Rappelons qu’une surface de Riemann est dite close quand elle est compacte (et alors recouvrable par un nombre fini de domaines V), ouverte dans le cas contraire.

Étant donné une surface ouverte S, nous appellerons exhaustion de S une suite de domaines relativement compacts S,, tels que S,cS,,,, et que tout compact de S soit contenu dans $, à partir d'un certain rang.

IL est à peu près évident qu'on peut imposer aux S, diverses conditions de régularité (différentiabilité ou analyticité des courbes frontières ; absence de « frontière intérieure »).

Dans la pratique, on use souvent de la même notation pour désigner un point de la surface de Riemann et le paramètre correspondant. De même, on appelle cercle sur la surface un domaine élémentaire au sens de Rado, c'est-à-dire un domaine qui admet pour image un cercle dans le plan d'un paramètre. On peut ainsi considérer une surface de Riemann ouverte comme la réunion d’une infinité dénombrable de « cercles-paramètres », reliés entre eux par des relations d'incidence.

3. Soient S et S’ deux surfaces de Riemann, et soit o une application de S dans S’. On dira que » est une application conforme si :

1° west continue

2° quel que soit peS, on a, pour toute J'EV(o(p)) f'opeh(p), avec des notations évidentes.

S1 o est une application biunivoque de $ sur S’, telle ques ‘soit également conforme, les surfaces S et S’ seront dites conformément équivalentes, eton ne les considèrera pas comme distinctes.

Étant donné une application conforme de S dans S’, on dit

encore que (S, ©) définit un recouvrement de S'();1p'—=o(p) est alors considéré comme la projection de p sur S’. Si {et l’ sont les paramètres locaux en p et p’ respectivement, {’ est une fonction

analytique de f, d'après la condition 2° précédente. se SM

l’est univalente au voisinage de {(p), donc inversible, et la corres- V4

pondance p — p’ est localement biunivoque et bicontinue ; si … — 0,

on dit que p est un point de ramificalion du recouvrement, son ordre est celui du zéro de la dérivée.

4. Un recouvrement non ramifié constituera un revêtement, au sens topologique du terme, s'il est régulier (c’est-à-dire si pour tout domaine D’ de $’, toute composante connexe de o7'(D') est appliquée par © sur D’). Inversement, tout revêlement topologique d’une surface de Riemann est susceptible d’une structure analytique complexe, par image réciproque. D'une façon plus générale, soit S une variélé topologique à deux dimensions réelles, $’ une surface de Riemann, © une application continue de S dans S’. Pour qu'on puisse définir par S une structure analytique complexe, pour laquelle soit une application conforme, il faut et il suffit que o soit une transformation intérieure au sens de Stoïlow: l’image d’un ouvert doit être un ouvert, celle d’un continu non ponctuel doit être un continu non ponctuel. La suffisance de ces conditions résulte des travaux de Stoïlow ([1], p. 110: inversion locale des transformations intérieures). On voit ainsi la possibilité de doter d’une structure de surface de Riemann toute surface de recouvrement (ramifié) du plan complexe, définie à priori par la donnée des points de ramification et des lignes de passage. On peut appliquer aussi le résultat précédent au problème de l’uniformisation (on obtient le «principe de Kœbe», qui ramène le problème analytique à un problème topologique).