Problème de Dirichlet

5. Une fonction à valeurs réelles, définie au voisinage d’un point p d'une surface de Riemann, sera dite harmonique en ce point si elle coïncide au voisinage de p avec la partie réelle d’une fonction de

(6) Le terme recouvrementayant un sens différent en théorie des ensembles, il vaudrait mieux l’éviter et dire revêtement ramifñé. Toutefois, nous nous conformerons à la terminologie consacrée par l'usage, réservant le mot revêtement au cas non ramifié.

te) M. PARREAU

cb p) ; il revient au même de dire que c’est une fonction harmonique du paramètre local. Une fonction harmonique en tout point d'un ensemble ouvert sera dite harmonique dans cet ouvert.

On définira les fonctions surharmoniques ou sousharmoniques sur la surface de Riemann de la même façon que dans le plan (cf. Rado (a))5 par exemple une fonction surharmonique dans un ouvert G de S est une fonction f semi-continue inférieurement, qui n'est identique à -œ dans aucune composante connexe de G, et qui possède la propriété suivante: pour tout domaine D complètement intérieur à G, toute fonction harmonique dans D (*) majorée par f sur la frontière de D est majorée par f dans D. Pour que f soit surharmonique dans G, il faut et il suffit qu'elle le soit au voisinage de tout point de G; on se ramène ainsi à des critères locaux, qu'on peut exprimer au moyen du paramètre.

De ce fait, et grâce au théorème de Harnack, on étend immédiatement aux familles de fonctions harmoniques ou surharmoniques sur une surface de Riemann certaines propriétés classiques dans le plan; par exemple une suite croissante ou un ensemble filtrant croissant de fonctions surharmoniques (resp. harmoniques) a pour limite la constante Ho ou une fonction surharmonique (resp. harmonique); une famille de fonctions harmoniques dans un domaine et bornées dans leur ensemble sur tout compact est équicontinue, donc normale (c'est-à-dire relativement compacte pour la convergence compacte) et la convergence simple y est équivalente à la convergence compacte.

6. Le problème le plus important qui se pose dans l’étude des surfaces de Riemann est celui de l’existence de certaines fonctions harmoniques ou analytiques sur ces surfaces. On a donc à se poser, dès le début de la théorie, le problème de Dirichlet. Nous allons en rappeler brièvement la solution, qui ne diffère pas essentiellement de celle du problème plan.

Tout d’abord, pour un domaine élémentaire D (conformément équivalent à un cercle), la solution sera donnée d’une façon évidente par l'intégrale de Poisson. On peut ensuite passer à des cas plus généraux au moyen du procédé alterné de Schwarz. Mais il est préférable d'envisager directement la solution la plus générale au moyen de la méthode de Perron-Brelot (”).

(*) C'est-à-dire dans un voisinage de D.

() Cf. O. Perron [1], etsurtout M. Brecor [1], [4]. M. Heixs [1] a également signalé

MOYENNES DES FONCTIONS HARMONIQUES ET ANALYTIQUES (e)

Rappelons tout d’abord le lemme suivant :

Soit f une fonction sousharmonique dans un ouvert G, D un domaine élémentaire complètement intérieur à G; la fonction f, égale à f dans G— D, et à l'intégrale de Poisson de f dans D, est

encore sousharmonique dans G.

7. Familles de Perron. — Soit D un domaine relativement compact (*) d'une surface de Riemann ouverte S, F la frontière de D, f une fonction réelle donnée sur F. Soit 3; la famille des fonctions u sousharmoniques dans D, bornées supérieurement, et vérifiant

UE sup. u(p) <f(q) pour tout point geF ; nous poserons PET ÉD eAtUE

si 4, n'est pas vide, —— sinon. Si H° est + wo, c'est une fonction harmonique, car pour tout domaine élémentaire A tel que Ac D, les u\ forment une famille filtrante croissante de limite H?.

On définit de même la famille 7, des fonctions v surharmoniques

dans D, bornées inférieurement, re qe nus an v(p) > f(q) pour

tout gel, et l'enveloppe inférieure H° des à e co s1 #, est vide). Comme v — u > 0 pour toute ueT et toute vef,, HP HP. S'il y a égalité (les fonctions étant finies), on note H? leur valeur commune, et f est dite résolutive. H° est appelée fonction de Wiener pour D et f. Points réguliers. — On dit qu'un point geF est un point frontière régulier s’il existe une fonction © surharmonique dans D et telle

que lim o(p)—0o, tandis que liminfo(p) >o pour tout reF pED, p>q pED,p>r

et Zp

Il suffit d’ailleurs que la fonction w possédant ces propriétés existe dans D n V, où V est un voisinage de q, pour qu'on puisse en trouver une qui existe dans tout D. Nous supposerons désormais que le domaine D considéré a tous ses points frontières réguliers. La régularité est ainsi une propriété locale.

Nous utiliserons le théorème suivant :

Tuéorème. — Si f est bornée supérieurement et si le point fronlière q est régulier, im sup H(p) < sun Has pED, p>q

la possibilité de l’extension de cette méthode aux surfaces de Rremanx, et M. Oursuxa [1] en a donné un exposé tout à fait analogue à celui du présent mémoire.

(8) On pourrait également supposer que D est un ouvert relativement compact quelconque.

1O M. PARREAU

Soit / le second membre; pour K assez grand, /-Le<+ Ko(p) appartient à %..

Corozzaire. — Si lout point frontière de D est régulier, le problème de Dirichlet est résoluble pour toute f continue bornée.

En effet, on a alors lim HP(p)— lim H}(p)—/f(q) pour pED, p>q pED, p>q tout geF, Donc H? existe et est la solution du problème de Dirichlet.

Plus HA supposons que f soit semi-conlinue inférieurement et bornée inférieurement sur F. Alors, si H? <T + oo, f est résolutive ; H? est l'enveloppe supérieure des H} pour g continue bornée < f.

Le théorème précédent montre immédiatement que He, donc est < H7, d’où le résultat; de même pour sup H}:

Soit maintenant f une fonction quelconque ; H} est l'enveloppe inférieure des H pour les 4 semi-continues inférieurement sur F et > f. En effet, soit veS, et 4, —lim inf v à la frontière; 4, est > f, donc v > HY, Le pe or v— H?. De même H? est l'enveloppe supérieure de H? pour & semi-continue han tee

On en déduit ef M. Brelot, loc. cit.) la représentation intégrale de H?; pour tout point peD, il existe une mesure de Radon et une

seule, z,, telle que H?(p)—= f {{)de(g) pour toute f résolutive sur F; y, est la mesure harmonique (au sens des distributions de masses). Pour une fonction quelconque f, H?(p) et H?(p) sont respectivement l'intégrale inférieure et l'intégrale supérieure par rapport à u,. La mesure harmonique en p d’un ensemble E c F est, quand elle existe, l’intégrale de la fonction caractéristique de E par

rapport à u,; c'est une fonction harmonique de p.

8. Cas d’une frontière très régulière. — Dans la plupart des applications, il suffira de considérer des domaines D à frontière & très régulière » (par exemple, constituée d’arcs de courbes analytiques, ou suffisamment différentiables). Dans ce cas, on peut préciser l'allure de la fonction de Wiener au voisinage d’un pointfrontière, en ne tenant compte que des propriétés locales de f.

Nous rappellerons simplement le résultat suivant (°) :

Taéorème. — Si D esi à frontière très régulière, et si f est résolutive et s’annule sur un arc ouvert À de F, H? s’annule sur A.

Remarquons tout d'abord que si D,, de frontière F,, est contenu

() Cf. M. Brecor [8], qui introduit la notion plus générale d’activité d’un point-frontière, Un point-frontière suffisamment régulier est inactif.

dans D, et si la fonction f est résolutive sur F, la fonction f égale à J sur F,nF et à H° sur F, n D est également résolutive; de plus H}:— H? dans D,. C’est évident pour / continue bornée et on passe de là à f semi-continue, puis quelconque.

Employons alors le procédé de symétrie de M. Brelot([6], p.217). On peut toujours se ramener à f >o. Soit L un arc analytique tracé dans D, dont les extrémités sont situées sur A, et qui limite avec un arc À’ de À un domaine D, dont le symétrique par rapport à L est tout entier contenu dans D. On appellera p le symétrique d’un point p par rapport à L, et pour toute fonction g on posera g(p) = g(p). La remarque préliminaire montre que H2 est la fonction de Wiener relative au domaine D, et à la die frontière o sur À’ et H2 sur L. On a donc dans Di. SH PI oû:9 désigne la fonction égale à H? sur L, à o sur F n |F.On en conclut que H° est bornée au voisinage de tout arc compact de A, donc s’y annule.

= De plus, au voisinage de tout point de A, on a H?<M. H”(a), pour aD, M étant une constante qui ne dépend pas de f.

CorozLaIRE. — Si D est à frontière très régulière, et si f résolutive

sur F continue et bornée au voisinage de qeF, on a lim H}(p)—/(g).

p> 4 PED

9. La solution du problème de Dirichlet obtenue, on en déduit les théorèmes fondamentaux d’existence de la théorie des fonctions sur une surface de Riemann. Grâce au procédé alterné de Neumann- Sario (!°), on peut établir l'existence de fonctions harmoniques ayant des singularités données. Plus précisément, on peut, sous certaines conditions, (prolonger » à la surface entière (à une fonction harmonique bornée près) des fonctions harmoniques définies au voisinage d’un certain ensemble de singularités, ou hors d’un compact. On voit ainsi qu'il existe sur toute surface de Riemann des différentielles abéliennes, et des fonctions méromorphes (quotients de deux différentüelles abéliennes). Ceci montre en particulier que toute surface de Riemann est conformément équivalente à une surface de Riemann « concrète » de la théorie des fonctions.