Ensembles polaires. — Soit une surface de Riemann S. On

(2) G. Neumanx, Vorlesungen uber Riemanns Theorie der Abelschen Integrale, Leïpzig, 1884, R. Nevanzinwa [8], et L. Sarro [5].

> M. PARREAU

dira qu’un ensemble E de points de S est polaire si son intersection avec tout «cercle » de la surface est un ensemble polaire, c'est-àdire de capacité nulle. On sait qu'il existe alors une fonction surharmonique >> 0 dans le cercle qui prend aux points de E la valeur <- co.

Il est immédiat que toute partie d'un ensemble polaire est polaire ; de même la réunion d’une infinité dénombrable d’ensembles polaires est polaire, puisque c’est vrai dans tout cercle paramètre.

On dira qu'un ensemble E est intérieurement polaire si tout compact contenu est polaire; pour que E soit intérieurement polaire, il faut et il suffit que son intersection avec tout cercle de S le soit.

M. G. Choquet a montré récemment que les deux notions coïncidaient pour les ensembles boréliens. En se ramenant à des considérations locales, on voit que ce résultat s'étend aux surfaces de Riemann.

Sur une surface ouverte, un ensemble polaire est caractérisé par le fait qu'il existe une fonction surharmonique sur la surface qui y prend la valeur + «©. Pour le voir, supposons tout d’abord que E, polaire, soit complètement intérieur à un « cercle » V de S ; on peut toujours supposer que la fonction surharmonique x associée à E dans V est harmonique au voisinage de la frontière C de V, et qu'elle s'y annule. D'autre part, on peut toujours trouver hors d’un compact à frontière très régulière C’ contenant V une fonction harmonique À << 0, nulle sur C’, et dont le flux à travers C” soit opposé à celui de x à travers C (cf. Sario [3], lemme 2). On est alors dans les conditions d’application du théorème de Sario sur le procédé alterné, de sorte qu'il existe une fonction U telle que U — x soit harmoniquement prolongeable dans V et U — h harmonique à l’extérieur de C’ et bornée. Ü est donc partout surharmonique, et vaut + « sur E.

Dans le cas général, E est la réunion d'ensemble E, de l'espèce indiquée. Soit (S,) une exhaustion de S ; on peut toujours supposer que la fonction surharmonique u, associée à E, est > o sur $,, et + w en un point a fixé de S,. On choisira alors des constantes & > O telles que Ec,u,(a) < + wo et Ec,u, — U répond à la question.

Les raisonnements précédents montrent plus généralement que si un ensemble E est contenu dans un ouvert G, et s’il existe une fonction surharmonique dans G valant + æ sur E, E est polaire.

Comme dans le plan, on dira qu'une propriété a lieu quasi partout (resp. à peu près partout) si l'ensemble des points où elle n’est pas vérifiée est polaire (resp. intérieurement polaire). :

Enfin, on étend immédiatement aux surfaces de Riemann le théorème suivant de M. H. Cartan [1]

La limite d'une suite décroissante (ou d’une famille filtrante décroissante) de fonctions surharmoniques, bornées inférieurement dans leur ensemble sur tout compact, est une fonction quasi surharmonique (c'est-à-dire supérieure ou égale, et quasi partout égale à une fonction surharmonique déterminée).

En effet, soit © cette limite ; la régularisée semi-continue inférieurement de o est localement surharmonique, et l’ensemble des points où elle diffère de v est localement polaire.

11. Problème de Dirichlet généralisé ('). — Nous sommes maintenant en mesure d'étendre les résultats du n° 7 à un domaine relativement compact D quelconque. On sait en effet que les points irréguliers de la frontière de D forment, dans chaque cercle paramètre, un ensemble polaire, d'ailleurs réunion dénombrable de compacts, ce qui permet de construire localement une fonction harmonique qui tend vers + % aux points irréguliers. On en déduit, par une application du procédé alterné analogue à celle du n° précédent, l'existence d’une fonction harmonique À >> o dans D qui tend vers + en tout point-frontière irrégulier. On considérera alors les familles plus générales %; (resp. %) des fonctions w (resp v) qui vérifient lim sup u < f (resp. lim inf v > f) seulement aux points réguliers. Les enveloppes sont les mêmes, car si ue, u — he, pour tout & >o. Le théorème du n° 7 montre encore que toute fonction continue bornée est résolutive ; on a encore une représentation intégrale de la solution, au moyen de la mesure harmonique.

Dans ces conditions, on peut faire sur les surfaces de Riemann comme dans le plan ou l’espace toute la théorie de la mesure harmonique des ensembles, des ensembles négligeables et absolument négligeables (‘*).

Nous nous bornerons ici à signaler l'énoncé suivant:

Pour qu'un ensemble E fermé dans un domaine D soit polaire, il faut et il suffit que l’une des conditions suivantes soit remplie :

a) E est de mesure harmonique (extérieure) nulle pour D-E,

b) tous les points-frontière de E sont irréguliers pour D-E,

c) toute fonction harmonique bornée dans D-E est prolongeable harmoniquement sur E.

(4) Un lemme de M. BreLor [4] permet d'atteindre le cas général sans passer par l’in-

termédiaire du procédé alterné.

(2) M. Breor [3], [4].