I. — Surfaces Hyperboliques

4. Soit K un compact non polaire d'une surface de Riemann S$. L’enveloppe supérieure des fonctions sousharmoniques uw dans S-K qui sont < 1 et ont une limite supérieure < 0 en tout point-frontière de K (ou simplement en tout point-frontière régulier de S-K) est une fonction harmonique w (l’harmonicité se démontre de la même façon que celle de H} pour le problème de Dirichlet). Comme la fonction o appartient à la famille, on a 0<w<1.

Si S est un domaine relativement compact d’une surface de Riemann S*, w n’est autre que la mesure harmonique, par rapport à S-K, de la frontière l de S. Dans le cas général, on dit souvent que w est la mesure harmonique de la «frontière idéale» de S par rapport à S-K (°).

Si S, est une exhaustion de S telle que S, = K, et si w, — HE avec 6, — 0 sur la frontière de K et o,— 1 sur la frontière de Fe w — lim w,. En effet, la suite (w,) est décroissante ; chaque w, majore

toute fonction w de la famille considérée, et lim w, appartient à cette famille.

Il est bien évident que si une fonction uw sousharmonique dans S-K vérifie u << M partout, et lim sup u<<m<M en tout point frontière (régulier) de S-K, on a dans S-K

(1) u<m+(M — mo.

2. Classe C,. — La fonction w étant positive, elle est soit identi-

(15) Cette définition de w a été donnée également par M. Onrsuxa [1].

MOYENNES DES FONCTIONS HARMONIQUES ET ANALYTIQUES tp

quement nulle, soit = o dans une composante connexe de S-K. Selon que l’une ou l’autre de ces circonstances se présente, on dit que la frontière idéale de S est de mesure harmonique nulle ou > 0, ou encore que S est parabolique ou hyperbolique.

La distinction ainsi établie ne dépend pas du compact K choisi. En effet, soient K et K’ deux compacts non polaires, w et w’ les fonctions correspondantes. Supposons d'abord K © K’. La fonction +, prolongée par o dans K’, sauf aux points-frontière irréguliers de S-K’, où on la prend égale à sa limite supérieure dans S-K’, est sousharmonique ; elle est nulle en tout point-frontière régulier de S-K, car si un tel point est sur la frontière de K’, il est a fortiori régulier pour S-K’. On a donc w < w. D'autre part, si m(<C 1) estle maximum de w sur un compact contenant K’ à son intérieur, on a, d’après l'inégalité (1), w < m+-(1 — m)w’. Par conséquent, — 0 entraîne ® — 0; vw —0 entraîne 6 Lm<L1, d'où 6 L Mo, 6 L 0, et finalement w — 0. S'il n’y a pas inclusion, on comparera à K u K’.

En particulier, on voit qu'on peut se borner à considérer des compacts K à frontière très régulière.

Dériirion. — Nous appellerons €, la classe des surfaces de Riemann paraboliques.

CONDITION NÉCESSAIRE ET SUFFISANTE D HYPERBOLICITÉ (M. Brelot). — Pour que $ soit hyperbolique, il faut et suffit qu'il existe une fonction surharmonique >> 0 non constante (*).

En effet, soit v une telle fonction, K un compact non polaire. On

peut toujours s'arranger pour que inf v—0o, min v—1. La s K

fonction sousharmonique u— 1 —v appartient alors à la famille considérée plus haut, et elle est = o en certains points de S —K ; donc w > 0.

In versement, si w est >> 0, on a vu plus haut qu'on peut la prolonger sousharmoniquement à la surface entière, de façon qu'elle reste comprise entre o et 1 ; on en déduit la fonction surharmonique annoncée.

Principe du maximum pour les surfaces paraboliques : Si w —0, l'inégalité (1) exprime le fait suivant : Si K est un compact de S, et si u, sousharmonique dans S —K.et bornée supérieurement, vérifie lim sup um en tout point frontière régulier, on a u<m.

Réciproquement, la validité du principe du maximum entraîne la nullité de w.

(*) Ce critère a été donné par M. BreLoT dans une conférence au séminaire d'Analyse

(Paris, mai 1950).

10 M. PARREAU

3. Domaines hyperboliques ou paraboliques. — Soit D un domaine de la surface de Riemann $, tel que D ne soit pas compact et [D

ne soit pas polaire (nous dirons souvent, pour abréger, que D est un « domaine non compact »). Les fonctions sousharmoniques u dans

D qui sont < 1 et vérifient lim sup u(p) < 0 en tout point-frontière PE (régulier) de D ont encore une enveloppe supérieure harmonique

w comprise entre o et 1. La fonction w est en somme la mesure harmonique par rapport à S de la « portion de frontière idéale de S » contiguë à D.

Comme plus haut, on voit que la fonction w est la limite des fonctions analogues relatives aux ouverts D a G, lorsque G est un domaine relativement compact qui tend vers S. Si w —0o, on dira que D est parabolique ; siw >> 0, que D est hyperbolique.

La condition nécessaire et suffisante pour qu'un domaine soit parabolique est que le principe du maximum y soit valable. Si le domaine est hyperbolique, on a, avec les mêmes notations, l’inégahté (1).

Si D’ ne diffère de D que sur un compact, les deux domaines ont même type (démonstration tout à fait analogue à celle du n° précédent pour l’invariance par rapport à K). Si D’c D, et si D est parabolique, D’ l’est aussi ; si D’ est hyperbolique, D l’est aussi. En particulier, si SeC,, tout domaine est parabolique.

Dans la plupart des cas, les domaines D considérés seront très réguliers ; w s’annule alors régulièrement à la frontière C de D, et la propriété pour un domaine d’être hyperbolique s'exprime de la façon suivante : il existe dans D une fonction harmonique bornée non constante nulle sur C.

PE = Fonction de Green.

4. Définition. — Soit S une surface de Riemann ouverte. Considérons tout d’abord sur S un domaine relativement compact, D, de frontière F. Quel que soit geD, il existe dans D une fonction de pôle q, c'est-à-dire une fonction: ‘harmonique > o dans Dia ayant en q un pôle logarithmique d'ordre 1, et s'annulant en tout point régulier de F. On peut la construire au moyen du procédé alterné, ou de la façon suivante, qui présente l'avantage de la rattacher directement à la notion de mesure harmonique : supposons D

très régulier, et soit { un paramètre local en q, tel que Hg) 0, et que le cercle V,—f|t| < 1 } soit complètement intérieur à D ; soit

Ne}? sh et}, et G, la frontière de V, (k entier > 0). Soil w, la mesure harmonique de C, par rapport à D — V,, et h;, —kw,. On voit aisément que À; majore “le; dans V, — V,, de sorte que hk., > hy dans D—V,. Une double application de la formule .de Green (à h, et w,, puis À, et u) montre que:

do dh I Go) fade [as = ar — À [ hd < 27 (9—argit)

de sorte de À, ne peut tendre vers + co. À—lim h, est alors la k

fonction de Green cherchée : elle s’annule sur FE, étant majorée dans

D — V, par Mo, où M—! ogarithmique d'ordre Co 1enq, car À —u—lim (h, —u) est régulière dans V,. Nous la note-

rons g(p, q ; D). On sait qu'elle est symétrique en p et q.

5. Les domaines D très réguliers et contenant qg forment un ensemble filtrant croissant pour l'inclusion, et 4 croît avec D. Par conséquent, la limite des fonctions g(p, q ; D), quand D tend vers S en décrivant l’ensemble précité (ou simplement une exhaustion (S,) de S) est, soit la constante + w, soit une fonction g(p, q) harmonique >> o dans $ — { qiayant un pôle logarithmique d'ordre 1 en q.

L'existence ou la non-existence d’une fonction de Green de pôle q

ne dépend pas de q. En effet ('*)

Tuéorème (Myrberg). — La condition nécessaire et suffisante pour qu'il exisle sur une surface de Riemann $S une fonction de Green de pôle q (pour un point qgeS ou pour tout q) est que S soit hyperbolique.

S1 g(p, q) existe, c'est une fonction surharmonique >> 0, donc S est hyperbolique. Inversement, supposons que $ le soit; si D, est un domaine relativement compact très régulier, de frontière C,, et contenant q, et D un domaine analogue, de frontière C, tel que Ex c D, soit gb —g(p, q; D), et wn la mesure harmonique de C par rapport à D—D,; la formule de Green montre que

dOp 4» à US OR,

(14) P. J. Myr8erG [1].

18 M. PARREAU

de sorte que si lim wp—«(>0 par hypothèse), on a: AU. (fe) ETES OT,

donc 4» reste finie ("*).

D'ailleurs, la construction de g comme limite des fonctions h;,, donnée au n° { pour un domaine relativement compact, s'étend immédiatement aux surfaces hyperboliques, h; y étant définie par hy —Àk(1 —v;), où w; est la mesure harmonique de la frontière idéale de S par rapport à S— V,. Pour constater la convergence de h,, il suffit d'étendre au cas présent l'inégalité (2), qui résulte de l'inégalité initiale par passage à la limite, quand D tend vers S.

6. Comportement de la fonction de Green à la frontière. — Il résulte de la définition même de la fonction de Green que g(p, q) existe s'il y a sur S des fonctions À harmoniques >> o sur S —{q} , ayant en q la singularité indiquée ; c'est alors la plus petite de ces fonctions, car pour tout D relativement compact de $, g(p, g; D) minore toute fonction .

Cette propriété minimale s'exprime encore de la façon suivante :

THÉORÈME 1. — Si une fonction u sousharmonique sur S est majorée sur S (ou hors d’un compact) par kq(p, a) (k=> o, a fixe sur S), on au<o. Îl en est de méme si u, sousharmonique hors d’un compact K, satisfait à la méme condition de majoration, et à lim sup u(p) << 0 pour tout point-frontière q de K régulier pour S —K.

En effet, soit D très régulier, relativement compact, contenant a et éventuellement K ; on a dans D (ou D-K):

de sorte qu'à la limite u<o.

Pour À > 0, appelons alors D, , le domaine de $ défini par g(p, a) >X, et G,, sa frontière (ensemble des courbes de niveau

THÉORÈME 2. — Le domaine D, , est relativement compact ou parabolique.

(15) Cette démonstration, qui simplifie celle que j'avais donnée dans les Comptes Rendus, 230, p. 709, est à peu près la même que celle de K. I. Virranex [1]. Voir aussi P. J. Myrserc [1], R. Nevanzinna [3], L. Sario [4], M. Onrsuxa [1].

Si D,, n'est pas compact, soit w la mesure harmonique de sa « frontière idéale » ; la fonction w, prolongée par o hors de D, ,, est sousharmonique dans $ ; si & désigne la fonction prolongée, on a

D < 3 9(P; q), de sorte que 6 est < 0, donc nulle. Ainsi w — 0.

7. Problème de Dirichlet extérieur. — Soit K un compact non polaire d’une surface de Riemann S. Si S est parabolique, le problème de Dirichlet relatif à S — K est soluble dans les mêmes conditions que pour un ouvert relativement compact, du fait de la validité du principe du maximum. Si S est hyperbolique, une fonction harmonique dans S — K n'est pas déterminée par les valeurs qu'elle prend à la frontière de K (on peut déjà lui ajouter un multiple quelconque de w), mais elle le sera si on lui impose en outre de s'annuler à la frontière idéale. Précisons d’abord ce qu’il faut entendre par là :

DériniTion. — On dit qu’une fonction harmonique h, définie hors d'un compact K d’une surface de Riemann hyperbolique $ esl associée à zéro à la frontière idéale lorsqu'il existe un point aeS et une constante k => 0 tels que |h(p)| << kg(p, a) au voisinage de la frontière idéale (c’est-à-dire hors d’un autre compact).

D’après le principe de Harnack, la condition imposée est remplie pour tout a (avec un Æ convenable) dès qu’elle l’est pour un seul. On peut encore lui donner la forme suivante : Soit Q un compact de S, wQ la mesure harmonique de la frontière idéale par rapport à S—Q; pour que À soit associée à zéro, 1l faut et il suffit que [A|<Z k(1 — wQ) au voisinage de la frontière idéale (pour voir l’équivalence et l'indépendance vis-à-vis de Q on appliquera l'inégalité (1) du n°1).

Soit alors F la frontière de notre-compact K non polaire, et f une fonction réelle donnée sur F. Le problème de Dirichlet extérieur consiste à trouver une fonction harmonique À dans $ — K qui prenne sur F les valeurs f (plus généralement, qui vérifie lim inf f< lim inf À < lim sup À < lim sup f en tout point frontière régulier) et qui soit associée à zéro à la frontière idéale. Lorsque f est continue, une telle fonction, si elle existe, est unique, d’après le théorème 1.

On peut adapter au cas présent la méthode de Perron-Brelot. Soit G; la famille des fonctions u définies et bornées supérieurement dans S — K, sousharmoniques ou égales à — dans chaque com-

osante connexe, et satisfaisant aux conditions suivantes : 1l existe

k et a (dépendant de u) tels que u(p)< kg(p, a) dans S—K;

20 M. PARREAU

lim sup u(p)<,f(q) en tout point frontière q de K régulier pour p>4

S— K. On pose HAE u(p). Si HF ©, cest une

fonction harmonique. On définit de même la famille Go et l’enveloppe He v appartient à Gs si —v appartient à la famille Gi relative à — f.

On a uv pour toute weG; et toute veG,, car u — v est sousharmonique dans S — K, de limite supérieure < 0 aux points frontières réguliers, et minore kg (a, p). Donc He Sie K, Si ces deux fonctions sont «7 + æ et égales, on dit que f est la et la valeur commune 72 sera É fonction de Wiener relative à S — K ete

Comme dans le cas classique, on voit que si geF est régulier pour S — K, et si fest bornée supérieurement,

lim sup Hg Kp) < lim sup /(r).

pES—K, p>q reF;r>q Par conséquent, si f est continue bornée sur F, elle est résolutive, car si |f|<B, HF et H°T* sont bornées en valeur absolue par B(1 — w) ; leur différence est donc associée à zéro et de limite nulle en tout point régulier, donc nulle (théorème 1). H°T* est la solution du probième de Dirichlet extérieur.

Si f est semi-continue inférieurement et bornée inférieurement, HŸ® est l'enveloppe supérieure des H5* pour les g continues bornées < f, car cette enveloppe appartient à G,, d'après l'inégalité ci-dessus rappelée. Donc, si HT <<< 0, f est résolutive, car HT majore toute H9*; de plus H°* est associée à zéro, car si Q est un compact très régulier contenant K à son intérieur, et de

frontière C, on a dans S— Q HE < M0): où M— Max G

He K, puisque cette majoration est valable pour toute ÈS ne

“Enfin, pour f quelconque, H°T* est l'enveloppe inférieure de H À pour les © semi-continues A bee bornées inférieurement, qui majorent f. Elle est donc associée à zéro, dès qu’elle n’est pas infinie (on supposera d'abord f > 0). |

Ces résultats permettent une représentation intégrale de la solution de Wiener; H° “(p)=— ie Jdu,. La masse totale de y, n’est plus égale à 1, mais à 1 Pt

On peut également définir (au moins pour f continue ou semicontinue) HE au moyen d'une exhaustion. Par exemple, soit

f >0, continue ou semi-continue inférieurement, et soit (S,) une exhaustion de S, dans laquelle chaque S, est un domaine relativement compact très régulier, de frontière l,; on suppose que S, > K. Si l’on appelle f, “F fonction égale à f sur F, à o sur l,, il est visible que HF croît avec n, et est < H} *; d'autre part, on constate oi que sa limite appartient à a ie supérieure G Donc H5-=—lim H}"*. On passe ensuite à f de signe quelconque. Vs |

8. Extension à un domaine «non compact » quelconque. — Soit D un domaine à fermeture non compacte, dont le complémentaire n’est pas polaire. S'il est hyperbolique, on pourra dire qu'une fonction harmonique bornée h dans D s’annule à la frontière idéale de D si elle satisfait à la condition (3)|h|<< k(1 —w), où w est la fonction du no:

On peut alors, comme au numéro précédent, définir les familles Gi et G,, la condition exprimée au moyen de la ne de Green

étant alors remplacée par u < k(1 — — w) (resp. v > — k(1 —w)): On obtient ainsi les enveloppes H” et Eh et pr ane la fonction de Wiener H?, qui ont les AR ones que les HS—K, sauf peut-

être celle de vérifier (3). En effet, le raisonnement fait précédemment n'est plus applicable. Toutefois, on aura la majoration indiquée, au moins hors d'un compact, lorsque la frontière F de D est compacte, ou lorsque fest bornée.

Pour les mêmes raisons que plus haut, H° F(P) admet une représentation intégrale. Enfin, si f est semi-continue inférieurement et > 0, on voit que ur ne; pour toute exhaustion (S,) de D,

fh valant f sur Fa S, et o ailleurs.

Domaines à frontière très régulière. — Si D est limité par des courbes très régulières, la solution du problème de Dirichlet extérieur (ou ordinaire, sl s’agit d’un domaine parabolique) peut s'exprimer au moyen de la fonction de Green de D ("°).

Considérons par exemple un domaine D limité par un ensemble localement fini de courbes analytiques ou suffisamment différentiables ; soit (S,) une exhaustion de $ par des domaines du même genre, tels que D'nS, soit toujours connexe. Soit C la frontière de

D, T, celle de S,, et C,—CGnS, : soit g(p; q) la fonction de Green

(5) Cf. R. Nevanzinwa [6].

22 M. PARREAU

de D, gp, q) celle de D n S,: Soit alors À une fonction harmonique >o dans D, continue dans D, À, la fonction harmonique dans D'n$, qui prend les valeurs k sur C,, o sur l,n D; si n— , h,(p)— H}(p). Or, la formule de Green nous de pour aD

ha) —= ul. h(p) AE: de ( normale intérieure)

d'où pour m< n:

I dg,{ P, a ROËSS de KG) PO a ra En faisant tendre n, puis m, vers l’infini, on obtient :