RÉSULTAT

de la

Multiplication

Somme

« la rangée inférieure; il viendra v; nous récrirons « au quatrième [degré] au-dessous du 2. Tu multi- « plieras encore le i d'en haut par le 3 de la rangée « inférieure : il viendra m : écris-le au cinquième « [degré] après le 2. Et la multiplication est finie.

« Additionne maintenant tous ces nombres ; tout « ce qui se trouve au même degré, ajoute-le ensemble « et tout ce qui dépassera X ou dix lui-même, écris « le après le degré [où tu opères). — Tu trouveras. « alors que le total est xlv mille et lxxxv. »

Les lecteurs mathématiciens qui voudront suivre l'opération d'Aben Ezra, devront le faire, non sur mon tableau en chiffires modernes, mais sur celui que j'ai imprimé dans le texte hébreu. Qu'ils ne s'effraient pas des lettres hébraïques qui y tiennent lieu de chiffres : ils n'ont pas besoin de les savoir lire : il suffit qu'ils en connaissent la valeur numérique, dont, pour leur commodité, je reproduis ici la liste

cette liste se trouve bien à la seconde ligne de ma citation, p. 7, où elle est enfermée entre deux triples points; mais comme il faut, en lisant cet exemple, procéder de droite à gauche : que la lettre qui vaut i est la première à droite, celle qui vaut 9, la dernière à gauche, il eût pu en résulter quelqu'embarras pour les personnes peu habituées à la lecture des langues orientales : voilà pourquoi j'ai pensé bien faire en la redonnant ici.

Au tableau intercalé dans ma traduction, j'ai laissé chaque produit partiel entier, les deux chiffres qui le

composent placés côte àc6te; et quand ce produit était lo, j'ai écrit un zéro à la droite du i. J'ai agi ainsi pour permettre aux lecteurs de se retrouver dans le tableau original où chaque chiffre s'écrit dans la colonne à laquelle il appartient, le plus haut possible : et cette manière de faire est bien de l'auteur lui-même, puisque nous voyons qu'au dernier produit partiel, après nous avoir dit : « posez le 5, H (produit de I parle deuxième 5 du multiplicateur) dans la quatrième colonne au-dessous du 2, 3 (de la première ligne), « il ajoute ensuite : » posez le 3, 3 en cinquième colonne à côté du 2, a. »

Il est impossible que toute personne qui voudra prendre la peine de suivre sur le tableau en hébreu, les détails donnés par Aben-Ezra dans son texte sur la manière de procéder à l'opération et de placer les divers chiffres des produits partiels, ne soit convaincue, comme je l'ai été moi-même en lisant ces explications, qu'elles n'ont pu être écrites qu'avec le tableau sous les yeux. — Ce qui amène forcément, et comme conclusion inévitable, à admettre, ce dont je m'efforce de persuader les lecteurs, qu'Aben-Ezra lui-même est l'auteur des tableaux que j'ai eu la bonne fortune de découvrir dans le précieux manuscrit qui nous occupe.

En comparant le tableau imprimé dans le texte hébreu à celui qui figure au fac-similé p. 4 (car c'est le commencement de notre multiplication que j'y ai reproduit) on remarquera que le copiste a transposé tous ses produits partiels trop à droite ; dans le tableau en lettres chiffres (celui de droite) il les a même tous fait commencer au rang des unités. Dans son

tableau en chiflEres pjrthagoriciens (celui de gauche) il s'est trompé de même pour la seconde ligne: les deux suivantes sont, par rapport à celle-là bien à leur place; mais il n'a pas su faire correspondre ses chiffres dans leurs colonnes, en sorte que le 5 dont nous parlions tout-à-Fheure, au lieu d'être « au quatrième degré sous le 2 » comme le prescrit Aben-Ezra, est au second degré sous le premier 3. Ce petit détail n'est pas sans importance : il prouve que le copiste, qui a pourtant voulu faire preuve de savoir en transcrivant en chiffres pjrthagoriciens les tableaux en lettres-chiffres de son Maître, a néanmoins copié CCS tableaux sans y rien comprendre. Autrement il eût d'abord mieux suivi, dans le placement de ses chiffres, les indications de l'auteur ; puis il se fût aperçu qu'en « additionnant tout ce qui se trouve au même degré » on ne reproduit pas le nombre qu'il a inscrit au total. — Donc les tableaux étaient antérieurs à notre Manuscrit, et le copiste n'a pas su les comprendre.

Enfin, on remarquera au bas des tableaux en facsimiléy deux lignes que je n'ai pas reproduites : elles ont trait à la preuve par 9 O^JTfcCO, û;]^, motà-mot « la balance » qu' Aben-Ezra, comme tous ses contemporains, ne manque pas de pratiquer à la fin de chacune de ses opérations, et dont par conséquent il donne aussi chaque fois la règle. Dans nos tableaux la première ligne porte, d'après la rubrique inscrite à côté, le OOTKO « la balance provenant des deux facteurs » ; la seconde ligne, celle « provenant de la somme [des produits partiels] ». Comme il ne s'agit pas dans le présent article, d'exposer ce qu'Aben

Ezra savait, mais comment et avec quelle dose de fidélité le copiste de notre Manuscrit nous a transmis les preuves matérielles de ce savoir, je n'ai pas voulu aborder ce détail qui m'eût entraîné trop loin : voilà pourquoi, j'ai négligé de reproduire ces deux lignes.

Cependant, puisque roccûàion s'en présente, je ne puis m'empécher de placer ici une observation intéressante pour l'histoire des Mathématiques. La preuve par 9, qui nous occupe, est pratiquée par tous les arithméticiens arabes, qui semblent la considérer comme une invention des Indiens. Il est certain que cette opération n'a pu prendre naissance qu'après l'adoption de la numération décimale écrite, laquelle est incontestablement d'origine indienne : il est donc tout naturel qu'on ait songé à attribuer l'invention de la preuve par 9, aux inventeurs mêmes du système de numération. Pourtant si c'était dans cette contrée que l'opération en question ait pris naissance, nous devrions, suivant toutes probabilités, la voir en usage auprès des savants du pays : or, je ne l'ai rencontrée jusqu'ici, ni indiquée, ni pratiquée par aucun des auteurs indiens dont j'ai eu l'occasion d'étudier les ouvrages. Elle ne se trouve ni chez Brahmagupta, ni dans la Lîlâvati de Bhâskara, ni dans les commentaires, cités et traduits par Colebrooke, qui entrent pourtant dans les détails les plus minutieux sur la manière d'eflFectuer les opérations en usage dans leurs écoles. L'origine de la preuve par 9 est donc encore inconnue, et demeure une énigme posée aux historiens des Mathématiques.

Mais il est temps d'en finir avec ce premier exemple, et de passer à d'autres qui ne sont pas moins dignes de fixer notre attention.