FRACTIONS ET PROPORTIONS

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« Problême. — Ruben fait marché avec Siméon € pour que celui-ci lui transporte sur sa bête xiii € mesures de froment à xvii milles : son salaire sera « de XIX pièces. Mais lui ne transporte que vu me- « sures à xi milles : comment est son salaire ? »

€ Tu feras ainsi : il faut que tu fasses les rapports « deux fois, car il n'y a pas d'autre moyen d'en sortir. « Alors calcule iCPii^^e si les vu mesures avaient été « portées à la distance convenue toute entière de xni « milles: et nous ferons ainsi le modèle.

é Multiplions les extrêmes, qui sont € VII et XIX, cela fait cxxxiii ; divisons- « les par xm, il vient x entiers, et m parties de xui « dans une pièce. Mais comme il n'est pas allé à xin « milles, mais à xi milles seulement, il nous faut « d'autres rapports et un autre modèle, comme ceci

« XI, XVII, un rond, x avec m parties de xiii.

« Comme il nous faut faire le pro* « duit des extrêmes et diviser ce « produit par xvii, il nous faut chercher « un dénominateur unique pour toutes

€ deux. Multiplions xni parxvii, cela fait ccxxi;etui « parties dexiuen font li de ccxxi. Multiplions xi par « X, cela donne ex; puis multiplie xi, qui sont desen- « tiers, paru, qui sont des fractions, et il vient dlxi : « divisons-les par ccxxi, qui est l'unité entière :^1 vient « deux entiers, que nous ajouterons à ex, cela fera € cxii, et il restera cxix parties de ccxxi. Divisons « cxii par xvu entiers nous obtenons vi pièces, et il « reste x pièces divisées par xvii. Convertissons- « les à Tespèce ccxxi, et ajoutons-les aux cxix « qui restent avec elles : cela fait deux mille « cccxxix. Divisons-les par xvu entiers, il vient « cxxxvii.

€ Total, VI piècesentières,etcxxxviipartiestellesque « Vunité en vaut ccxxi; ce qui fait vu i parties de xiir, « avec une partie dont xvii dans une partie (c'est-à- « dire -^ H î-r ) ; ou, si tu veux, x parties sur

« XVII avec vu parties dont xiii dsins une partie »

(c'est^Hiire iî + 4- = i§. >>7 ^ 17 ' 13.17 221

Quelques mots d'explication seront indispensables pour permettre au lecteur de suivre les calculs d'Aben-Ezra dans ce problème.

Je ne signalerai pas comme une difficulté la figure donnée par notre auteur à ses proportions : l'idée de ce tableau carré quadrillé est très-ingénieuse, et

jusqu'à présent je ne l'ai vue que là, et dans nos

déterminants. Et l'analogie est d'autant plus grande que la proportion

se résout en aV = a'x

et le déterminant

^ -^ en aV — a'jc

qu'il suffit d'égaler à zéro pour retomber sur la formule ci-dessus.

On peut aussi, si l'on veut, en rapprocher l'algorithme actuel %• -^

qu'il suffirait d'encadrer pour obtenir la même figure.

La place du terme inconnu de la proportion est occupée p£u: un zéro. Cet usage est tout indien : nous en voyons des exemples innombrables chez Bhàskara et chez Brahmagupta : ce qui démontre que pour les inventeurs de cette notation, le rond^ comme dit Aben-Ezra, n'avait encore d*autre fonction que de tenir la place d'un nombre absent^ et que telle était restée son unique fonction en arithmétique. Ce n'est qu'en Algèbre que, comme je l'ai fait voir au* tre part, il était devenu le symbole du néant absolu, d'où lui étaient venus ses noms indiens de 1^ kha^ « l'espace » et de ^^ çûnya c le vide. »

Dans le second tableau, celui où le quatrième terme de la proportion est \m nombre fractionnaire, le manuscrit qui me sert de guide a chacun des trois nombre lo, 3 et 1 3 logé dans un petit carré, ou, si l'on veut, ces nombres sont séparés les uns des autres par des barrettes tout-à-fait semblables à celles qui se croisent dans le carré. J'ai supprimé ces barres, parce que la notation

r en arabe, \ en sanscrit ir X\

est la manière bien connue d'écrire le nombre frac-

tionnaire que nous rendons par lo ^.

L'énoQcé en langage ordinaire, comme nous dirions aujourd'hui, qui accompagne la seconde proportion, ne montre aucun signe particulier entre ses différents termes. On sait que les Arabes employaient d'habitude dans ce cas trois points :

tr

auraient-ils écrit dans le premier cas; les Indiens emploient leur simple barre,

Mais aucun n'avait songé à employer, comme dans nos notations.

i3 : 7 : : 19 : 70 -J5 ou i3 : 7 = 19 : 10 ~

un signe spécial pour séparer (on mieux « pour réunir ») les deux rapports,

■ J'arrive à la manière dont Aben-Ezra, nomme les fractions dans le calcul : non que j'en veuille dire grand' chose, me réservant de faire quelque jour, s'il plaît à Dieu, une étude spéciale sur le calcul des fractions chez les anciens. Je me contenterai d'abord d'attirer l'attention sur la manière dont il énonce une fraction: «119 parties de 221 >, plus loin: '7 parties telles que l'unité en vaut 221 » ; et pour xactions de fractions : « 8 parties de 1 3 avec e partie dont 17 dans une partie (à savoir, dans treizième); — 10 parties de 17 avec 7 parties

€ dont i3 dans une partie (dans un dix-septième) » ; j'aurai occasion d'en tirer argument autre part. Puis je dois dire que dans la multiplication des fractions, il se voit obligé de les réduire, conmie pour l'addition, à un même dénominateur, ou, plus exactement, et pour mieux rendre son idée, à une même norme (ITTIO de la même racine que rmn < la loi » ) entendant par là un nombre entier tel qu'en en prenant les fractions indiquées par les dénominateurs de toutes les proposées, ces frac* tions soient des nombres entiers. — Il avait conunencé son calcul dans cette intention : ayant à multiplier 10 -3 par — il se préparait à tout convertir

en (i3Xi7)" ou deux cent vingt et unièmes; mais il a changé d'avis, paraît-il, car après avoir effectué

la conversion sur -=• seulement, il multiplie 10 — par 1 1 et divise le produit par 17.

Enfin, au bout de son calcul, il convertit sa der-

nière fraction — - en une somme (Tune fraction

primitive et d'une fraction de fraction^ suivant le système connu des Arabes.

Ces quelques mots d'explication donnés, je reprends le fil de mes raisonnements, et des arguments que j'en désire tirer.

Je le répète encore une fois, il est impossible de nier, si Ton a suivi attentivement les explicatioxxs données par Aben-Ezra sur les détails de ses calculs, que les tableaux que nous voyons dans leMs io52 ne soient V œuvre d^Aben-'Ezra lui-même. Or ces tableaux, partie intégrante essentielle du Traité des nombres, ont fini par disparaître entièrement des manuscrits, si bien que O. Terquem n'en avait pas soupçonné l'existence.

Autre chose encore : on a pu voir par les exemples que j'ai cités textuellement, que dans son texte explicatif notre auteur exprime toujours les nombres en lettres numériques^ c^est-à-dire, pour les Juifs, en chiffres ; ce sont ceux que j'ai rendus, dans ma traduction pour des chiffres romains. Or, sur ce point encore, l'étude des différentes copies de la Bibliothèque nous fait voir qu'avec le temps les scribes ont

peu à peu substitué à ces notations en chiffres^ des noms de nombre écrits en toutes lettres ; dans le malheureux Ms io5o sur lequel O. Terquem avait eu la maie chance de tomber, \m bon tiers au moins des nombres cités sont énoncés en noms de nombres^ ou, si l'on veut, exprimées en toutes lettres.

Ne pourrait-il pas se faire qu'un phénomène du même genre se soit produit autre- part, et que par exemple, les traités de mathématiques (Arithmétique ou Algèbre) grecs et arabes, qui nous sont parvenus, ne soient dépourvus de notations, soit numériques, soit algébriques, que par la faute des seuls copistes ? Ne serait-il pas possible que le fameux principe posé d'une façon si absolue et si tranchante par Nesselmann, des notations rudimentaire^ nulle et parfaite^ caractérisant les écoles grecque arabe et italienne ne repose que sur la négligence des reproducteurs infidèles du texte des savants de ces écoles ? C'est ce que je suis fortement disposé à admettre ; et, vu l'importance de la question pour l'Histoire des Mathématiques, je vais essayer de présenter ici les raisons qui ont fait naître en moi cette idée, je dirai même cette conviction.

On sait que Diophante, comme je montrais tout-àrheure qu'Aben Ezra l'a fait pour sa notation numérique, prend soin de définir les signes au moyen desquels les algébristes grecs, et lui à leur exemple, représentent l'inconnue et ses ^puissances, ainsi que les termes tout connus dans les formules. Voici ce passage, que, pour la commodité des arguments que j'ai à en tirer, je reproduis très exactement d'après les manuscrits que j'ai entre les mains, ayant soin

d'imiter et les abréviations du copiste, et la figure exacte des signes.

« On appelle donc le « carré > Sivafxiç, et il a pour « signe un delta surmonté d'un ypsilon 2^ ou -V^

« Puis le « cube », qui a pour signe un fcappa « surmonté d'un ypsilon Çjl ou 1C/. Le carré,

« multiplié par lui-même, s'appelle SuvajAoSûvajAtç, et « a pour signe deux deltas surmontés d'un upsilon < %D^ ou iSSy. Le produit d'un carré par le « cube de même côté que lui, s'appelle dynamocube « et a pour signe delta^ kappa^ surmontés d'un € ypsilon 2iS^ ou QSk/. Le cube, se multipliant € lui-même, est un cuba cube qui a pour signe deiix « happas surmontés d'un ypsilon ifiiÇf ou ^1^.

J'ai donné, dans ma traduction, deux variantes des sigles en question, relatives à la place de V ypsilon dans la sigle. On rencontre à peu près arbitraire^ ment soit Tune, soit l'autre dans les manuscrits. Je n'ai pas reproduit, toutefois, d'autres variantes dans

lesquelles la lettre delta n*a pas conservé sa forme archaïque, parce que c'est précisément de cette forme archaïque, très fréquemment employée, que je veux tirer argument.

Les lecteurs qui voudront bien prendre la peine de consulter, dans la Paléographie de Silvestre, les planches qui reproduisent en fac-similé récriture usitée à Alexandrie entre le IV® et le X* siècle de notre ère (v. plus loin quelques échantillons de cette écriture) n'auront pas de peine à se convaincre que les deltas, les kappas, les ypsilons de ces sigles que j*ai copiées dans des manuscrits du XVI* siècle, reproduisent très fidèlement la forme qu'on donnait à ces lettres à l'époque où vivait Diophante, formes tombées en désuétude depuis longtemps, surtout celle de Yypsilon. La conservation, même partielle, de ces formes archaïques démontre que les copistes ont dû avoir sous les yeux les signes en question ainsi dessinés ; et ce n'est pas seulement dans la page reproduite que ces figures archaïques se ren* contrent : on les voit dans la plupart des tableaux résumés des calculs, en particulier dans celui que j*ai cité à la p. 52 de mon étude sur Al-Khàrizmi où Ton pourra voir quel usage les manuscrits en font.

J*ai retrouvé ces mêmes signes, et sous la même figure* absolument, accompagnant tout simplement leur propre définition, dans \m manuscrit grec (n'*25o9 ancien fonds de la Bibliothèque nationale), sur lequel je vais m'arrêter un instant, parce que, chose rare dans les manuscrits du contenu de celui qui nous occupe, il est daté ; et quoique, ainsi qu'on va le voir, nous puissions hésiter de 88 ans sur sa date

certaine, c'est néanmoins là une indication précieuse, et dont je me propose, on le verra par la suite, de tirer bon parti. Voici ces indications chronologi* ques.

Je commencerai par remarquer que tout le n« 25o9, qui est très volumineux, est tout entier copié de la même main, et qu'on ne remarque, du commencement à la fin, d'autres diflférences daus l'écriture, que celles qu'a pu produire l'âge sur la sûreté de main de l'écrivain.

Or nous lisons au fol. 244.

Je ne chercherai pas à fixer la valeur de la sigle qui se trouve répétée à la première ligne de chaque côté de l'abréviation connue d'Iv^ixitâvoç (la seconde fois au génitif) puis à la seconde ligne après les deux premiers chiffres de l'année. Cette sigle ne se trouve point expliquée dans la Paléographie grecque de M.Gardthausen ; en admettant que ce soit une notation numérique, le nombre qu'elle représente ne peut pas être supérieur à i5; peut-être veut-elle dire 6r^Uri, etlasuscription doit-elle se lire

Itouç IÇoxiç^iXiooTOu 6V6VT)xoaTOu oySotj (sic).

Ce dernier génitif neutre est au moins ^ bizarre. En tout cas, comme l'année 6900 des Grecs a commencé une Indiction (car 6900=: 1392, et 1392 4* 3 = 1395 s=: 93. i5), la date d'année de ce siècle doit

étre la même que celle de Tannée de sa première In-diction, et la similitude des deux sigles tend à faire croire à leur valeur numérique. En tous cas si ^^ représente un nom de nombre, ce nombre ne peut être supérieur à 1 5 , ce qui est d'une minime importance pour la question qui nous occupe.

Négligeons donc ce nombre plus petit que quinze, et disons que le folio 244 de notre manuscrit a été écrit en l'an 6900 de la Création du monde.

Par bonheur, dans un autre endroit de son manuscrit notre écrivain nous a donné un moyen de fixer son Ere de la Création. Au fol. 6, et avant de transcrire une série de prédictions relatives à Tan 6938 et années suivantes (car notre homme, en son jeune temps, avait été très passionné pour l'astrologie, comme en témoigne le choix des ouvrages qu'il a copiés dans la première moitié de son livre), l'auteur a pris soin de résumer en dix lignes les principales dates de l'histoire sacrée ; il termine sa liste en nous informant qu^entre la fondation de Constantinople et l'an 6938, on comptait 1 100 ans. La fondation de la capitale de l'empire d'Orient ayant eu lieu, suivant notre chronologie en 33o, 6938 p. M. = 1430 Pi J. C. et 38 ans plus tôt nous étions en

Un autre détail vient encore s'ajouter à celui-ci pour en confirmer la date. J'ai dit que notre écrivain avait été tout d^abord un adepte fervent de la science astrologique ; les premiers feuillets de son manuscrit renferment non-seulement tout l'Almageste de Ptolémée (avec figures coloriées fort bien exécutées), mais une foule de traités propres à éta-

blir les horoscopes, les prédictions relatives au temps, etc., etc. Puis il s'est senti porté vers les sciences plus positives ; au fol. 97 il avait commence à copier le traité (tout récent, qu'on le remarque bien) de Maxime Planude sur « le calcul indien »; j'y reviendrai tout-à-l'heure. Suspendant sa copie vers la fin de la multiplication, il transcrit, fol. J07, un tableau des nombres en notation archaïque, et d'autres en chiffres arabes (d'Orient). Aux folios 107 V. et io8 il commence la théorie du calcul des fractions. Enfin, au fol. 108 v. la définition des noms des puissances de l'inconnue et leurs signes, sur lesquels je vais avoir à disserter. — Puis, une conversion complète s'est opérée en lui, et jusqu'à la fin du volume on ne trouve plus que des textes sacrés, passages de la Bible, liturgie, traités de philosophie chrétienne, etc. ; c'est à la suite d'une profession de foi d'orthodoxie que se trouve la date citée plus haut du fol. 424.

Or une main, que je soupçonne fort d'être la sienne propre, a corrigé, à la fin de la chronologie qui sert d'introduction aux prédictions pour l'année 6938, et qui disait : € jusqu'à maintenant, » [xs/^pl tou vuv, une medn, dis-je, a corrigé à l'encre rouge 6938 en 685o, et pour le temps écoulé depuis Constantin, 1 100 en To32. Je soupçonne fort le propriétaire du livre d'avoir opéré cette correction après sa conversion, et rétabli la date -vraie de l'époque où il avait écrit, au lieu de vouloir charger sa conscience d'un mensonge en appelant « maintenant » vuv, ce qui ne devait avoir lieu que dans 88 ans (i).

(i) J'aurais peut-être pu me dispenser de faire tous ces calculs,

Si donc notre personnage a commencé à écrire en 685o,il a mis 5o (voire même 58 ans) à arriver à son folio 244, ce qui n'a rien d'extraordinaire, vu la variété des ouvrages qu'il y a consignés, et les particularités que je viens de résumer de son histoire pendant cette période.

J'admettrai donc que la partie du volume comprise entre les folios 6 et 244 a été copiée entre 1342 et 1392 (ou 1400) de notre ère. Or vers le milieu entre ces deux dates notre personnage écrivait, au folio 108, après avoir, comme je l'ai dit, défini les noms des puissances de l'inconnue en algèbre, la ligne suivante :

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