TÔ 0, ||J

« Quant à la quantité qui ne possède aucune de « ces propriétés (celles des puissances, produits suc- « cessifs les unes * des autres) on l'appelle le « nom« € bre indéterminé » et il a pour signe c, — Il y « encore un autre signe, [représentant] ce qui n'est « pas composé avec les quantités définies [plus haut].

~ 36 t à savoir Tunité ; elle a pour signe un |x avec un o « superposé yxÇ-

Enfin un peu plus loin encore, nous lisons :

xa\ TÎiç \tl^ztai aï)|xeTov, ^ iXkaà^ xaiw veuov, ^

« Et le signe du déficit est un ^ incomplet et penché « vers le bas ^ >,

Pour le signe de l'unité numérique, de la « monade », dont il est fait un fréquent usage dans les manuscrits des XV' et XVI* siècles que j'ai eu occasion de voir, on a généralement adopté la sigle m^

composée d un mu, et d'un nu, et surmontée d'un petit omicron et de la barre d'abréviation. Rarement

on récrit simplement jZ sans le v, à moins que, dans

l'idée des copistes, ce petit crochet qui termine le second jambage du (X ne représente un v comme dans l'abréviation bien connue #^ j^' J^ pour -j^^voç,

-jA^voù, -fjivwv, à la fin du participe passif. — En raison de la figure qu'avait prise le mu dans l'écriture connue au temps de Diophante, je ne serais pas éloigné de

croire que la sigle |ujT fût déjà usitée sous cette

figure de son temps. En onciale, elle devait plutôt

avoir cette forme |l'|.

Notre codex de 134?. à 1392 ne nous a pas conservé la figure de l'unité ; mais à la suite des signes des puissances il dit encore :

^A oroi

Occupons*nous d'abord du premier : on remarquera en jetant les yeux sur l'un et l'autre fac-similés, que les deux copistes ont employé le signe luimême, ou un très approchant, pour écrire le mot fllpi6|x(Jç dans la définition même du signe. Nesselmann, qui n'avait sous les yeux que l'édition de Diophante par Bachet de Méziriac, fort imparfaite au point de vue de la façon dont les abréviations de toute sorte sont reproduites, avait déjà aperçu et signalé cet emploi, abusif selon lui, qui était fait du signe S pour écrire le mot âpiejxôç, toutes les fois

qu'il se rencontrait, non-seulement pour signifier « le nombre inconnu » mais pour représenter l'idée de « nombre » absolument quelconque.

Cet usage, j'ai eu occasion de m'en convaincre, n'est pas exclusif à Diophante : nous lisons en effet, dans la copie de la W7i<^o:^opia xà9'Iv8ouç contenue dans le codex dont j'ai fait il n'y a qu'un instant l'histoire, la page suivante ;

é/k (m w* fUfnfmjT \^mjr, o a, urfo^Ht^vf^ oc «a ^«so» iiit^r ^ oJi JI, ^tpcx jJLMfi^j\ ao^ ici J^a«c/WcA^#

IC0U oifrue- y o JÂ^ ic^ •î'U^ 'Wfwvrvv y^UffêLM Kqjnovos

dltACt * C Jg ^V7Ui«#- «ÎD^IM/TA/^ J^MaJ^êI • it^ i 79tf-Mi^

Planude vient d'exposer les principes de la numération déci maie écrite, et de la règle de position j et il ajoute:

« Or afin que sur un exemple ce qui vient d'être dit « soit rendu clair, soient les chiffres 8 i 3 6274592, « qui occupent dix emplacements. Or celui qui « est à la première place, en commençant peu* notre « droite comme il a été dit, le 2 signifie deux qui est « un nombre unitaire (formé d'unités simples) ; le « chiffre qui est sur la deuxième place, le 9, signifie • nonantey ce qui est un nombre décadique, ou com- « posé de dizaines seulement. Le chiffre de la troi- « sième place,- le 5, veut dire cinq cents, ce qui est « un nombre centenaire. Le chiffre au quatrième « rang, le 4, quatre mille, ce qui est un nombre mil- « liaire ; le chiffre 7, sept m3rriades, ce qui est un « nombre myriadaire. Le chiffre au septième rang, « le 2, vingt mjrriades, ce qui est un nombre dix u fois myriadaire; celui au septième rang, 6, six cent « mjrriades, ce qui est un nombre cent fois myria- « daire ; celui au huitième rang, le 3, trois mille € myriades, ce qui est un nombre mille fois mjrriac daire; celui du neuvième rang, le i, une myriade « de myriades, ce qui est un nombre une myriade < de fois mjrriadaire ; enfin celui au dixième rang, « le 8, octante myriades de myriades, ce qui est un « nombre dix myriades de fois myriadaire. En sorte « que, pour le dire, le nombre proposé tout entier « est octante myriades de myriades, puis une my- « riade de myriades, et trois mille six cent vingt • « sept myriades, trois mille cinq cent nouante -deux, a Or pour cause de plus de clarté, il faut dire ainsi : € le nombre qui gît à la première place, est composé » d'autant d'unités simples que son propre nombre « le fait voir ; le second, d'autant de dizaines ; le

€ troisième d'autant de centaines, le quatrième d'au- « tant de milles, etc. prises autant de fois qu'est la « quotité du chiffre lui-même >. I

J'ai cité ce passage tout au long, pour avoir occasion de montrer que presque à chaque fois que le copiste, a occasion d'employer le mot ipiOfidç, il l'écrit par un signe dont il a môme l'air de prendre plaisir à varier la forme. Ainsi nous voyons successivement Ç Q ; ajoutons-y la figure s qu'il

donne pour le £Xoyoç ipiB[i.6ç, et qui est identique au $

des manuscrits de Diophante, et enfin ^ et j, que nous voyons souvent employés dans les tableaux, et nous aurons toutes les variantes à moi connues de la sigle qui représentait âpiôixôç. Et comme, ainsi que je Tai déjà fait remarquer, ledit copiste était quasiment contemporain de Maxime Planude, dont il copiait l'ouvrage, il n'est pas téméraire de supposer qu'il a trouvé dans l'ouvrage de Planude lui-même la sigle pour ipUbiud^ en même temps que les chiffres dont il se sert, chiffres sur lesquels je reviendrai également plus tard.

En voyant les différentes variantes que le copiste duMs. 2 509 a employées pour âpie|x(Jç, il m'est venu une fdée qui a tout au moins le mérite de n'être pas absolument invraisemblable : cette idée la voici :

Le papyrus mathématique égyptien publié par M.Eisenlohr(j'enai donné une analyse très succincte au Bulletin de la Société mathématique de France), traite entre autres ime série de problèmes dont je vais citer un comme modèle : c'est le n* 27 de M. Eisenlohr.

L'énoncé se transcrit en hiéroglyphes.

hâS-Uy rO'dua-f hir'f xeper-f m 21,

mot-à-mot : a un monceau, son -^ , son entier (ou son égal), cela fait 21. »

— Puis vient le calcul que je transcris immédiatement, car il est plus facile à lire pour nous sur les chiffres hiératiques qu'il ne le serait dans la notation peu pratique des hiéroglyphes. Je supplée les quelques mots qui nous sont nécessaires pour l'intelligence du calcul.

[Si nous posons! en maltipliant notre hypothèse

ha8 = 5] 5 ha8=5par3-2- ou récipro-

-5- I quement.

[Nous aurons pour] ____^___ / . 3 "i"

Total 6 / .. 7

[mais il faut avoir 21 : coin- ^ ^ ^^

ment passer de 6 à 21 ?] Total 17 *

/ -2- ^ son -^ 3 -g-

Total 21 Total... 21

Ne croirait-on pas, enlisant l'énoncé de cette question, lire parmi les derniers problèmes d*algèbre pure d*Alkhàrizmi :

fa enna qâla; mâlun, ftomso^ho wa miùlo-ho yaiûd

21 dirhemâ .

« et s'il dit : un nombre, son -|- et son égal cela devient 21 unités » ?.

Le p€u:allélisme est absolument complet : JJU miôlo^ ho mot-à-mot « son semblable » est même la traduction servile de 2J her-f^ à la lettre c sa face, sa personne >, mais qui en égyptien (cette particularité a échappé à M. Eisenlohr, qui traduit « son entier ») signifie purement et simplement «lui, lui-même»; jyu yaSûdj c il devient », au singulier, comme en

égyptien i^!^^ xeper^f-Tn, exactement l'allemand « es wird zu.> Il n'est pas jusqu'à la formule d'introduction du problème en arabe qui ne se retrouve dexix

exemples plus loin (et bien d'autres fois encore) en ces termes :

ar jet nek San

a Si l'écrivain t'a dit.... »

Et enfin, une autre expression qui est venue jusqu'à nous

pa hdS^u jet su

« la quantité dont on parle, en question».

Donc la formule arabe est absolument calquée sur la formule égyptienne ; et si nous achevons notre identification par celle des deux termes que nous avons laissés de côté jusquUci, nous sommes nonseulement autorisés, mais contraints, à conclure que ^"^ « monceau » est l'équivalent exact de l'arable JU « propriété >, qui, dans ces formules dont nous parlons, signifie d'une façon[abstraite c un nombre, une quantité ».

Du reste, cette signification du mot haS-u a déjà été depuis longtemps reconnue et signalée par M. Eisenlohr, sur l'autorité de qui elle a été acceptée dans les dictionnaires de Brugsch et de Pierret. Je crois cependant que la démonstration nouvelle que. je viens d'en donner valait la peine d'être publiée.

Donc les mathématiciens arabes du IX* siècle, écrivant au Khârizm, ont copié servilement des énoncés de problèmes égyptiens. Il est bien entendu que ce n'est pas sur un papyrus hiératique que Mohammed ben Mouça a pu le faire : je ne serai donc pas téméraire en disant ;

Les mathématiciens grecs, et particulièrement ceux d'Alexandrie^ ont, en bien des ca^s, copié servilc" ment des traités égyptiens.

Et si pour Diophante d'Alexandrie (et ses prédé-

cesseurs, fondateurs de FAlgèbre grecque, dont il n*est, encore une fois, que Yapplicaieur à certedns problèmes de Théorie des nombres) le mot âpiOfirfç, qui signifie « xm nombre en général, » a servi à désigner « le nombre inconnu », âpiOixôç fiXoyoç) d'un problème, c'est que les Égyptiens avaient déjà employé dans ce sens spécial le haS-u^ qui signifiait du reste, dans la langue, c un monceau, im tas, une certaine quantité, un certain nombre d'objets >, comme en témoignent encore aujourd'hui les mots coptes çpi « acervus frumenti » ^t^^ « plures ; abundare ».

Or, et nous en avons de nombreux exemples dans le Papyrus publié par M. Eisenlohr, le signe f

ayant à lui tout seul la valeur syllabique de «^ haS, s'employait souvent sans autre complément que tout au plus le déterminant Jj) pour signifier » le nombre cherché ». Mais cette lettre, dans la basse époque, qui est précisément celle où s'est formée l'école grecque d'Alexandrie, était souvent confondue avec son homophone en initiale ^ h: on peut, je crois, s'en rapporter sur ce point au témoignage de Brugsch (Gram. hiérogl., tableau des signes, n^'Sgo). Dans notre papyrus même, les figures hiératiques du f et du ^ se ressemblent considérablement ; on en pourra juger en rapprochant de la figure de la première lettre, que montrent les fac-similés donnés plus haut, avec les diverses variantes du mot ^j ûah « accroître, faire grandir, multiplier », dont voici quatre, calquées dans une même page .

rr rii' ri n

Eh bien, j'ai la conviction qu'en voyant Tune à côté de l'autre ces figures hiératiques du J , la

forme démotique Q d'une part, et les variantes du

signe âpiO|xoç, Ç Q Q ^^ notre manuscrit 2509, tout

le monde sera, comme moi, frappé de la ressemblance étonnante de ces signes ; et que tous les lecteurs seront forcément amenés à dire, comme je l'ai dit moi-même :

Les Grecs d'Alexandrie^ qui ont copié servilement les énoncés de leurs problèmes sur les anciens traités égyptiens, ont en même temps copié certains signes abréviatifs dans ces m,êmes traités.

Et ceci m'amène, à parler du dernier signe algébrique de Diophante :

Se fiant sur cette définition, qui lui rendait facile, du reste, la reproduction typographique du signe, Bachet de Méziriac a fait employer à son imprimeur un ? c la queue coupée et la tête en bas », et moimême, dans mon Etude sur Al-Khârizmi déjà citée, j'ai fait employer le même caractère qui était facile, je le répète, à imiter en typographie. Mais telle n'est pas la forme que les manuscrits ont conservée pour le signe de la soustraction ; on s'en pourra convaincre par les deux fac-similés qui suivent, et qui sont calqués exactement sur le Ms. 2379.

!• — N* 32, livre I. — < Trouver deux nombres tels que leur somme soit égale à 20 et la différence de leurs carrés à 80. »

^ jy «r 55 iiV'V ^A fA^fx ssK

soient jf + 'O 10 — •*"

carrés jt* + 20 jf + ï^o jt* + ïoo — 20 ;r

différence des carrés 40 jr =80

division x =2

d'où jif+io = i2 10 — ;r=8

2».— N' 33, livre I. — € Trouver deux nombres tels que leur différence soit 4 et leur produit 96. >

^?fl^ (CJ -r ..3*./ »

soient jf+2 jr — 2

produit .s x^ — 4 = 96

balance x^ = 100

division (sic) jr = 10

d'où., ;ir + 2 = 12 x — 2=8

Le signe de soustraction a, dans ces exemples, et dans tous ceux que j'ai pu voir, la figure d'un X«|x68«; à tel point, que S. E. le cardinal Pitra, dans le collationnement qu'il a bien voulu faire pour moi sur les manuscrits du Vatican du probl. 9 du L. II, a copié comme suit le tableau annexé au problème dans le n° 200. (Je ne reproduis que les trois premières lignes, qui, seules contiennent le signe en question).

C'est-à-dire :

soient ;ir+2 2x— 3

carré x^ + 4 x -\- 4 4x^+9~ 12 Jf

somme ,.. 5 j:*+i3 — 8x= i3

Il est donc bien certain que la figure du signe de soustraction est non pas ? mais A.

Dès la première fois que j'avais eu en main un manuscrit de Diophante, cette figure du signe de la soustraction m'avait sauté aux yeux et sa ressemblance frappante avec le lambda archaïque (v. les fac-similés des VI et VIII* siècles donnés plus loin),

m'auraient fait penser que Falgébriste alexandrin

avait employé,poiir désigner les noms des puissances de rinconnue, les initiales de ces noms, il avait aussi adopté pour l'équivalent de notre — l'initiale du mot Xtx^iç, puisque notre expression 2 x — 3, par exemple, s'énonce, en son langage,

âpidfxoi Sud Iv Xti^ti [JLOvaScuv y,

et s'écrit en sa notation algébrique.

Quant à la description ^ IkXtnU xittu veîîov, j'y voyais une simple glose introduite par un copiste maladroit, et en tous cas, je m'efforçais de chicaner sur le sens de vstSw qui veut dire c pencher > pour en conclure que le J» sans queue qu'on voulait employer devait être non pas complètement « renversé, la tête en bas », ce qui se disait en grec x«T(ox«pà ou tout au plus xaio) orpeç^iievov, tandis que xàito vEuov voulait dire « ayant tendance vers le bas > et que -9 me représentait mieux la figure du signe en question.

Mais je revins bientôt sur cette interprétation et sur l'accusation de non légitimité de la phrase descriptive, dès que j'ai eu connaissance du papyrus mathématique de M. Eisenlohr.

En effet, dans ce curieux ouvrage, le problème qui suit celui dont j'ai donné plus haut le fac-similé, le n' 28, est conçu en ces termes :

l'util 21 !*Â-Â^ ' ^^A^n^g^liaS^iBII Ai il tfll- 1' V^?nieAaV>

-^ en venant -^ en s'éloignant^ lo résulte : fais-'^ « de lo, cela donne i, excédant 9.

« Les 2 sont 6 en venant à lui^ ensemble c 5 ; son y « est 5 : si 5 sort, s'en oa, l'excédant est 10 ».

Ou, en bonne langue mathémathique, (comme Ta bien vu, du reste, M. Eisenlohr, que je ne puis ici que copier ou à peu près).

« A un nombre ajoute ses deux tiers, retranche le tiers [du tout], le résultat sera 10. »

donc X = % 10 = (r - IJ 10

ce qu'énonce l'égyptien en disant c fais -7^ de io>

c'est un, [retranche le] reste 9 ; Or:

€ -^ 9 == 6, 6 -f" 9 =i5, -j- i5 = 5, i5 — 5=rio. >

Remarque. — Il y a dans le texte hiératique deux fautes que j'ai fait disparaître dans la transcription en hiéroglyphes : — !• A la seconde ligne Thiérati-

que dit: fais ~\^ de 20, c'est i » : il faut évidemment corriger 20 en 10. — 2° A la quatrième ligne, le

scribe a, par habitude, écrit le mot Ciy^pir « sortir, s'en aller > avec les deux jambes dans le sens ordinaire de l'écriture, ainsi qu'il est d'usage de le faire pour ce mot, comme en témoigne l'expression iIwnU

CS^jRpMCÎ piremus t la saillie en tranchant » nom égyptien de ce que nous appelons « l'arête » d'une pyramide. Mais ici, bien évidemment, le sens de ces jambes doit être changé, sur la foi de la première ligne, puisque ce verbe désigne ici la soustraction de 5.

Les Égyptiens employaient donc, au moins quelquefois (et cela suffit pour que cet usage ait pu être imité par leurs disciples les Grecs) pour signifier en moins, un signe hiéroglyphique qui n'était autre chose que les jambes marchant en sens inverse de celles qui, dans le langage ordinaire, voulaient dire « venir vers > et par suite « s'adjoindre, s'ajouter ». Ces jambes retournées étaient, du reste, employées comme déterminantes des verbes qui signifient « s'en aller, quitter, se soustraire ».

Si maintenant le lecteur veut bien jeter les yeux i"* sur la figure qui, dans le fac-~similé du manuscrit hiératique représente les deux jambes signe de la soustractioUi — »• Sur les ^ contenus dans les fac* similés ci-joints, calqués le premier sur un palimpseste du IV* siècle publié par TischendorflF comme pièce justificative de soti Nouveau Testament^ le second sur la reproduction par Silvestre d^un manuscrit du Vl* siècle de la Bibliothèque nationale.

M A^AO N K Al e>H N«l

y Vo YC f M A ^eroNV

AYToyo. oYWA.yN2MW6iAVP^

TAieKXCTOCKATAcbyAHfV«

Il sera convaincu, je le pense, comme je le suis aujourd'hui, que la définition du signe moins : <ji e/Xiizli xâtu vEiîov, s'applique parfaitement au signe moins égyptien; que cette définition est bien de Diophante ; qu'enfin le signe de la soustraction a été copié par les Grecs sur un signe hiératique qu'employaient au moins quelquefois les Égyptiens pour signifier « en moins, en soustrayant, en enlevant ».

Dans son Mémoire Sur l* introduction de Varithmett^ que indienne en Occident (Rome iSSg) Woepcke, après avoir établi (p. 5 1 du tirage à part ) que € le € système de numération et Tarithmétique des In-^ € diens furent introduits chez les Arabes par Mo- € hammed ben Moûça Alkhàrizmî », et que € remploi € des méthodes indiennes était déjà assez répandu

€ vers la fin du X* siècle de notre ère parmi

€ les personnes qui s*occupaient d'affaires et de € commercé », rassemble, dans len pages suivantes un grand nombre d'exemples de" manuscrits étudiés par lui, manuscrits dans lesquels il n'est point fait usage de chiffres, et dans lesquels, au contraire, les nombres cités « sont exprimés tout au long par des numératifs », ce qui l'amène à la conclusion suivante :

€ Il paraît, d'un autre côté, que l'emploi des chiffres

« indiens ne devint pas universel chez les Arabes, € mais resta pendant longtemps, si non pendant tou- € jours (sic), restreint entre certaines limites. »

Et ce qu'il dit ici de Tarithmétique. s'applique également dans son esprit aux notations algébriques, en sorte qu'il ne paraît pas très éloigné de partager les idées que Nesselmann ( Die Algebra der Griechen^ Berlin, 1842) exprimait dans les termes suivants, ( V. p. 3oi, avant-dernière ligne) :

€ Nous pouvons, pour ce qui concerne les opéra- € tions et les équations de l'algèbre, distinguer his- € toriquement et en fait trois degrés différents du « développement de cette science. Le premier degré, € le plus inférieur, peut être nommé V Algèbre rhéiO" € rique ; c'est complètement un calcul par mots, et € son caractère essentiel consiste en ce que, par sui- « te du manque de tout signe, toute la marche du € calcul est exposée au moyen de mots écrits en tou- € tes lettres. Ici se rangent les exemples de solutions « algébriques que nous trouvons chez Jamblique

« ainsi que Yépanthème de Thymaridas qui

« leur sert de base ; ici prennent place encore iou8 les « algébrisies Arabes et Perèana jusqu'ici connus^ € chez lesquels, pas plus que chez Jamblique, nous € ne trouvons la moindre trace d'une langue de «i- « gnes algébriques ; il faut encore placer ici les plus < anciens des Itediens et leurs disciples, par exemple « Regiomontanus.

« Le second degré peut s'appeler ï Algèbre synco^ « 'pée . Son mode d'exposition est essentiellement « rhétorique, comme au premier degré, mais pour < ejcprimer certaines idées, certaines opériitions qui

« reviennent très souvent, elle fait constamment « usage d'abréviations au lieu ot place de mots € écrits en entier. C'est à ce degré que se trouvent et € Diophante, et les Européens postérieurs (i) jusque « vers le milieu du X VIP siècle, bien que Vieta eût € déjà déposé dans ses écrits le germe de l'Algèbre « moderne, germe qui ne fit éclosion que quelque € temps après lui,

€ he troisième degré est V Algèbre symbolique, qui € représente toutes les formes, toutes les opérations « qu'on peut rencontrer au moyen d'un langage de « signes arrivé à complet développement, et entiè- € rement indépendant de l'énoncé oral, ce qui rend € toute exposition rhétorique inutile. Nous pouvons € développer un calcul algébrique en restant parfai- « tement intelligibles depuis le commencement jus- € qu'à la fin sans faire usage d'un seul mot écrit ; et

(i) Il faut, pour comprendre cette expression et celle du para« graphe précédent, avoir sous les yeux le tableau chronologique suivant dressé par Nesselniann, p. 84.

« L'histoire de Talgèbro se partage en cinq périodes, comme suit:

i» — L'Algèbre des Grecs, de Pythagore (triangle rectangle en nombres rationnels) à Diophante.

2^ •* L'Algèbre en Asie, à savoir :

a. — Chez les Indiens.

b. — Chez les Arabes.

3^ — VAlgebra numei'osa en Europe, de Bonacci (1200) à Bombelli (iby^),

a. — De Bonacci à Pacioli (1494.), équations quadratiques.

b. — Le XVIe siècle, équations cubiques (Tartaglia) et biquadratiques (Ferrari).

4» — Depuis Viète et Xylander (iSyS) ; Coefficients littéraux, Algebra speciosa, influence de Diophante, jusqu'à la découverte du calcul différentiel (Newton et Mibnit;).

5» LesXVIU^ et XIX* siècles. »

« en réalité nous ne faisons que mettre par-ci par-là, € au moins dans les développements les plus sim- € pies, une conjonction entre les formules, pour évi- € ter au lecteur la peine de chercher et de relire, en « lui indiquant comment chaque formule se lie à la « précédente et à la suivante. En fait, nous autres € Européens, depuis le milieu du XVP siècle, nous € n'avons pas été les premiers à atteindre ce troisiè- € me degré : les mathématiciens Indiens nous y ont « précédés de plusieurs siècles.»

Du reste, ces idées sont celles qui ont cours en général parmi les historiens des mathématiques, et il faut reconnaître que cette distinction des trois étapes successives du langage algébrique a quelque chose de séduisant. [1 n'y a qu'un malheur : c'est qu'elle est bâtie uniquement sur un échafaudage d'inexactitudes, comme je vais le faire toucher du doigt.

Et d'abord, en admettant la vérité de ces distinctions, il n'est pas exact de dire qu'elles correspondent V historiquement » aux développements successifs de la science Algébrique (et arithmétique), puisque le

degré le plus inférieur de l'échelle est occupé par les Arabes et les premiers auteurs italiens antérieurs au XVP siècle, mais postérieurs aux Croisades, tandis que Diophante, au IV* siècle de notre ère, est déjà arrivé au second échelon, et que les Indiens, réputés les maîtres des Arabes, sont placés au point le plus élevé, sur le même rang que notre École actuelle.

Or cette dernière assertion est absolument fausse, et sa présence dans la citation qui précède peut servir à démontrer combien il est dangereux d'appuyer

une théorie sur des données imparfaitement connues : or Nesselmann ne connaissait que par oui-dire les notations algébriques des Indiens.

Ce n'est qu'à regret que je me décide à formuler un jugement aussi sévère sur un homme de la valeur scientifique de Nesselmann, dont la très remarquable étude sur V Algèbre des Grecs (ou plutôt : le calcul chez les Grecs) m'inspire une telle admiration que j'en prépare une édition française. Mais je dois à la vérité de corriger, quand le cas se présente, les erreurs qu'il a commises ; et je suis convaincu que lui-même eût été tout le premier, s'il avait possédé les renseignements dont il m'a été donné de tirer parti, à modifier ses conclusions, si séduisantes, je le répète, qu'elles aient pu être.

Afin que le lecteur puisse juger par lui-même de ce qu'est bien au juste la notation indienne, j'en résume ici les principes, ce qui n'a jamais été fait, je crois. On en trouvera des exemples dans mon Etude sur l'Algèbre d'Al-khârizmi, {Journal Asiatique, janvier 1878). J'y reviendrai plus en détail une autre fois, dans un travail spécial où je me propose d'étudier comparativement les notations grecques, arabes et indiennes.

1° Les données d'un problème sont toujours exprimées en nombres, et les formules qui fournissent la solution sont toujours à coefficients numériques.

2* Ces coefficients numériques se placent après le symbole de l'inconnue ou de ses puissances.

3° Les symboles des inconnues ne sont que les initiales du nom de ces inconnues.

tu j'd, initiale de CrT6|rll<^r! yàvaitâvaif a le quantum »

cfTT ^^ d** TTIFT^ kâlaka a noir »

qr nî (!• I 4lH4) «//a^a « bleu »

cft /i d* cfw* ///tf^« « jaune »

rfi' ^^ <!• Rlh^rl* lôhùaka et rouge »

11^ futf d* H^H«h fw^/a*tf « blanc ».

En guise d'exposant, on fait suivre le signe de chaque inconnue de Finitiale du nom de la puissance à la«quelle elle est élevée,

Q| i» tt carré »| est Tinitiale de ^S[ vatga

ÏT gha tt cube » de SPf ghana

Et notre radical est remplacé par :

Ifî ild « irrationnelle » * de ^\\\\t karanL

y Les signes d'opérations sont les suivants :

a) — Pas de signe particulier pour TAdditiom : la simple juxtaposition des termes en tient lieu.

h) — Un point placé au dessus du coefficient numérique indique la Soustraction, ou, plus exactement, et pour emprunter le langage même des écrivains indiens, TADDrnoN négative.

c ) — La Multiplication des nombres s'effectue immédiatement sans s'indiquer : celle des inconnues est marquée par l'initiale du mot ^isjcT bhâvita € produit » placée après les inconnues, le tout suivi du produit effectué des coefficients. Ainsi le cube de

(c—t/ ou m\ ^\

se rencontre chez Bhâskara écrit :

d). — La division s'indique habituellement en plaçant le diviseur sous le dividende, ou, si l'on veut, le dénominateur sous le numérateur, mais sans barre de fraction. Tel est du moins le procédé suivi en arithmétique; en algèbre, je n'ai pas encore rencontré d'expression fractionnaire, contrairemeiit à ce qu'on pourrait croire d'après la Traduction des algébristes indiens de Colebrooke : je justifierai autre part ce désaccord.

e). — L'égalité de deux grandeurs n'est exprimée par aucun signe. Cependant on fait usage d'équations : voici comment on les écrit. On compose, suivant l'expression des auteurs indigènes, € deuxmembres égaux » ou mieux « de même poids » ^fFQt QvîT tulyau paxau. Ces deux € membres» doivent être exactement sembZabîes, c'est-à-dire renfermer les mêmes symboles dans le même ordre, sauf à affecter du coefficient o celui de ces symboles qui ne figure pas en réalité dans l'un des membres. On les écrit alors l'un sous Tautre, de façon que les symboles de môme nom se correspondent •

On écrit par exemple :

arg^ ^ ara ^ srr ô^o i; o

x^ — 2x^ — 400a' 4- ( = ) (=) 0;r* -h Ox^ -H- Ox -^ 9999

— 25y — 35s — 45w + 5000 (=) (=») — 21^ — 72r — Ow -h 3000

On voit d'après cet exposé combien la notation algébrique des Indiens est loin d'avoir atteint le degré de perfection que Nesselmann a cru pouvoir lui attribuer. Il lui manque, pour être mise en parallèle avec la nôtre, deux choses essentielles : des signes spéciaux pour les deux opérations directes de l'addition et de la multiplication, et le moyen de représenter autrement que par des nombres particuliers les paramètres qui entrent, simultanément aux variables proprement dites, dans nos expressions algébriques. Enfin, comme chez Diophante, les symboles qu'elle emploie ne sont que les initiales des noms des quantités qu'elle veut représenter. L'ajgèbre Indienne mérite tout autant que celle des Grecs et des Européens entre le XIP et le XVIP siècles, le nom d'Algèbre syncopée ; et encore n'a-t-elle rien d'équivalent au 9 ^z apiOjxdî de Diophante, ni aux abréviations devenues de vrais signes algébriques des écrivains allemands des XV" et XVI* siècle; Widmann (1489), Adam Riese (i 522-1559), Christof Rùdolflf (i525), Michael Stifel (1544), etc. (i).

Les faits que j'ai présentés dans les deux premières parties du présent travail, et les réflexions qui m'ont été suggérées par le manuscrit hébreu io52,que

(i) K. Die deutsche Coss, par Treutlein, dans les Abhandlungun fur Géschîchte der Mathematik^ 2* fascicule, Leipzig 1879.

— Gl -

j'ai décrit en commençant, sont de nature, il me semble, à jeter quelques doutes sur la justesse de la qualification d'algèbre rhétorique donnée par Nesselmann à Talgèbre des Arabes et des Persans. J'ai démontré par des preuves matérielles irrécusables, que les tableaux de calculs composés par Aben Ezra pour permettre de suivre le détail des opérations qu'il enseignait à faire, ont disparu petit à petit par la faute des copistes, particulièrement des Italiens, lesquels trouvant ces tableaux déjà pleins de fautes, et n'y comprenant rien, les ont d'abord abrégés, puis fait disparaître entièrement. Pareille chose est arrivée, et à la même époque, pour les résumés d'opérations, pour les séries d'équations successives menant par degrés de l'énoncé à la solution, qui, dans quelques manuscrits du commencement du seizième siècle se rencontrent encore à la suite de chacun des problèmes traités par Diophante, et que nous y lisons tout défigurés par de nombreuses fautes de copie. Deux des signes qui y sont employés noais ont paru être d'origine égyptienne, ce qui nous a portés à attribuer la composition de ces tableaux de calcul algébrique à Diophante lui-même. Ils ont définitivement disparu de l'ouvrage dans l'édition de Bachet de Mé ziriac, bien qu'ils existent dans les deux manuscrits dont il a surtout fait usage, soit que ce patient éditeur ait éprouvé des difficultés à reproduire ces tableaux par la typographie, soit que, vivant à une époque où le cadcul par signes était encore une nouveauté, il n'eût pas été assez familiarisé avec ce calcul pour reconnaître et corriger les erreurs des copistes. Ce qui tendrait à corroborer cette dernière

opinion, c'est que^ dans le texte explicatif de Diophante, lorsque les diverses expressions algébriques qu'il a à transformer se présentent sous le calamede Tauteur, Bachet, comme les copistes qui l'ont précédé, a pris les abréviations- signes pour de simples abréviations calligraphiques, les Ictlres^chiffres pour de pures simplifications et contractions de l'écriture, il ne s'est pas gêné pour remplacer dans son édition tout à fait arbitrairement les signes par des mots et les mots par des signes, absolument comme il écrivait ad libitum les mots en abrégé ou les mots tout au long.

Or, je crois qu'il en a été de même pour ce qui concerne les traités d'arithmétique et d'algèbre des Arabes et des Persans. Woepcke a retrouvé, chez un auteur Arabe d'Espagne du XV* siècle, Al-Qalçâdi, une notation algébrique complète, qu'il a exposée en détails dans une étude spéciale insérée au JburnaZ Asiatique (Octobre-Novembre 1854). Or voici ce qu'on Ht après Texposé du système de notation (p. 354 du Numéro du Journal).

€ La notation dont je viens de donner un aperçu € se trouve employée dans un traité d'arithmétique « composé, vers le milieu ou dans la seconde moitié « du XV" siècle, par un Arabe d'Espagne, Ali- « ben Mohammed Al-Qalçâdi, et contenu dans un € manuscrit appartenant à M. Reinaud, que l'éml- « nent orientaliste a bien voulu me communiquer* « Le manuscrit de M. Reinaud est d'autant plus pré- « cieux, qu'un double, existant à la Bibliothèque im-» « périale (N* 11 34, ancien fonds arabe), est copié « avec la négligence la plus déplorable, précisément

€ en ce qui concerne la notation, et de manière à a n'en présenter que des traces éparses et incohé- « rentes. Les initiales superposées aux chiffres, qui « constituent l'élément essentiel de la notation, y «manquent presque partout; et, destitués de ces € signes, les groupes de chiffres, réunis pour former « des polynômes ou des équations, au moyen du signe € de la soustraction et du signe de Tégalité, n'ont € plus d'autre signification démontrable que celle d'un « moyen mnémonique, imaginé pour faciliter à l'es- « prît les opérations du calcul, en lui présentant sice multanément, et arrangés d'une façon convenable, « les nombres qui entrent dans le problème. Il est « vrai que les signes des puissances se trouvent mis « dans quelques cas isolés ; mais employés ainsi, <r sans suite, ils n*ont encore que la valeur de signes € mnémoniques. Car la condition indispensable pour « donner à des signes conventionnels quelconques le « caractère d'une notation, c'est qu'ils soient toujours « employés quand il y a lieu et toujours de la « même manière. Bref, au lieu de prouver l'exis- € tence d'une notation algébrique chez les Arabes, € le manuscrit de la Bibliothèque impériale, que j'a- € vais vu d'abord, semblait prouver, au contraire, « que les Arabes n* avaient pas su s'élever réellement « a une semblable conception, tout en en ayant eu peut* tt être une idée plus ou moins vague ; d'autant plus

* que l'auteur n'expose pas les principes de sa nota- « tion, mais se borne à la laisser s'expliquer par

* elle-même, en donnant pour toutes ses formules, € d'abord l'énoncé parlé et ensuite l'expression figu- « rée, précédée des mots : « Posez cela ainsi »

U5i jUj ^r'U. Cependant je m'étais intimement « convaincu que cet état du manuscrit ne provenait a que d'une altération due à la négligence d'un copiste « ou d'une succession de copistes ; et que tout ce que « je pouvais en tirer dans cet état, ne servirait qu'à « obscurcir la question au lieu de Téclaircir. Je m'é- « tais donc décidé à réserver ces données avec quel- € ques autres pièces que j'examinerai ci-après, et qui « toutes m'indiquaient l'existence d'une notation € algébrique chez les Arabes, jusqu'à ce que je pusse « en découvrir une preuve bien décisive, lorsque le « manuscrit de M. Reinaud, où la notation se trouve 4 entièrement conservée, vint m'oflfrir à la fois la con- € firmation complète de mes prévisions, et la clef si «longtemps cherchée de cette question intéressante.»

J'ai tenu à reproduire tout au long cette plainte amère et mélancolique de l'éminent érudit, qui frémit encore à l'idée que, par la faute de copistes ignares, sa précieuse découverte allait lui échapper. Il n'eût pas été, malheureusement, le seul ainsi égaré par l'incompétence des scribes : Nesselmann avant lui , dans son admirable étude sur les notations de Diophante, a été induit en des erreurs graves par l'édition de Bachet à laquelle il a eu le tort de se fier ; O. Terquem, dans son analyse de l'Arithmétique d'Aben- Ezra, a été également trompé par le calligraphe italien du XVP siècle dont il avait sans doute choisi la copie comme la plus nette et la plus facile k lire de celles que possède notre Bibliothèque nationale.

Woepcke a réuni, dans l'article dont je m'occupe, un certain nombre de témoignages tendant à prouver que l'usage de cette notat'on (ou de quelque chose

de semblable) était ancien chez les Arabes : un pas«* sage des Proligomhtes dlbn^Khaldoun en attribue formellement Tusage à Ibn-al-Bannâ le Marocain : ce qu*on eût pu aisément supposer, car Al-Qalç&d n'est qu'un simple commentateur du savant Grena« din, qui professait au Maroc vers 1220. Or, et ceci vient à Tappui de la thèse que je soutiens dans cet article : ces notations, dont Remploi par Ibn-al-Bannà nous est attesté et par l'usage qu'en fait son commentateur, et par le témoignage formel de Phistorien, généralement très exact dans ses récits, ne figurent pas dans la traduction du Talkhys d'Ibn^al'Bannâ

publiée en 186 5 par M. Aristide Marre dans les Atti

delV Academia ponteficia de' nuovi Lincei (i). Des 1 copistes inintelligents les ont donc fait disparaître,

] et elles n'existaient plus dans le manuscrit copié

par Woepcke dont M. Marre s*est servi pour sa tra«

duction.

Il y a du reste^ pour des gens faisant usage de récriture arabe, un obstacle tout spécial à l'intercalation dans le corps d'un texte de signes particuliers, voire même de chiffres, qui a bien pu contribuer pour

(i) Dans sa Notice sur quelques manuscrits arabes relatifs aux mathématiques et récemment acquis par la Bibliothèque impériale^ insérée au Journal Asiatique en i86a, Woepcke après avoir décrit trois commentaires du Talkhis dlbn-al-Bannà» ajoute : « Cea trois commentaires du Talkhis ne sont pas sans in« « térét. Il paraît que l'algèbre et l'arithmétique arabes ont suivi c dans le Maghreb un développement distinct de celui qu'elles « prirent chez les Arabes d'Orient, et présentent certaines partif cularités caractéristiques, notamment en ce qui concerne Temf ploi de notations algébriques. Il semble en outre que dans f cette évolution des sciences arabes, Ibn-al«Bannà tient une place f éminente* »

beaucoup i décider les copistes à faire disparaître signes et chiffres du texte d'abord, ce qui les a plus tard amenés à supprimer les tableaux de calcul eux-mêmes. Comme j'ai éprouvé moi-même l'embarras dont je parle, lorsque j'ai voulu faire usage des nota« tions d'Al-Qalçâdi, ou simplement me servir de chif* fres dans les copies que j'ai eu besoin de faire, je puis en parler en connaissance de cause. Voici quelle est cette difficulté.

Nous avons vu plusieurs fois, dans la première partie de cet article, qu'Aben-Ezra, lorsqu'il a occasion de reparler d'un nombre déjà cité, fait, comme le prescrit la grammaire, précéder ce nombre de Varticle défini. Nous lisons, par exemple, à la 6* ligne de l'explication relative à la multiplication, p. lo in jVtn wn nSyoa nn airo c écris le 8 au second degré au-dessous du 3 ». Ici tout va bien : les lettres hébraïques ne se liant pas d'ordinaire les imes aux

autres, on peut très bien faire suivre l'article n de tel signe que ce soit, lettre numérique, comme dans la phrase que je viens de citer ou signe quelconque, s'il s'agit, non plus de nombres en arithmétique, mais de notations spéciales en algèbre ou en astronomie.

Mais il n'en est plus de même en arabe : ici l'article Jî el a l'habitude de se lier, par la queue de son

lam^ à la consonne initiale du mot suivant : cette liaison se fait bien tant que les nombres sont exprimés en mots : mais quand ils sont écrits en chiffres, comment faire ?

Par exemple, Al-Khârizmi (je prends tout-à-fait au

hasard) veut indiquer comment rendre positifs tous les termes de l'équation

X\ C Tilu 'ox — a;a = 21

à laquelle Tamène un de ses problèmes. Le texte im« primé par Rosen porte en toutes lettres

^y^î^ J^yij^ ô^J^JUb .UIï^^î^^U

€ raccommode les lo a: du x* et ajoute (le a:*) au 21 > tout va très bien ainsi pour le copiste ; mais essayons d'employer les chiflEres : faudra-t-il écrire

Ce lam sans queue, qui ne se relie à rien, est quasiment inadmisible dans l'écriture arabe. Ecrira-t-on

alors r \ Jl i^ A ^j T Jli T* J\ ^^<8^^i ^ ™i^s alors d'une

part l'article J| prendra un aspect tout à fait insolite

en dehors de tout ce qu'on est habitué à lui voir. Puis son lam final, dont la queue enveloppera nécessairement les chiffres dans un manuscrit où, on le sait, ime des grandes préoccupations des scribes était de ne pas perdre de papier, et pour cela de ne pas trop espacer les mots, pourra se confondre avec le signe à'égalitéj et entraver ainsi la lecture rapide.

Mais, me dira*t-on, en géométrie, comment faisaient* ils pour dénommer les figures ou parties de figures. Ils les désignent bien, il est vrai, par des lettres qui ne

se relient m entre elles ni au mot précédent ; mais comme ce mot précédent est toujours le nom de la figu»

re en question |>. fh^\ < la ligne MN », ^,^ /^J^^ « le carré BD> etc., c'est à ce nom de la figure et non aux lettres indicatrices que se lie l'article, et la difficulté graphique n'existe plus.

Telle est, j'en suis persuadé, la raison principale qui a conduit les copistes arabes à ne pas intercaler dans les ouvrages de mathématiques les chiffres et autres signes dont les professeurs, élèves des Grecs et jusqu'à un certain point des Indiens, faisaient certainement usage ; ce dont témoigne, en dehors des citations qui précèdent, la réapparition de ces notations chez les Cossistes allemands.

Je me contenterai pour Tinstant, devant y revenir dans une prochaine étude, de renvoyer pour les signes employés par ces derniers au très-intéressant mémoire de M. Treutlein cité plus haut. Je me bornerai seulement à faire remarquer que le caractère par lequel, suivant l'auteur de ce mémoire, les Cossistes allemands représentcdent lenombre connu {rûpa

dirheniy numerus) ressemble terriblement au grec O

Du reste, cette horreur dont ont été pris les calligraphes d'Italie pour les signes abréviatifs et particulièrement pour les chiffres, subsiste encore de nos jours chez les typographes : chacun sait que cette intéressante catégorie de citoyens, qui nous rend de si éminants services de tous les jours, se refuse absolument à écrire les nombres en chiffres, et que, dans les ouvrages techn qoes où il faut souvent intercaler

— codes nombres dans le texte, on a toutes les peines du monde à obtenir d*eux que ces nombres ne soient pas écrits en toutes lettres. Il n'est donc pas extraordinaire que des calligraphes, jaloux de leur belle main et de la régularité de leur copie, qu'ils exécutaient sans que le contrôle de l'auteur s'exerçât sur eux comme il s'exerce aujourd'hui sur le typographe, s'en soient donnés à cœur joie de faire disparaître ces horribles chiflEres, ces disgracieuses abréviations qui déparaient leur joli texte.

En résumé, je crois, m'appuyant sur les faits que j'ai exposés dans les pages qui précèdent, que dès qu'on a commencé à faire des raisonnements edgébriques, on a eu un moyen d'écrire en abrégé ces raisonnements, employant des signes abréviatifs à peu de chose près comme nous employons nos figures symboliques. Ces abréviations n'étaient point codifiées par l'usage, mais chaque auteur choisissait celles qui lui paraissaient les plus commodes. Pourtant certains signes, devenus de vrais symboles, se sont parfois conservés à travers toutes les écoles : en outre tous ces systèmes reposaient sur le même principe, la désignation, au moyen d'un signe particulier, des diverses puissances de l'inconnue, qui seules étaient représentées par un symbole : les données du problème étaient toujours exprimées par des nom^ bres particuliers, alors même que, comme chez les Indiens, on arrivait à donner de la solution une ex pression générale. Il n'y a jamais eu dans L'algèhre que deux degrés : l'algèbre des abréviations et des données numériques, inventée par les Egyptiens,pratiquée peut-être aussi par les Chaldéens, laquelle s'est

perpétuée jusqu'au XVI* siècle de notre ère, et Talgèbre symbolique, l'algèbre moderne qui n'a pris naissance que lorsqu'on eut eu l'idée de représenter les données du problème sous forme générale par un symbole, de symboliser également les opérations chacune par un signe spécial, et d'arriver ainsi non plus à résoudre avec plus ou moins de facilité un problème particulier, mais à trouver des formules donnant la solution de tous les problèmes d'une même espèce, et, parce qu'elle servait à caractériser chaque espèce de problème, servant à exprimer les propriétés générales de certaines catégories des nombres, de certaines familles de figures, ou à formuler les lois de certaines classes de phénomènes naturels. Voilà la seule distinction réelle, la seule gradation que l'examen des documents originaux nous autorise à établir : la classification de Nesselmann, si séduisante qu'elle puisse parattre, ne repose que sur des données fausses empruntées à des éditions incomplètes, comme le Diophante de Bachet, ou s'autorisant de copies inexactes analogues à celle d' Aben- Ezra dont s'était servi O. Terquem.

Il me reste à dire un mot des chiff*res Pythagor cten qui sont employés dans notre Ms. io52, concurremment avec les chiffres-lettres d'Aben-Ezra, ainsi qu*on peut s'en convedncre en jetant les yeux sur le iac-simile que j'ai donné p. 4. Je dois même dire que d'ordinaire les deux tableaux, dans les deux notations, au lieu d'être séparés l'un de Tautre, comme dans le passage que j'sd reproduit, sont absolument juxtaposés, accolés l'un à l'autre, et que l'indication de ce que contient chaque ligne de l'opération n'est alors écrite qu'une seule fois.

J'avais eu l'intention, en commençant le présent article, de faire une étude complète' sur ces chiffres, leur figure, le fait de leur présence dans un manus*crit copié en plein pays arabe (j'attribuais à cette épo-» que leur emploi au copiste : v. les premières pages de la présente notice) ; mais depuis deux ans et plus

que le présent travail est, je ne dirai pas c sur le chantier > mais c sous presse >, il m*a passé sous les yeux, sur cette question de l'emploi des chiffres pythagoriciens (je ne puis pas les appeler arabes pour les raisons déduites ci-après) bien des documents nouveaux qui, non-seulement m*ont fait changer d*avis s\ir le compte de Tauteur des tableaux qui renferment ces chiffres, mais me fourniradent matière, si je voulais traiter la question telle qu'elle m' apparaît aujourd'hui, à une dissertation beaucoup trop longue pour trouver place ici. Je me bornerai donc aux quelques remarques suivantes, me réservant de revenir plus tard et dans un article spécial sur cette question intéressante que je ne fais que remettre à \m autre moment.

Immédiatement avant le passage que j'ai cité, p. 7, le texte est interrompu, et on lit au milieu de la ligne

« figure (des neuf premiers nombres) dans l'écriture « deTInde. »

Et la forme de ces chiffres (qu'il faut lire de droite à gauche à la mode orientale) fidèlement conservée, comme on peut* le voir sur le facsimile p. 4, tout le long du manuscrit (i), diffère par quelques détails im-

(i) Je profiterai de roccasion qui se présente, pour faire ici une remarque à l'adresse des personnes qui recherchent ainsi les figures des chiffres dans les manuscrits du Moyen*

portants des chiffres ghobâr si bien étudiés, et définis par Woepcke dans son Mémoire sur la propagation des chiffres indiens. Ce sont encore moins les chiffres arabes orientaux (i), dont une note marginale ainsi conçue '•

}^n T f n -7 j. jfiT < figure des lettres indiennes. >

âge. On se contente d'ordinaire de relever la forme de ces chiffres donnée au moment où l'auteur en parle pour la première fois, pour les définir. Mais il arrive fort souvent que les copistes, non encore familiarisés avec la figure de ces signes, pour eux absolument inconnus, ou se sont trop appli^ qués^ et ont surchargé la figure des chiffres d'ornements inutiles, ou n'avaient pas encore la main exercée à copier ces figures, et les ont traitées d'une façon peu exacte. Il est très important de parcourir l'ouvrage entier, de rechercher s'il y a eu des calculs faits avec ces chiffres, et de voir d'après l'ensemble de ces calculs, quelle forme le copiste, probablement aussi son modèle, a donné aux figures en question. On arrivera ainsi à avoir la vraie figure des chiffres à l'époque où le livre a été fait, et à recueillir parfois des variantes fort dignes d'intérêt.

(i) Il serait peut-être plus exact de dire : des chiffres per» sans^ cet le quatre très ample, le cinq en forme de p renversé (il est pourtant ainsi fait chez Planude, v. p. 92), le six à large tète (cette particularité se remarque aussi dans le six de Planude) se sont conservés jusqu'à notre époque chez les Persans.

L'adoption de ces chiffres arabes par Planude, qui écrivit à Gonstantinople, à la fin du XIV* siècle, après un séjour en Italie d'où il aurait pu, à la rigueur, rapporter les chiffres semblables à ceux d Aben-Ezra, est encore un argument à ajouter à ceux que je développe ci-après.

vient rappeler la forme. Mais ils sont identiques, jusque dans les plus petits détails, aux chiffires qui, en Occident, ont fedt leur apparition au XIV* siècle, remplaçant les apices qui servaient sur Tabaque, par les signes qui, avec Taide du zéro, ou, comme on disait de la chiffre^ furent usités désormais pour écrire les nombres et effectuer les opérations sans iahleau à colonne absolument comme le faisait Aben-Ezra.

Cette identité de figure des chiffires ici employés, c'est-à-dire dans une copie, que, comme je Texpose dans mes premières pages, je suis tenté de faire remonter peut-être jusqu'au XIV* siècle, avec ceux qui à cette même époque, étaient en usage en Occident m'avait fait croire tout d'abord que ces « figures dans l'écriture de Tlnde > auxquelles Aben-Ezra avait cru devoir substituer les neuf premières lettres de Tedphabet hébreu, n'avaient fait leur apparition dans la copie que j*étudie que par suite du pédantisme du copiste, qui avait cru donner une preuve de sa science en restituant, à côté des tableaux, écrits par Aben- Ezra à l'aide de ses lettres-chiffres, d'autres tableaux en vrais chiffres, dont il avait pu tenir la figure de quelqu'un de ses coreligionnaires ayant appris le calcul en Occident.

Mais si Ton examine le calcul en chiffres donné p . 4 on verra immédiatement qu^il y a eu, comme dans le calcul en lettres, transposition d'une colonne dans l'autre, des chiffres de certains produits partiels ; et cette transposition n'est pas faite de la même mam'ère dans les deux tableaux.

Donc — : I* Le tableau en chiffres n'est pas l'œuvre du copiste, qui, s'il avait été capable de traduire une notation dans l'autre, aurait été également capable d'apercevoir les erreurs et de les corriger. — 2® Le tableau en chiffres n'est pas copié sur celui en lettres, puisque les erreurs de l'un et de l'autre sont différentes. — 3" Dès lors l'un et l'autre tableau a été copié et mal copié, sur des modèles antérieurs déjà peut-être eux-mêmes fautifs.

Donc enfin l'existence des tableaux en chiffres est antérieure à la copie que nous possédons.

Ne faut-il pas. alors les faire remonter jusqu'à Aben-Ezra lui-même ? Je serais aujourd'hui fort disposé à être de cet avis ; d'autant mieux que si les chiffres en question nous présentent des formes presque identiques à celles des chiffres occidentaux du XIV* siècle, ils ont une affinité bien grande aussi avec les figures des premiers chiffres indiens du sys« tème moderne que l'on voit apparaître sur les inscriptions au VHP siècle. Je renverrai, pour ce sujet, au Mémoire de Ed. Thomas, publié en i863, dans le Journal Asiatique, On verra à la fin de ce Mémoire les dates de 703, 721, 732, dont les chiffres ressemblent d'une manière frappante à ceux d' Aben-Ezra .

N'aurions-nous pas alors dans ces chiffres des tableaux de notre manuscrit la figure des chiffres indiens en usage dès le VHP siècle d'après les inscriptions, dès le commencement du VI* d'après les inductions tirées des Leçons de calcul d*Aryabhata^ chiffres que notre auteur, avec tous les Arabes, ap-

pelle « lettres de 1* Inde >, qui forent apportés, suivant la tradition arabe, à la cour des Elhalifes par un savant venu de F Inde, et, suivant Aben-Ezra lui-même (dans ses prolégomènes aux tables astronomiques d'Albatani) par un juif venu de ce même pays.

Je resterai pour le moment sur ce point d'interrogation.