LES ESPACES ET LEURS DIMENSIONS
Un ensemble de n quantités .r^, .r^, ...,.r„ sera ce que nous appellerons les coordonnées d'un j9o/;2? dans l'espace à /z dimensions.
Si les coordonnées x^, .v.,, ...,-r„ d'un point sont fonctions d'un seul paramètre t (qui pourra être lune des variables .r^, ..., .r„ ) on dit que le point .i\, .r.,, ..., .r„ décrit une ligne ou une variété, ou même un espace à une dimension.
Si-r^, xo, ..., .r„ sont fonctions de deux variables indépendantes, t, «, on dit que le point j.\, ..., x^^ décrit une variété ou encore un espace à deux dimensions.
Si .r^, .r,, ..., Xn sont fonctions de trois variables indépendantes, on dit que le point .Vy, .r.y ... x„ décrit une variété ou un espace à trois dimensions, etc.
Une variété à n — i dimensions est une surface ou une hyper-surface. Un espace à plus de trois dimensions est un hyper-espace.
Une variété à yj» dimensions est continue, quand les coordonnées d'un quelconque de ses points sont fonctions continues des/» paramètres dont elles dépendent.
Une figure est un ensemble de variétés de mêmes dimensions ou de variétés de dimensions différentes (points, lignes, etc.).
On dit qu'une variété est le lieu des points dont les coordonnées satisfont à son équation, ou à ses équations. On dit aussi qu'une variété contient les points dont les coordonnées satisfont à ses équations. On dit enfin que des variétés se coupent ou se rencontrent quand elles contiennent un ou plusieurs points communs en nombre fini ou infini, formant une variété à 0 ou à un nombre quelconque de dimensions.
Si les coordonnées d'un point x^, .r^, ..., .r,j sont fonctions linéaires d'un même paramètre variable ?, qui peut être lune des variables Xi, xo, ..., x,i , on dit que ce point décrit une droite. Ainsi les équations
x^ = «i + oi^t, .r. = a^ -f o.^i Xn = an-\r ^nt ■
représentent une droite. Ces équations peuvent se mettre sous
LA PANGÉOMÉTRIE 33
l:i lorme
ou même
ky.^ kv.i,
Elles sont toujours satisfaites pour les mêmes valeurs de x^, ..., x,i et repro^sentent toujours la même droite, le même lieu, a^, 7.2, ..., a^j sont les coefficients directeurs de la droite.
Une écpiation du premier degré représente ce que l'on appelle un plan.
La théorie des équations linéaires peut se résumer comme il suit, en employant le langage de la pangéométrie : n équations linéaires entre n inconnues ont en général une solution et une seule.
n plans dans l'espace à n dimensions ont, en général, un et un seul point d'intersection.
Si cependant le déterminant A des coefficients des coordonnées est nul, sans autre condition, ces plans ne se coupent plus, à moins que l'un des déterminants obtenus en remplaçant, dans le précédent A, une ligne par les termes indépendants des coordonnées ne soit nul; les plans se coupent alors en une infinité de points située sur une droite (variété à une dimension) car les n équations de nos plans se réduisant an — i distinctes, n — i des coordonnées deviennent fonctions de l'une d'elles.
Si tous les mineurs du déterminant A sont nuls, les plans peuvent n'avoir aucun point commun, ils peuvent aussi se couper suivant une variété à deux dimensions, etc.
Au fond, il ne faut voir dans ces propositions qu'une manière imagée de représenter des faits parfaitement réels; on appréciera seulement plus tard les avantages de la pan- •jréométrie.
DEPLACEMENTS EUCLIDIENS
Si l'on désigne par .r^, x.,, ..., .r,j les coordonnées d'un point quelconque ^I d'une figure F, si l'on pose
•^1 = ? (Jl. Ja» • • • ' yn), . • . , ^-n — On (r^, Jo, • . . , Jn) Laurent. Théorie des nombres, 3
34 LA PAXGÉOMÉTHIE
et si Ton suppose que Ion puisse résoudre ces équations par rapport aux y; au point M (.r^, .r^, ..., j^„ ) de la ligure F correspondra un point Xde coordonnées ?/i, y-y, ..., Vn appartenant aune autre figure G; G est la transformée de F par la substitution (i)
Si la substitution (i) contient des paramètres variables, on pourra, en faisant varier ces paramètres dune façon continue, transformer F en d'autres figures, en différant infiniment peu, si les paramètres varient infiniment peu ; il y a plus, pour certaines valeurs des paramètres, les figures F et G pourront être identiques, de sorte que la ligure F se trouvera parmi les transformées.
Il peut même arriver qu'en effectuant sur la figure G la substitution ,
Ji = ?1 (-1, -2 T • • • .' '«)• yn = 'î (^1- =2.- ■■ -y -n),
on obtienne une des transformées de F, le cas est particulièrement intéressant et son étude approfondie a conduit à des résultats qui ont révolutionné l'analyse et la géométrie.
Parmi les substitutions dont nous venons de parler, les plus simples sont les substitutions orthogonales. Rappelons rapidement leurs propriétés : Une substition orthogonale est définie par les équations
1 Jj
«JnJ«
am Xr,
Xn = «ni ;'i + «n2 1'2 + • • • + «nn J,, + bn I
les bn sont arbitraires, mais on a entre les «^ les relations
\ o si i^j
[i) an aij + ait aoj • • . + ^„i ^nj ~ f .
I SI i =y
On en conclut
en sorte que
( y zta^r,a,^ . . . annj^ = A—y^ta^^a,.,... ann
LA PANGEOMETRIE 55
est égal à I ou à — i . Lorsque A = i , la figure qui a été transformée par la substitution orthogonale est dite avoir subi un déplacement euclidien.
Ce déplacement est une translation quand les aij sont nuls et les an égaux à l'unité, et une rotation quand les b sont nuls.
Supposons A = I et posons
( ^l=«liri+ ... + «inj«,
En vertu de (i) on aura
-1 + ^2 + + --« = Jl + J2 + +yn (4)
et
[ Jl = «U-l + «21-2 +an\Zn,
\ Jn—aui "i + «2^1 "2 + (^nn~n,
ce qui, en vertu de l'identité (4), exige que
\ o si i ^ /, ( I si i =j.
On remarquera qu'il suffit pour que (3) et (5) soient orthogonales que
Quand on connaît deux substitutions orthogonales
, Xi — «aJi + -hainyn,
, yi = «,i ^1 + + «m -n,
on en déduit une troisième en éliminant les y entre ces équations, ce qui donne par exemple
(6) ,Xi—hiiZi-]r -|- l^n^n,
3G LA PA>(;ÉOMÉTHlE
Cette dernière est bien ortho2:onale car on a
et par suite
^ jLà
ce qui prouve, en vertu de la remarque que nous venons de l'aire, que la substitution (6) est orthogonale.
On peut former comme il suit une substitution orthogonale.
Soit hi^^ — h^i et h^ = o ; posons
' X^ — Ti = /^ii (-Ï'I + Vj) + + bui [Vn + J„),
\ Xn —Jn — l>>n {jCi + J\) + + bnu (•^'n + T;,),
on a en multipliant la première équation par .r^ + ?/i,.. .,1a dernière par .r„ -\- ?/„ et en ajoutant
donc ^î.r=:: ^//;, et par suite, si l'on résout le S3^stème (3) par
rapport aux .r ou aux ij, on aura une substitution orthogonale
générale.
Nous ferons au sujet des formules (3) quelques remarques :
On peut se donner j?|,..., .r„ et t/^,..., y^ et en déduire les bij,
, n {ji — il.
et bien que les équations soient a ■ — ■— ^inconnues, on doit
avoir Sx- = Ij/'-.
Si Ton se donne n — i points
LA PAN(JEOMETRIE '-'7
et les points obtenus en déplaçant ceux-ci par les formules (;>)
on se donnera trop de conditions pour déterminer les b^j ; voyons à quelles conditions les points donnés et leurs transfornjés devront satisfaire pour que les bjj existent.
Il est clair que n systèmes obtenus en remplaçant dans (i) .l'i et T/i par X/y et ?//y devront être satisfaits.
Considérons d'abord les n — i équations
/ -^U — J)l= '^1 G^U + Jli) + + fnn {jr,n +ri«).
bii étant nul elles sont -au — i inconnues bio,..., b^^ et elles admettront une solution. Il en sera de même des équations
( '^12 — J12 = ^'li (-^li + Jll) + + ^^2» [^'in+yui),
(5) x,^ —y,, = h.,, {x,, + joi) + + />2« i-ron + J2n; ,
pourvu que l'on ne considère que les « — 2 premières, car b>i^ = — bii est déjà déterminé, et ainsi de suite. En résumé pour calculer les b, il suffira de se donner
et les valeurs correspondantes des y. Dans ces conditions on
quel que soit l'indice/.
Les systèmes (4) (5)... ont une solution et on peut grouper leurs équations autrement.
Considérons donc d'abord les premières équations des sys-
38 LA PANGÉOMÉÏRIE
tèmes (4), (5),... si Ton y adjoint il faudra y adjoindre la condition
Considérons les secondes équations des systèmes (4), (5)..., on pourra y adjoindre les conditions
^2n Jin ^^^ >
pourvu que l'on ait d'abord
et
ce qui, en vertu de (a) et (b), peut s'écrire
et ainsi de suite.
De là résulte que an — i points on peut faire correspondre n — I autres points donnés, pourvu que l'on ait
Distances
On appelle distance euclidienne, ou simplement distance de deux points jti,..., r» et yi,... y»? ^^ quantité
+ y/ K-^\ —yyi' -t- v^'2 —y-i)-- ■ • + i-^''i — J«)''
LA PANGÉOMÉTRIE 39
c'est un invariant de tout déplacement Euclidien, c'est-à-dire une quantité qui ne change pas quand on effectue sur la figure composée des deux points une substitution orthogonale de déterminant i (et môme — i).
En effet si Ion pose
^i — /-'i + «ii-*"i+ >
on a
■y^ — a,^ {x[^y[)-^ ■J2=«2i (W+jO +
et si la substitution considérée est orthogonale, on a bien
(-^i-Ji)' + (-^2-/2)' + = W-jO' + (-^2-72)' +
Figures égales
Deux figures sont égales, quand on peut transformer Tune dans l'autre au moyen d'un déplacement. Lorsque la transformation est faite, on dit qu'on les a fait coïncider.
Lorsque La distance de deux points A e/ B est égale à la distance de deux autres points A' et B', les figures AB et A'B' sont égales.
En effet une translation fera coïncider les points A et A^ une autre translation les fera coïncider avec le point 0 de coordonnées (), o,..., o, les points B et B' coïncideront alors avec deux autres points G et C et comme les distances de O et C, de O et C sont égales, une infinité de rotations permettront de faire coïncider C et G'. Donc les figures AB et A' B' sont
égales
Si l'on appelle triangle la figure formée de trois points A, B, G, et si l'on appelle côtés les distances AB, BG, AG ; deux triangles ayant leurs côtés égaux deux à deux sont des figures
4^> LA PANGÉOMÉTRIE
égales, et en général dans l'espace à n dimensions deux figurrs formées chacune de /z -|- i points dont toutes les distances soi:t égales deux à deux sont des figures égales.
Étude de la ligne droite
Par un point donné on peut faire passer une infinité de droite En effet si «i,..., «^^ sont les coordonnées du point donné, L droites
,s >yi — ^^ __ ■r. — a, .Tn—an
passeront par ce point et différeront entre elles par les panmètres ai : 0C2 : .... : a".
Par deux points donnés passe une droite et une seule.
Si l'on exprime en effet que la droite (i) contient encore le point ^1,... bn, on a pour déterminer a^ : Xj...
Les 7-1 : aj... sont ainsi déterminés sans ambiguïté, et l'équation de la seule droite passant par «x, «o... et b,,, b,... est
Ainsi deux droites qui ont deux points communs coïncident.
Deux droites quelconques sont deux figures égales.
En effet, considérons deux droites, on peut taire subir i\ chacune d'elles une translation qui les fasse passer par le point dont toutes les coordonnées sont nulles. Soit
^i .To X^ X.y
leurs équations, la première passe par le point A a^ rt.
LA PAXGEOMETIUE 'l l
la seconde par le point B
^i.bf \/:^hi
tous deux à la distance i de leur point commun, une rotation fera coïncider les points A et B, elles auront alors deux points communs et coïncideront donc, etc.
Sur toute droite passant en A, il existe deux points B et B' situés à égales distances de A.
En effet soit
une droite, les points «i -j-a^i', «2 + ^2^, •••5 ''-'1 — y-it^a, — a^f, ... sont tous deux à la distance
de A dont les coordonnées sont a^, rtj... et ce sont les seuls points de la droite située à cette distance de A, car la distance change avec t.
Soient b^, h.^, .... h^ les coordonnées de B ; b\,..., b' ^ celles de B^ les coefficients directeurs de la droite seront à volonté
It(«,-^J,±(r^, — />,) ±[a,,-hn)
ou zb («i — />i) , ±[an—lh^-
Nous observerons que
sj^'xi \I'Z'j:\ ' V^^'^'
sont inférieurs à i en valeur absolue, ce qui permettra de les désigner respectivement par cos cpi, cos o^,..., ^os o„ et l'on aura
(i) cos- w^ 4- COS^ O2 + +COS^ On =: I
et les nombres o seront bien déterminés si on les suppose compris entre o et ::.
\1 LA PANGÉOMÉTRIE
Les équations de la droite prennent alors la forme
^1 ^=^ '"'^1 ~h ^ COS cp^, JTn ^ Clu -\- t COS On,
et comme en vertu de (i)
ztt est la distance dupoint jc^, . . . , x„ de la droite aupoint «!,...,«„.
Les points de la droite peuvent être classés en deux catégories, les uns seront fournis par les valeurs positives de f, les autres par les valeurs négatives de t.
On obtient les points de la seconde catégorie en supposant t positif mais en remplaçant cpi, <po,...^ 9n par - — o^, - — ^j,...., (ou par TT -|-(p^, t: -\- o y, . . .) . On dit que les premiers sont situés dans la direction positive de la droite et que les autres son^^ situés dans la direction opposée, et l'on peut évidemment prendre pour direction positive celle que l'on veut.
