ANGLES

Considérons deux droites, mettons leurs équations sous les formes

(i) x^ ■=. a^-\-t cos Oj, , Xn =^an -\-t cos o„ ,

(2) Ji — h^-^ Il cos ^i, , Xn — hn + U COS 6„ ;

leurs directions positives sont alors déterminées. Il est facile de voir que si l'on pose

cos Y =r cos cpj cos '];^ -\- cos o.y cos <]^o+ + cos o„ cos ']/„.

cos V sera compris entre + i et — i, et que cos V restera le même quand on déplacera la figure formée par les deux droites. En effet

^.Qg Y (-^'i — ^1) h\ — ^> 1) + + [-ru — a») [yn — hn)

ut Z [ [xj — m — Xi + hiY — [xj — mY^ — iji — />)-] ■lut

LA PAXGÉOMÉTRIE 43

ne changent pas quand on fait une substitution orthogonale, de plus cosVest inférieur à un, ou tout au plus égal à un, en valeur absolue.

On a en effet

(cos- cp^ + cos^ ^2 + ) (cos- '\l^ -j- ces- '|'2 + )

— (cos o^ cos '\i^ + cos ç^ cos 'h.y-{- )^

= w (cos cpi cos ^j cos cpy cos '|/j)^ > o

I — cos- V > o,

le nombre V compris entre o et -n: qui a pour cosinus

cos cpj cos <ii^ -(- cos o, cos 4'2 H~ H" ^'-*^ ?« ^^^ 't'"'

est ce que Ton appelle l'angle des deux droites, ou de leurs directions positives.

Lorsque l'on donne les droites sous la forme

Xi = a^-\-tcc, ; x^ = ^i + '/?i ,

la direction positive n'est pas indiquée; on a alors

ai^i^ + a^lî, +

cos Y zzzzh

et l'angle est à volonté V ou tt — V.

Lorsque V=o outt, on dit que les deux droites sont parallèles, elles sont de même sens quand V = o.

Lorsque V= — , on dit qu'elles sont dans des directions

perpendiculaires, si de plus elles ont un point commun on dit qu'elles sont perpendiculaires l'une sur l'autre.

44 LA PANGEOMETRIE

Par un point on peut toujours mener une et une seule parallèle à une droite donnée.

Soient cos o^, cos Oi,... les cosinus directeurs de la droite donnée, rti, a^,... les coordonnées du point donné, cos '}i, cos 'I2,... les cosinus directeurs de la droite cherchée, ses équations seront

.rj :=z a^ -\- t cos cpj, x^ = «^ -f / cos ^^ ,

et Ton devra avoir

zh I = cos Gj ces -^^ -\- cos o, cos ^2 ~i~

ce qui donne

= (cos o^ cos u/^ -}- cos cp., cos 'l.^ -\-

\ cos^ cpj y c

cos- Ûj/ — ( > cos o^- cos 'J;,

> (cos Oi cos 'bj cos fj cos f^i)' = o

ce qui ne peut avoir lieu que si

cos Oi cos 'bj — cos oj cos ihi ^ o, ou

cos cpi cos o^ y X cos 0/

cos d^^ cos 'J^2 y/v cos ,|.

La droite cherchée est donc bien déterminée, et a pour équations

j-j z=z a^ -\- t cos cp^, .r- = «^ -|- ^ cos o.,

Par un point donné b^, bo,.., h^, mener une perpendiculaire sur la droite.

oc^^^ a^-\- t cos o^, ic^ ^= ^2 + ^ cos cp.,,

Supposons dabord le point b^, b^,. -, sur la droite donnée et en coïncidence avec «i,rt2j- ••) la droite cherchée aura pour

LA PANGÉOMÉTIIIE 45

équations

(ij x^ = r/j -\- u cos 'j/j, x.^ nr «,, -[- ?f cos '^,,

et l'on devra avoir

(2) cos o^ cos 'I/j -|- cos cp., cos '|'2 + ^ o;

il en résulte qu'une infinité de droites répondentà la question car tous les <]^ moins un sont arbitraires, si l'on élimine les ']^ entre (i)et (.i), on aura une équation satisfaite pour tous les points des perpendiculaires en question, ce sera leur lieu, ce lieu a pour équation

(.r — a^) cos Oj -f- (.r — «,,) cos 9, + =0,

et comme il est du premier degré c'est un plan. On dit qu'il est perpendiculaire à la droite (i). Donc par un point cV une droite on peut mener un et un seul plan perpendiculaire à la droite. Supposons maintenant le point è^, b.,,..., hors delà droite donnée; par ce point menons le plan

(.r^ — b^) cos cpi + [x^ — b^ cos cp, + + [xn — bn) cos cp,^ = o.

Cherchons le point où il rencontre la droite, le t de ce point sera donné par la formule

y [ai — bi -\- t cos cpj) cos cp, = o, ou, comme

> cos- Ci zzr I, ^ =:= > (/>j — rt,) cos cpi.

Les coordonnées du point de rencontre seront

(3) «^-f-coscpj > [bi — «j)coscp/, . . . ,