LA PA>GÉOMÉTRIE
la droite passant par ce point et b^, h,... aura pour équation a^j — h^
elle sera perpendiculaire à la proposée, car on aura
> coso i[ai — hi-\- ces Oi > [hj — Oj) cos Oj] = o en effet cette formule se réduit à
> («i — hi) cos Oi — y {hj — aj) cos oj r= o,
ce qui est une identité
La distance o des points (3) et b^, b-i,.. que l'on appelle distance du pointai, b-i,.. à la droite donnée, est donnée par la formule
c- ^ > I {(li — hi-\-cosoi y [hj — (ij) cos, Oj) I-
=: > [icii hi) COSCpy — [ttj — hj) C0SOj]"2.
Cette distance o est la plus petite distance du point b^, b,,.. a un point .r^, .r.y,..., j:,^ de la droite. En effet si Ion veut rendre
{x,-h,:' + {.r,-h,y^ + ....=:X^ minimum avec les conditions (i), il faudra rendre minimum
y [ai — hi -f- Il COS Oi)- = A- - r= M- + / "-^^ coscp, (rtj — hi) -\- y [ai — hi)^
OU
pour cela il faut prendre
(hi — ai) cosoj,
LA PANGEOMETRIE \rj
et l'on a
A2 zz: V {(li — A,)2 — y {ai — hi) cos Oi h = oK
On peut mener par un point une perpendiculaire à un plan. En effet soit
Xi cos o^ -f" •^"2 ^'^^ ?2 ~h - ' - -\- -^n cos 'fn -\- h z::z o
léquation d'un plan, où on peut supposer
cos- o^ -|- cos- o^ -[~ • • ■ "f" cos- cp„ m: I ,
La droite qui a pour équations
iCi — «j x, — a^
cos o^ COSCp^
sera la droite demandée ; le point où elle rencontre le plan, ou pied de la perpendiculaire, sera donné par la formule
coso^ {a^^-\- t coscpj -|- coso., [a.y-\- 1 cos o^) -(-..,-}- ^ = o,
ou
a^cosOj+. . .+a„eoscp„ + A tz=i -i • ' ' , :— = a. coso,+ . . . +a„coso„-f ^;
IcOS-Cpj -i il i
et t est la distance du point a^, a.y... au pied, c'est ce que l'on appelle la distance du point au plan.
Si l'on cherche à rendre
minimum, .v^^xo,.. désignant les coordonnées d'un point du plan on trouve que les x doivent satisfaire aux relations
(«j — Xi) -{- t coscp zz: o,
et par suite que t est la plus courte distance du point «j. ao... au plan.
]S LA PANGÉOMÉTRIE
Considérons les plans
les distances du point ?/i, 3/0,..., ?/„ à ces plans seront précisément les coordonnés yi,..., y-y de ce point. Les plans .r\ = o, .t\yz:=(),... portent le nom de plans de coordonnées, leur intersection est le point o, o,... on lui donne le nom d'origine des coordonnées.
TRIGONOMETRIE
Considérons la figure formée par trois points, soient a, b,c les distances de ces points, .ri,..., .r^j ; j/i,..., ?/„; '1,..., ^„ leurs coordonnées; appelons A, B, C les angles que font respectivement les directions qui vont dey^... en r^... ; de :;i... en .ri... de.r^... en 2/1... Les cosinus directeurs de ces directions sont
Jl
Jo
on en conclut
Q^^^^ (.Ti — z,) (y, — .r J + (.r, — c,) ( r.2 — -r.,)
bc OU
-[(x,-c.)2-f-(.r;-jO^-(r/-.,P]
enfin
CosAz3
Q.bc
CosA =
doù l'on déduit
2bc
d^ =: A- -\- c- — i-bc ces A, //- z= c- -f- a^ — lac cosB, c- zr: «2 ^ ^2 — 2«/> cosC.
LA PAN(JEOMETRIE
On sait que de ces formules on peut conclure
sinA sinB sinC
A +B4- C =Tr,
-, etc.
en supposant A, B, C compris entre o et tt. Toutes ces formules renferment implicitement les théorèmes du premier livre de géométrie et une grande partie de ceux du troisième, le cinquième livre résulte également de ce que nous venons de démontrer. Mais il est entendu quil s'agit ici, non de vérités géométriques mais de vérités s'énoncant dans un langage emprunté à la géométrie et ne s'appliquant pas, pour le moment, à des êtres concrets.
