SPHERES

On appelle sphère la surface qui a pour équation

c'est le lieu des points à la distance R du point fixe «i, ao,..., an. ce point est le centre de la sphère. R est son rayon. Toute équation de la forme

peut se mettre sous la forme

et par suite représente une sphère de centre

A; Afi

et de rayon réel ou imaginaire^/ "/ . "~j ■'^•

La sphère (i) dans l'espace à n dimensions est ce que Ton appelle une surface fermée. Il faut entendre^par^ là que si Ton suppose

et si Ion fait varier ::i, z.,,..., z^ , on ne pourra jamais avoir

LA PANGÉOMÉTIUE 5ï

en faisant varier les \z d'une manière continue sans les faire passer par une valeur telle que

^(.,- + Az,-a1)

Les points z^, Z2,..., s„ pour lesquels la distance à a^^a^^..., a„ est inférieure à R sont dits intérieurs à la sphère, ceux pour lesquels i {:;, — a,- )- > R^ sont dits extérieurs.

Si l'on considère la variété plane à « — i dimensions

I y [xi—arf— R'-^ =0,

[ YA,.r,-|-B = o,

en la déplaçant de manière à faire coïncider son plan avec le plan x,i = o il viendra

bj et R.' désignant de nouvelles constantes, ce sera si l'on veut, une sphère dans l'espace kn — i dimensions; à ce point de vue, la sphère n'est plus fermée et l'on peut toujours entrer dans une sphère ou en sortir sans la franchir, pourvu que l'on passe par un espace à une dimension d'ordre supérieur, c'est ainsi qu'en géométrie ordinaire on ne peut sortir de l'intérieur d'un cercle qu'en quittant son plan.

Plus généralement nos prisons seraient illusoires pour des êtres capables de se mouvoir dans un espace à quatre dimensions.