CONTACTS

Considérons deux variétés à. p et q dimensions dans un espace à n dimensions. Supposons que ces variétés aient en commun le point Xi, x^, . . . , x„ et [j. autres points dont nous dési-

32 LA PANGÉOMÉTRIE

gnerons les coordonnées par . . . a-, + A.r,- . . .

. . . Xi -\- -iXjCi -\- y-Xi . . .

. . . .f i + [J-^JCi + -^^^ ^'--^i + • • • + ^'''•^i

peu importe d'ailleurs qu'outre ces 'j.-\- i points communs, elles en aient encore d'autres. Supposons lune au moins de ces variétés mobiles. Les .r,- ^ les Axi ... les A.^, x, seront les mêmes pour ces variétés et, si les ;J-+ i points considérés viennent se confondre, les deux variétés auront en un point jrjL,....r„ les mêmes cLvi^ les mêmes cP.Tj ... les mêmes f/:^r , (i=i,-2,...n).

Si nos deux variétés sont des lignes, on dira quelles ont un contact d'ordre aet les dérivées des .r, seront les mêmes jusquà l'ordre u. inclusivement par rapport au paramètre t dont les coordonnées des deux lignes peuvent être considérées comme fonctions.

Si les variétés sont k p et q dimensions, supposons/? ^ q les coordonnées de la variété F k p dimensions seront fonctions de/» paramètres t^, t.,,...., t^, . Les a-)- i intersections considérées de P avec l'autre variété Q dépendront de t^, t.,,... t^, et les cVx;, dépendront des dt^,dt.2... dtp ; s'ils sont les mêmes pour P et pour Q, quels que soient dt^, dt^... dt^„ on dira que P et Q ont un contact d'ordre a.

En particulier, si P et Q sont deux surfaces, les différentielles d'ordre i, -i,.,. ;j- étant les mêmes pour P et Q si l'on considère les .r^ comme fonctions de x.,,... .r,j on aura pour la condition d'un contact d'ordre a

àx.j^ bx^ ' ' àxn ~ bx,i

èx^àxt... àx'oàx-^...

x\, désignant la coordonnée x^ de Q.

Xij

LA PANGÉOMÉTRIE 53

Si par exemple représente une variété à une dimension, une ligne :

^1 — -^^i X, — .^2 Xn — Xn

dxi dx^ ' ' ' dx,i

représentera, si X^, X^... sont les coordonnées courantes, une droite passant en /à,..., ./;„ et ayant en ce point avec la ligne un contact du premier ordre, c'est la tangente à cette ligne en .r^ . . . Xo, .

Le plan

A, (Xi — Xi) + A, (X, — ^,j + . . . + A;, (X„ — Xn) = o aura avec la surface

X^ = I [X.,, X.^ . . . Xfij

un contact de premier ordre en x^,..., .r„. si

A^ ô/" èx^ A.^ èx^

Aj àx.y dr^ Aj^ èx.^

et son équation sera

Ô V ôx

c'est ce que l'on appelle le plan tangent en x^..., x,^ à la surface.

Si l'équation de la surface se présente sous la forme

F {X^, X^ . . . Xn) ~ O,

la règle des fonctions implicites permet de mettre l'équation du plan tangent sous la forme

Le plan tangent en M est le lieu des droites qui ont avec la surface un contact du premier ordre en M.

5'f LA PANGÉOMÉTRIE

En effet, soit

.T. — .ri

une droite passant par le point .r\, .T'.y...x'n de la surface F [x^, . . . , Xn) = o,

on aura

F{x[, . . .,Xn) = 0,

et

TT ^•^^+-^77- ^-^2+ ...=o.

or les c?.r' pour la droite sont proportionnels aux a, en sorte que ses équations sont de la forme

/ / ■ x^ — Xi x^ — x-i

dxi dx2

Le lieu de ces droites, quand on fait varier les^.-c', est donc

(•ï-i — ^-ij -r^ + {x, — x'>) — T + • • • = o, axi " ox-i

ce qui démontre la proposition.

En général la variété du premier degré

ÔF ÔF

touchera la variété

Frrro, G=o, ...