GÉNÉRALISATION
Soient N, A, B, G,., des quantités de même espèce, une expression de la forme
(i) NziiAzbBzt itL
est ce que nous appellerons un polynôme.
Quand deux polynômes seront égaux, nous dirons qu'ils ont la même valeur.
Les quantités N et zt A, zt B,... considérées avec les signes -}- ou — qui les précèdent seront les termes du pol3^nôme (1), Les termes précédés du signe -f- et le premier N seront dits positifs, ceux qui sont précédés du signe — seront dits négatifs. Dans un terme, il y a à considérer son signe -|- ou — et sa valeur absolue, c'est-à-dire la quantité qui entre dans ce terme.
LES NOMBRES l3
Les quantités positives, négatives ou nulles portent le nom de quantités algébriques.
On appelle somme algébrique de deux quantités algébriques, la somme de leurs valeurs absolues, précédée du signe commun, si elles sont de même signe, et leur différence précédé du signe de la plus grande, si elles sont de signes contraires. (On regarde comme précédées du signe -1- dans ces définitions les quantités qui ne sont précédées d'aucun signe.)
Une quantité algébrique peut être représentée par une seule lettre, ainsi — A peut être représenté par a en sorte que si -|- B est représenté par b on aura
«4-^ = (-A) + (+B) z=B — A si B>A — — (A — B) si B<A.
Gela posé, reprenons les formules du § précédent :
N + A + Br=:N + (A + B) (i)
^ -/ N(B — A) si A<B (3)
On peut les résumer en une seule (5) N + a + ^,=:N + («4-^,)
dans laquelle a et b sont des quantités algébriques.
En effet si a et ^ sont positifs et égaux à -|- A et -j- B on a
c'est la formule (i). Si a est positif et b négatif, on peut les représenter par -|- A et — B et la formule (3) revient à
ce qui est la formule (-2), etc.
Généralisons. Supposons N assez grand pour que les opérations que nous allons indiquer soient possibles, et soient c,d... des quantités algébriques.
l4 LES NOMBRES
Aux deux membres de la formule ajoutons c, nous aurons
?S + a -h /v + c r= X + (rt + Z;) + c
aux deux membres ajoutons cl, nous aurons
donc en général :
Généralisons encore, et appelons quantités algébriques égales, celles qui ont même signe et même valeur absolue. Si Von a
En effet a et a' sont de même signe, car si l'on avait a = -|- « , a' = — b on aurait
ce qui est absurde ; si l'on suppose a et a' positifs et égaux à a et à è on a
N -|- a = N -[~ ''j a=zb, a=:a, etc.
Une somme algébrique a-\-b -f-. ..~\-lne change pas de v aleur quand on intervertit tordre des parties a, b,.,, l. En effet on a vu que
et comme a -|- è = è + rt, on a
LES N03IBRES IJ
Il en résulte que
N 4- a + t + c = (N -I- a) + 6 + c = (N + rt) + c + h
donc
r= (N + a -f />) + cZ 4- c = N + rt + /; + J + c,
et en général si N est assez grand
Un polynôme ne change donc pas de valeur quand on intervertit tordre de ses deux derniers termes.
En ajoutant successivement m, «.,. aux deux membres de la formule précédente, on a
:s^-|- «-[-/, j ...|-/^[- lJ^ni^... — ^-\-a + ...4-Z + A-fm...
ce qui prouve que : un polynôme ne change pas de valeur quand on intervertit l'ordre de deux termes consécutifs quelconques, pourvu que Ton ne touche pas au premier, et par suite on peut placer les ternies dans un ordre arbitraire, pourvu que le premier reste à sa place {et soit assez grand). Maintenant on a
et en général
Or on a vu que l'on pouvait intervertir Tordre des termes d'un polynôme, donc
et
donc (1), (-2) et (3) donnent
iG LES NOMBRES
et en vertu de la formule a = a', qui résulte de N -j- a = N + a', on a
rt + '> + -j-l = l-{-b + rt,
Nous généraliserons encore en donnant le nom de poli/ nome à une somme algébrique quelconque, et nous pourrons dire que la valeur d'un pohjnôme quelconque ne dépend pas de l'ordre de ses termes.
Pour trouver la valeur d'un polynôme on peut grouper les termes arbitrairement, ainsi on a par exemple
en effet
= a-\-{b+cJrd),
par suite
— a + {b-\-c-\-d) -f(A- + /), etc.
Il en résulte que pour trouver la valeur d'un polynôme, on peut, en appelant/?!, />2... les termes positifs, n^, n^... ses termes nég^atifs, Fécrire ainsi
iPi+Pi )+(«! + ''2 )'
et l'on voit que sa valeur s'obtient en ajoutant, d'une part les termes positifs, d'autre part les termes négatifs, puis en faisant la différence des sommes trouvées et en donnant au résultat le signe de la plus grande.
Donc pour changer le signe d'un polynôme, il suffira de cJtanger les signes de tous ses termes.
Soustraire une quantité algébrique b d'une autre a, c'est trouver une quantité c telle que
« = 6 -|- c, alors on écrit c z=z a — b.
Pour faire la soustraction, il suffit de changer le signe de la quantité à soustraire et de l'ajouter à l'autre, ainsi par exemple :
La soustraction algébrique ne peut se faire que d'une seule manière, car si Ton avait
c = « — h, c' ^^ a — h on aurait
ce qui n'est possible, comme on Ta vu, que si c = c' .
Pour ajouter un polynôme, ou une somme algébrique à une quantité algébrique, il suffit de lui ajouter successivement les parties de la somme.
Car
Corollaire. — Pour retrancher une somme, il suffit de changer les signes de ses termes et de les ajouter successivement.
M. Méray, dans son remarquable opuscule sur les quantités dirigées, appelle somme de quantités algébriques la différence des valeurs absolues des sommes des termes positifs et négatifs, précédée du signe de la plus grande de ces sommes ; il en conclut qu'une somme, en vertu de cette définition, ne change pas de valeur quand on intervertit l'ordre de ses termes, mais il reste à prouver que
ce qui résulte pour nous de notre définition du mot somme.
On appelle nombre une locution et un signe qui la représente, destiné à désigner avec précision une quantité et toutes celles qui lui sont égales, de manière aies distinguer nettement de celles qui sont plus grandes ou plus petites.
Laurent. Théorie des nombres. o
l8 LES NOMBRES
Il reste à prouver que cette désignation est possible (^).
Si l'on choisit arbitrairement une quantité bien connue, parmi toutes les quantités de même espèce, et si on l'appelle unité, toutes les quantités égales à Tunité seront désignés ou, comme Ton dit, mesurées par le mot un.
On a donné des noms à toutes les quantités résultant de l'addition d'unités, on a ainsi créé les mots un, deux, trois... et des signes i, '2, 3... qui sont les nombres entiers. Je n'ai pas à examiner ici les règles que l'on a suivies pour soulager la mémoire et retenir les noms des nombres entiers, il y en a un grand nombre, et on pourrait en imaginer beaucoup d'autres. Je retiens seulement cette définition :
Les nombres entiers sont ceux qui servent à désigner avec précision, ou comme l'on dit à mesurer les quantités obtenues en ajoutant des unités.
Bien que nous n'ayons pas encore montré comment on pouvait désigner les quantités ne résultant pas de l'addition d'unités, nous pouvons poser les définitions et remarques suivantes :
Mesurer une quantité c'est dire comment on peut la former avec l'unité et la distinguer de celles qui ne lui sont pas égales, au moyen d'un nombre. Deux nombres a, b sont égaux, quand ils représentent des quantités égales, et par suite cette égalité entre deux nombres est une identité.
Un nombre a est plus grand ou plus petit qu'un autre b, quand la quantité mesurée para est plus grande ou plus petite que la quantité mesurée par b .
La somme des nombres a. b, c est le nombre qui mesure la somme des quantités mesurées par a, b, c...-
Les nombres sont d'après ces définitions de véritables quantités puisque leur égalité et leur addition est définie.
La soustraction des quantités ayant été définie, celle des nombres l'est.
* M. Tannery a reproché à notre définition, que le mot quantité n'était pas défini, j'espère que, s'il veut jeter un coup d'œil sur ce qui précède, il voudra bien reconnaître que le mot quantité, au contraire, est parfaitement défini.
* Les définitions que Ion donne dans les traités d'arithmétique n'ont pas de sens. Exemple : « Ajouter plusieurs norubres, cest les réunir en un seul qui les contienne tous ! ! », il faudrait dire comment on les réunit.
Je n'examine pas ici comment on procède pour effectuer réellement l'addition et la soustraction des nombres, il me suffit de concevoir la possibilité de ces opérations en ce qui concerne les nombres entiers. Il ne sera peut-être pas inutile de montrer que le prétendu axiome :
Une différence de deux quantités ne change pas quand à chacune d'elles on ajoute une même quantité se démontre très facilement de la manière suivante.
Soit d la différence de a et Z», en sorte que ■
en ajoutant une même quantité q k a el k b -\-d on a
et, comme on obtient a-\-q en ajoutante à ^-f~^, d est par définition la différence entre a -{-q ei b -\- q, comme elle l'est entre a et b.
Du reste cette proposition a été déjà implicitement démontrée, puisque nous avons prouvé que l'on pouvait grouper arbitrairement les termes d'une somme algébrique, ainsi
[a-\- q) — [b -\- q] :=! a -\- q — b — q-=^ a-\-q—q — b=ia — b.
Multiplication et division
Multiplier une quantité par un nombre entier, c'est ajouter autant de quantités égales à celle-là qu'il y a d'unités dans l'entier considéré.
La quantité que l'on ajoute ainsi à ses égales est le multiplicande, l'entier égal au nombre de parties ainsi ajoutées porte le nom de multiplicateur, et la somme obtenue est \q produit du multiplicande par le multiplicateur, qui sont les facteurs du produit.
Le multiplicande peut d'ailleurs être un nombre.
On démontre dans tous les traités d'arithmétique, qu'un produit de plusieurs nombres (facteurs) ne change pas quand on intervertit l'ordre de ces nombres.
La multiplication est donc à un double point de vue une addition : i° par définition; 2° parce que c'est une opération
20 LES XOMBllES
indépendante de Tordre dans lequel on combine les objets sur lesquels on opère. Si l'on se place au second point de vue, Tobjet nul est le nombre un, car multiplier une quantité ou un nombre par un, cest ne lui faire subir aucun changement.
Cette remarque a une très haute portée philosophique, et bien quelle ne soit pas laite, et pour cause, dans les traités darithméticjue, elle donne la clef et la véritable origine des lot»-arithmes. Je dis et pour cause, car ces traités ne donnant pas la véritable définition de l'addition, il était impossible d'en tirer une conclusion.
On apprend dans les traités d'arithmétique, à abréger l'opération que nous avons appelée multiplication; mais cecin'a3^ant uien d'essentiel pour le but que nous poursuivons, nous laisserons cette question de côté.
Diviser une cpiantité (qui le plus souvent est un nombrej appelée di^'idcnde, par un nombre appelé diviseur, c'est trouver deux nombres, 1 un appelé quotient, cpii indique combien ou peut ajouter de quantités égales au diviseur pour former une somme au plus égale au dividende, et l'autre appelée reste qui indique ce qui reste.
Ceci sera plus clair en indicjuant la manière d'opérer : soitD le dividende et d le diviseur on retranchera ^ de D. Si le reste est supérieur à d on en retranchera encore d, et ainsi de suite, jusqu'à ce que le reste R soit ujoindre que d ; R est alors le reste cherché et si l'on a effectué q soustractions, q sera le cjuotient, le dividende d est donc égal à ce que l'on en a retranché, c'est-à-dire d X q plus le reste.
Le lecteur connaît la délinition des mots multiple, diviseur, etc.^ il sait faire une division ; mais peu importe, pour faire une division on peut suivre la méthode classique, on peut en suivre d'autres, cela m'est indifférent, je demande seulement qu'on m'accorde la possibilité de faire l'opération.
