LES NOMBRES FRACTIONNAIRES

Supposons que l'on ait choisi une unité, et soit A une c|uantité à mesurer, c'est-à-dire que l'on éprouve le besoin de désigner avec précision, ainsi que celles qui lui sont égales, de manière à ne pas la confondre avec les autres.

Si A résulte de l'addition d'unités, nous savons comment on

peut le mesurer au moyen d'un nombre entier ; mais s'il en est autrement voici comment on pourra procéder, sans affirmer pour le moment que l'on réussira.

On partagera l'unité en parties égales, c'est-à-dire que Ion considérera des quantités égales qui ajoutées donneront l'unité, ces parties sont dites aliquotes.

Commençons par partager l'unité en deux parties égales, s'il arrive que A se compose d'un certain nombre n de ces parties,

on dira que A est mesuré par le nombre — -,... S'il faut partager

l'unité en m parties égales pour que A résulte de l'addition d'un certain nombre n de ces parties, on dira que A est mesuré

par le nombre • — . Ces nombres tels que — sont des nombres

fractionnaires (ou des fractions proprement dites s'ils sont moindres que un).

Ainsi on appelle nombres fractionnaires, ceux qui mesurent les quantités obtenues en ajoutant des parties aliquotes de l'unité (\).

Les propriétés des fractions résultant de cette définition, je n'ai pas à répéter ici ce qui est fort bien dit ailleurs, mais je dois encore définir la multiplication pour ne laisser aucun équivoque entre le lecteur et moi.

Multiplier une quantité par une fraction — , c'est prendre

m fois la «^ partie de cette quantité ; en faisant cela le produit est formé avec le multiplicande, comme le multiplicateur est formé avec l'unité.

Remarque, au fond et en soi, parfaitement inutile ; mais qu'il faut signaler, parce que l'on a voulu faire de cette propriété la définition même de la multiplication, ce qui est absurde, et en effet on peut former le multiplicateur de bien des manières avec l'unité, et en formant le produit d'une quelconque de ces manières avec le multiplicande on n'obtient pas toujours le même résultat.

Je ne voudrais pas abandonner ce sujet, sans critiquer une nouvelle définition des nombres fractionnaires qu'on tend à imposer à la nouvelle génération.

^ Je fais ici une hypothèse : L'unité peut être partagée en parties égales, s'il n'en est pas ainsi, notre théorie n'a pas sa raison d'être.

•l'I LES NOMBRES

Il y a, comme je lai déjà fait observer ailleurs, deux espèces de définitions. Les unes ont pour but de fixer dans l'esprit une notion que nous possédons antérieurement, notion très claire, mais qui a besoin d'être précisée par une propriété fondamentale de l'objet défini, parce que cette propriété doit entrer comme élément dans un raisonnement.

La définition n'a alors rien d'arbitraire, et dans cette définition on doit immédiatement reconnaître l'objet défini. Si je définis le mot fraction ; comme nous savons tous ce que c'est qu'une fraction, il ne faut pas que j'en donne une définition l)izarre, qui, bien que logiquement exacte, nous donne a priori une idée qui semble en contradiction avec la réalité.

Sans doute, logiquement on peut dire qu'une fraction est l'ensemble de deux entiers séparés par une barre (^), donner à l'ensemble de ces deux nombres certaines propriétés fondamentales qui en feront ce que nous savons être une fraction.

On peut encore considérer -y- comme une sorte de symbole

imaginaire, ne réprésentant qu'une impossibilité, mais pouvant entrer utilement dans les calculs.

Ces considérations, logiquement exactes, sont antiphilosophiques et ne peuvent que fausser l'esprit des malheureux auxquels on les enseigne.

Une remarque qui a son importance. — Nous avons déjà observé que la multiplication est une des formes de l'addition, donc à tout théorème relatif à l'addition correspond un théorème relatif à la multiplication, qu'il n'y a pas besoin de démontrer de nouveau. Exemple :

Une différence ne change pas quand on ajoute une même quantité à ses deux termes. Donc :

Un quotient ne change pas quand on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre.

Dans la théorie de la multiplication les nombres négatifs sont

les nombres de la forme

^ Quelques personnes, parmi lesquelles se trouvaient des dames dont la culture intellectuelle avait été très développée, et auxquelles je racontais que plusieurs professeurs définissaient de cette manière les nombres fractionnaires, non seulement ont refusé de me croire, mais même ont pensé que je voulais les mystifier.

LES NOMBRES l'i

Il y a en arithmétique comme en géométrie une loi de dualité.