LES INCOMMENSURABLES

Il me reste à montrer comment on peut mesurer les quantités que l'on ne peut pas obtenir en ajoutant des parties aliquotes de l'unité, et j'aurai pleinement justifié la définition que j'ai donnée du nombre.

Je vais avoir besoin de deux principes qui pour être compris n'ont pas besoin d'être démontrés, mais seulement expliqués.

Une quantité qui varie de manière à différer d'une quantité fixe, d'aussi peu que l'on veut, a cette quantité fixe pour limite. Ainsi on appellera limite d'une quantité variable V, une quantité fixe L telle que la valeur absolue de V — L puisse être supposée moindre que toute quantitée donnée, si petite que l'on voudra. Suivant les cas V pourra ou ne pourra pas devenir rigoureusement égale à L.

Premier principe. — Si N est un nombre croissant de manière à dépasser tout nombre donné, -p;!- aura zéro pour limite.

Car ^ décroît quand N croît et quand N est un entier suffisamment grand la N*' partie de l'unité devient aussi petite que l'on veut et moindre qu'une quantité donnée S ; en effet en ajoutant 8 un nombre de fois suffisamment grand à lui-même on finira par obtenir un nombre qui dépassera l'unité, en appelant N le nombre de fois on aura

Deuxième principe. — Si une quantité variable V croît sans cesse en restant inférieure à une quantité fixe A elle a une limite au plus égale à A, qui est la plus petite des quantités qu'elle ne peut surpasser. De même quand une quantité V décroit sans cesse en restant supérieure à une quantité fixe A elle a une limite au moins égale à A.

Soit maintenant A une quantité qui ne puisse s'obtenir en ajoutant des parties aliquotes de l'unité. Partageons l'unité en m parties égales si c'est possible, A sera compris par exemple

•1 i L\:s NOMIJRKS

entre n fois et n -{- i fois l'unité. Si m est assez grand, on

aura une idée assez exacte de cette quantité A et de celles qui lui

sont égales, en disant quelle est comprise entre deux quantités

1 1 " n -{- 1 mesurées par les nombres — et : et si 1 on appelle

commensurables tous les nombres entiers ou fractionnaires, on donnera une idée exacte de la quantité A si Ion indique un moyen de calculer tous les nombres commensurables, mesurant les quantités plus grandes que A et les nombres commensurables mesurant les quantités plus petites que A. Et en effet si Ion fait cela, on apprendra que A est compris entre les n m"»^^ et les /^+ i, /?i'"''* de l'unité, m étant aussi grand que l'on voudra, et si l'on pouvait ainsi définir une autre quantité B différente de A, la différence B — A serait par exemple supérieure à la ;j.'"- partie de l'unité et B ne pourrait pas alors être compris entre les v et les v -[- i jx'"''* parties de l'unité, si A était déjà compris entre ces limites.

Le nombre ainsi défini est dit incommensurable, et A est incommensurable avec l'unité.

En général deux quantités sont incommensurables, ou n'ont pas de commune mesure, quand l'une étant prise pour unité, l'autre est incommensurable avec celle-ci.

On peut dire qu'un nombre incommensurable est la limite commune aux nombres commensurables plus grands et plus petits que lui ; les premiers allant en décroissant et les seconds en croissant sans cesse.