CALCUL DES NOMBRES INCOMMENSURABLES

L'addition et la soustraction ont été définies d'une manière générale, mais la multiplication et la division n'ont encore aucun sens quand il s'agit de nombres incommensurables.

On définira comme il suit le produit aXZ». Soient a et a' deux nombres commensurables et variables tels que

a. <C a <ioL',

le premier croissant, le second décroissant, et ayant pour limite commune a. Soient j3 et |î' deux nombres choisis d'une manière analogue relativement à b.

Les produits af et a'[î' iront, le premier en croissant, le second en décroissant ; un nombre a^ restant constamment inférieur à un quelconque, bien déterminé, des nombres a'p' ; les nombres a|i ont donc une limite, les nombres a'fi' aussi, pour une raison analogue. Ces deux limites sont égales ; en effet, posant

on a

\3'=:ap + aj + [3x + .rj.

Or jc et ?/ diffèrent de zéro d'aussi peu que l'on veut, a' ^' et afi diffèrent l'un de l'autre d'aussi peu que l'on voudra, et par suite de la limite de a^3, par exemple; a^, et a'p' ont donc la même limite.

Le quotient de — pourra être défmi comme un nombre q, tel

que

a =z bq ;

il faut montrer que q existe, or il est facile de prouver en rai-