a. ce' Al

sonnant comme tout a 1 heure que ^ et ^ ont même limite q.

Si l'on pose a = a — x, |i = ^ -j- y, — - =: q — z, on a

et on voit que bq différera de a d'aussi peu que l'on voudra, donc, etc.

Il reste à montrer comment sachant approcher de a, ^ autant

que l'on voudra, on pourra obtenir a-\- h, a — b, ab, -j- avec

telle approximation que l'on voudra. C'est là une question qui dépend de la théorie générale des erreurs et que j'ai traitée d'une manière entièrement rigoureuse, dans ma Théoî^ic des opérations financières. (Encyclopédie des aide-mémoire Léauté.)

Etant donné un système quelconque de quantités, il peut arriver que, après avoir choisi une unité, et procédé comme nous venons de le faire, on ne parvienne à désigner avec précision qu'une partie seulement des quantités considérées. Ce

ib LES NOMBRES

système est alors ce que Ion appelle un système de quantités complexes, et pour les désigner toutes on est obligé de choisir une, quelquefois deux, trois... nouvelles unités; en appelant î,j... ces unités, toute quantité pourra se représenter par un symbole tel que

/, y... sont alors des unités complexes, mais je n'ai pas l'intention d'entrer ici dans les détails d'une théorie exposée ailleurs.

ENCORE LES QUANTITES ALGEBRIQUES

On a pu remarquer comment, même avant l'introduction de ridée de nombre, s'imposait la notion de quantité négative, pour simplifier le langage. Nous allons retrouver le besoin de faire usage des quantités algébriques en étudiant les opérations sur les polynômes. On a souvent besoin de multiplier une expression de la forme

N=bA-±B ±...

par une autre de même forme, N, A,... désignant des nombres et l'opération indiquée étant arithmétiquement possible. Si l'on se place au point de vue didactique, il ne sera pas inutile de considérer deux cas particuliers très simples (4 — 3) (5 -f- ^), (4 — 3) (5 — 2) et de montrer comme il serait difficile d'arriver directement à une règle générale, sans faire usage du langage algébrique pour condenser le raisonnement, même en supposant les termes des polynômes que l'on considère entiers.

Sur ces exemples, on fera entrevoir la simplification introduite en faisant la convention suivante :

On appelle produit de deux quantités algébriques le produit de leurs valeurs absolues précédé du signe commun, si elles sont de mêmes signes, et du signe — si elles sont de signes contraires. Alors pour multiplier deux binômes dans le cas ou les valeurs absolues des termes sont entières, on voit qu'il suffit de multiplier chaque terme du premier algébriquement par chaque terme du second, et d'ajouter, algébriquement aussi, les produits obtenus.

Cet énoncé en condense un grand nombre d'autres, et il est alors naturel de se demander si l'on ne pourrait pas profiter des avantages que l'on a retirés des considérations algébriques pour simplifier l'énoncé des résultats, et appliquer ces considérations à la démonstration des théorèmes découverts, et même à leur généralisation.

En se plaçant sur le terrain algébrique, on observera que pour multiplier un polynôme quelconque positif

oii N est suffisamment grand, par un entier, 3, cela revient à former

N-fa+6-fc-f^4-N+a-|-/>-fc-f^4-N-f«+6-|-c + ff,

011 'àN -{-"ia -\-'^b-{-'^c-\- Sd... Pour le multiplier par une frac-

tion — , il faudra en prendre les -r- , le quart est

car en multipliant ce nouveau polynôme par 4» on reproduit

l'ancien, et les — du polynôme seront

Si le multiplicateur est incommensurable, on le remplacera par un des nombres a commensurables plus petits que lui, puis par un des nombres commensurables plus grands et on passera aux limites. On verra ainsi que pour multiplier un polynôme représentant un nombre positif (arithmétique) par un nombre, il suffit de multiplier les termes du polynôme par ce nombre en conservant les signes, c'est-à-dire en observant la règle des signes.

Si l'on veut multiplier un polynôme négatif par un terme positif, on multipliera la valeur absolue du polynôme par le monôme et on changera le signe du résultat. Or il est facile de voir qu'en opérant ainsi cela revient à multiplier chaque terme

du polynôme par le monôme, algébriquement, et à ajouter algébriquement les produits ainsi obtenus, etc.

La considération des quantités négatives s'impose donc, comme moyen d'abréger le langage et avant toute interprétation concrète ; et sans qu'il soit nécessaire de faire de nouvelles h^'pothèses ou de poser des axiomes très évidents.