NOTIONS PRELIMINAIRES ET DEFINITIONS. — UNITES

Expériences de Coulomb, — Le point de départ des théories actuelles sur Félectricité se trouve dans les mémorables expériences faites par Coulomb au moyen de sa balance de torsion. Depuis longtemps on savait que certains corps jouissaient de la propriété de s'électriser par le frottement et d'attirer les coi^ps légers. Plus tard on s'aperçut qu'en prenant des précautions convenables tous les corps sont susceptibles d'acquérir cette propriété, mais qu'ils jouissent de caractères différents au point de vue de la transmission de l'électricité ; d'où une classification des corps en conducteurs et isolants. A la vérité, on ne connaît pas de corps absolument isolants, c'est-à-dire s'opposant d'une manière complète au passage de l'électricité, de même qu'il n'y a pas non plus de conducteurs parfaits, dans lesquels la transmission électrique soit instantanée. On pourrait par suite trouver des corps n'appartenant pas d'une façon bien nette à l'une ou l'autre catégorie ; mais, si l'on envisage seulement les extrêmes, on peut dire qu'il existe des corps nommés conducteurs, dans lesquels les phénomènes électriques sont assez rapides pour qu'on n'ait à considérer que ce qui se passe lorsque l'équilibre est établi, tandis que dans d'autres, au contraire,

(9) les modifications électriques sont assez lentes pour qu'on puisse les négliger et considérer alors ces corps comme des isolants parfaits. Ce sont ces derniers qui ont été désignés par Faraday sous le nom de diélectriques.

On savait également que Télectricité se manifeste de deux manières différentes, ce qu'on exprime en disant qu'il y a deux espèces d'électricité qui, nommées d'abord électricité vitrée et électricité résineuse, sont habituellement désignées aujourd'hui sous les noms à^é\eclTic\\,é positive et d'électricité négative.

L'expérience montre d'ailleurs qu'il n'y en a que deux et de plus indique cette propriété fondamentale que deux corps chargés d'électricité de même nom se repoussent, tandis que deux corps chargés d'électricité de noms contraires s'attirent.

11 existe donc entre deux corps électrisés des forces soit attractives, soit répulsives. Ce sont ces actions qui ont été étudiées par Coulomb, au moyen de sa balance de torsion. En choisissant des corps de petites dimensions, relativement à leur distance, et admettant que l'action qui s'exerce entre eux est dirigée suivant la droite qui les joint, Coulomb a vérifié que cette action, quel que soit d'ailleurs son sens, varie en raison inverse du carré de la distance. Dans les expériences de Coulomb, l'intensité de la force était déduite de la valeur du couple de torsion du fil qui soutenait l'aiguille mobile. On peut du reste mesurer directement cette force avec une balance ordinaire, en suspendant une des boules électrisées à l'un des plateaux et équilibrant l'action électrique avec des poids placés dans l'autre plateau (balance de Harris).

Quantité ou masse électrique. — Mais les expériences de Coulomb n'ont pas seulement porté sur la relation existant entre les forces et la distance des deux corps électrisés; elles

ont montré en outre que les actions électriques sont proportionnelles aux quantités d'électricité que possède chacun des deux corps mis en présence, de sorte que, si q^ ^r'sont ces quantités, r la distance et /l'intensité de la force, la loi de Coulomb peut être exprimée par la formule

k étant un coefficient qui reste constant lorsqu'on se contente de faire varier q^ q' et r.

On est donc amené à considérer une première grandeur électrique : c'est la quantité. Avant de montrer comment Coulomb arrivait à la notion de la quantité électrique, nous remarquerons d'abord qu'il n'est pas nécessaire, pour l'acquérir, d'être fixé sur la nature de l'électricité. Bien qu'on ne soit guère plus avancé qu'autrefois sur ce sujet, on sait cependant que la théorie des fluides, aussi bien celle des deux fluides de Symmer que celle du fluide unique de Franklin, ne correspond probablement à rien de réel. On est donc conduit, comme on l'a fait pour la chaleur et la lumière, à abandonner l'idée d'un agent spécial produisant les phénomènes électriques et à les considérer comme résultant uniquement des modifications de l'éther, cette substance qui remplit tout l'espace et dont les phénomènes calorifiques et lumineux ont démontré l'existence. Quant à la manière dont se produit cette modification, nous en sommes réduits aux hypothèses, les uns admettant de simples transformations de mouvement, les autres supposant un transport réel ou bien encore une condensation de l'éther, retombant ainsi sur la théorie de Franklin dans laquelle le fluide électrique ne serait autre chose que l'éther lui-même.

Ce qui surtout a fait abandonner les théories anciennes, c'est qu'elles reposent sur les actions à distance. Or cette propriété est une de celles que Tesprit se refuse à admettre

et, si nous concevons aisément des actions se transmettant de proche en proche, nous ne pouvons guère nous faire une idée nette de corps agissant à distance les uns sur les autres à travers des milieux complètement inertes.

Une faut pas d'ailleurs citer l'attraction universelle comme preuve des actions à distance et Newton lui-même n'a pas dit : « les corps s'attirent », mais « les choses se passent comme si les corps s'attiraient suivant certaines lois ». Il est donc probable que l'attraction des corps célestes à distance n'est qu'une illusion et se produit en réalité par des déformations du milieu interposé.

Ces considérations, généralement admises aujourd'hui, n'empêchent pas que l'on n'ait conservé dans le langage les termes introduits par l'hypothèse de Symmer. On peut le faire sans inconvénient, à la condition toutefois de bien définir les propriétés mathématiques ou expérimentales auxquelles ils correspondent, et alors, comme le disait Coulomb, ils ont simplement pour but de présenter, avec le moins d'éléments possible, les résultats du calcul et de l'expérience et non d'indiquer les véritables causes de l'électricité.

Voici, du reste, ce qu'écrivait à ce sujet M. Blavier (*) :

« Quoi qu'il en soit, l'hypothèse des deux fluides électriques, si elle ne représente pas la véritable cause des phénomènes électriques, n'en est pas moins l'expression d'une loi élémentaire qui résulte de l'expérience et, à ce titre, rien ne s'oppose à ce qu'elle soit conservée dans le langage et à ce qu'on lui applique l'analyse mathématique, pourvu qu'on n'attache pas aux mots électricité positive et négative l'idée de deux fluides d'une nature spéciale, mais celle de deux états particuliers des corps, états mesurables par leurs effets.

(*) Des grandeurs électriques et de leur mesure en unités absolues, par M. E. Blavier {Annales télégraphiques ^ 187'!, p. 181).

De même que, si l'on arrivait un jour à trouver la véritable cause de Tattraclion universelle, on n'en appliquerait pas moins la loi de Newton au mouvement des corps célestes. »

Revenons maintenant à la quantité ou masse électrique. Prenons deux corps matériellement identiques, deux sphères, par exemple a, 6, et, après les avoir électrisées, introduisonsles successivement dans la balance de Coulomb, dont l'aiguille mobile est elle-même électrisée. Ou bien les actions mesurées par la torsion du fil sont les mêmes dans les deux expériences, et on dit alors que les sphères a et b possèdent des quantités égales d'électricité, ou bien les actions diffèrent et l'on dit que les quantités d'électricité formant les charges de a et b sont différentes.

Pour vérifier la proportionnalité annoncée plus haut, Coulomb, après avoir mesuré l'effort exercé par la sphère a, touchait celle-ci avec la sphère h primitivement ramenée à l'état neutre et les séparait de nouveau. L'électricité de a se partageait entre les deux sphères et alors, admettant que la charge de a était diminuée de moitié, il constatait que la force avait aussi diminué de moitié. On voit donc comment on peut concevoir une quantité d'électricité qui soit la moitié, le tiers, etc., d'une quantité déterminée et, en général, comment deux quantités d'électricité sont entre elles dans un

rapport — ? ce rapport pouvant d'ailleurs être évalué au

moyen des actions produites sur un même corps électrisé placé à la même distance.

Il en résulte que la quantité électrique est une grandeur mesurable, c'est-à-dire qu'on pourra la représenter par un nombre, à la condition de choisir une certaine quantité comme unité.

Densité électrique. — A la notion de la quantité se rat-

( -3) tache celle de la densité électrique. On sait que, dans le cas d'un corps conducteur électrisé, l'électricité se porte tout entière à la surface. Ce fait, vérifié par de nombreuses expériences, peut être déduit par le calcul, si Ton admet que, dans un corps conducteur, les masses électriques obéissent à la loi de Coulomb. D'autre part, le calcul montre que la répartition de l'électricité aux différents points de la surface extérieure du corps dépend de la forme de cette surface. On a donc été amené, pour définir l'électrisation de chaque point, h considérer la quantité d'électricité répartie sur chaque élément de la surface, rapportée à l'unité de surface. C'est ce qu'on nomme la densité au point considéré. On voit que, si l'on représente cette densité par <t, on a

Tension. — Dans tous les phénomènes électriques que nous avons à considérer, un corps conducteur est toujours plongé dans un milieu isolant, c'est-à-dire dans un diélectrique qui maintient l'électricité à la surface du corps. 11 existe donc, à chaque point de la surface du conducteur, une force qui pousse la masse électrique vers l'extérieur. On démontre par le calcul que cette force est proportionnelle au carré de la densité et on lui a donné le nom de pression électrostatique ou de tension électrique (*).

Potentiel, — Les grandeurs électriques que nous connaissons déjà, quantité, densité, tension, ne suffiraient pas pour interpréter tous les phénomènes.

Prenons deux sphères de métal isolées et électrisées que nous supposerons assez éloignées Fune de l'autre pour qu'on

(') L'expression de tension a souvent été employée dans des sens différents, ce qui a amené des confusions. On est d'accord maintenant pour lui donner uniquement le sens défini ci-dessus.

n'ait pas à tenir compte des phénomènes dMnfluence, et réunissons-les par un fil métallique de faible diamètre. 11 peut se présenter deux cas : ou bien Féquilibre électrique ne sera pas troublé par la réunion des deux sphères et celles-ci conserveront leurs charges respectives, ou bien il s'établira un nouvel élat d'équilibre et il y aura passage de l'électricité d'une des sphères sur Taulre, la quantité totale restant la même.

Dans le premier cas, on dit que les deux sphères sont au même potentiel; dans le second, on dit qu'elles ont des potentiels différents ou qu'il existe entre elles une différence de potentiel.

On voit que cette notion du potentiel se présente de la même manière que la pression dans les gaz. Étant donnés deux récipients fermés, renfermant un même gaz, mis en communication par un tube étroit, l'équilibre ne sera pas troublé si les deux masses gazeuses sont à la même pression. Si, au contraire, les pressions sont différentes, il y aura passage du gaz d'un des récipients dans l'autre, la masse totale restant la même.

On pourrait encore considérer deux vases ouverts renfermant un liquide. Dans ce cas, l'écoulement du liquide d'un vase dans l'autre par le tube de communication sera dû à la différence des niveaux liquides. Enfin on trouve encore une analogie dans la théorie de la chaleur. Si l'on met en communication deux corps, il y aura transport de chaleur de l'un à l'autre par conductibilité, pourvu que leurs températures soient différentes, quelles que soient d'ailleurs les quantités de chaleur renfermées dans les deux corps.

Ces comparaisons, auxquelles il ne faut pas du reste attacher une importance exagérée, permettent de se faire une idée plus ou moins claire de ce qu'on entend par le potentiel électrique. Mais, pour l'utiliser et pouvoir lui appliquer le calcul, il est nécessaire de le mesurer et par conséquent de le préciser en en donnant une définition mathématique.

L'idée de potentiel n'est pas nouvelle et c'est en 1828 que Green l'appliqua pour la première fois à l'électricité. Ce n'est du reste qu'un cas particulier d'une théorie plus générale de la Mécanique rationnelle.

Considérons trois axes rectangulaires {^fig- i)et supposons qu'un point matériel M de masse m se déplace d'une manière quelconque dans l'espace, avec cette condition d'être soumis continuellement à l'action d'une force F variable avec la position du point, et dont la direction passe constamment par l'origine.

Fig. I.

OU

ir

Désignons par rla distance OM, il est facile devoir que, quelle que soit la trajectoire du point M, le travail élémentaire eflectué par la force F est égal à Frfr. En effet, soit MM' = ds^ et soit w l'angle de F avec MM'. La composante de F suivant MM' est Fcosw. Donc le travail élémentaire

est

F cos w </* = F dr^

en remarquant que ds cos w = di\

Ceci posé, si x^ y^ z sont les coordonnées du point M et X, Y, Z les composantes de la force suivant les trois axes, le travail élémentaire peut aussi être représenté par la somme des travaux élémentaires des composantes et l'on a

¥ dr = Xdx-^y dy-^Zdz.

Admettons que le deuxième membre soit la difierentielle exacte d'une certaine fonction de x, y^ z^ de sorte que

{\dx-r\dy-^Zdz)=f{x,y,z).

Supposons que sous l'action de la force variable le point matériel soit entraîné de Mj en Mo. Le travail effectué s'obtiendra en prenant l'intégrale ci-dessus entre les limites correspondant aux points M| et Mo. Ce sera ( *)

Mais, si l'on voulait ramener le point de M© en Mj , il faudrait vaincre la résistance opposée par la force F et dépenser la même quantité de travail qui pourra d'ailleurs être restituée, lorsqu'on laissera de nouveau revenir le point matériel en M© sous l'action de F ; c'est-à-dire qu'on se trouve dans le cas d'un ressort que l'on écarte de sa position d'équilibre. On est obligé, pour le déformer, de dépenser un certain travail et ce travail n'est restitué que lorsqu'on laisse le ressort revenir à sa position initiale. C'est encore ce qui se produit pour un corps pesant qu'on élève d'une certaine hauteur.

On voit que l'on peut considérer l'énergie du ressort comme étant pour ainsi dire à l'état latent. Elle reste emmagasinée dans le corps, jusqu'au moment où l'on abandonne celui-ci à lui-même. C'est à cette forme d'énergie qu'on a donné le nom d'énergie potentielle.

Si nous revenons au cas que nous avons considéré d'abord d'un milieu tel qu'en chacun de ses points une masse m soit soumise à une force fonction de la position du point^ on voit que chaque point pourra être caractérisé par une certaine valeur de l'énergie potentielle qu'y posséderait la masse m

(*) Il est évident, d'ailleurs, que ce travail doit être indépendant de la trajectoire suivie par m pour aller de M, en M^, sinon on pourrait, eu ramenant la masse m à son point de départ et choisissant convenablement les chemins parcourus, obtenir une production de travail sans dépense équivalente, ce qui conduirait au mouvement perpétuel.

( '7 ) par rapport à un certain point Mo pris comme point de comparaison. Désignons cette valeur par V; cette énergie sera exprimée par le travail que pourra produire la masse m en se déplaçant du point M au point M©, sous l'action de la force F ou, ce qui revient au même, par le travail qu'il faudra dépenser pour amener la masse m du point Mo au point M, malgré la résistance opposée par F.

Nous pourrons d'ailleurs supposer, pour simplifier, qu'au point Mo l'énergie potentielle est nulle, exactement comme pour déterminer en topographie l'altitude d'un point, nous choisissons un plan de comparaison arbitraire auquel nous donnons la cote o.

On aura alors

C'est cette fonction V qui a été désignée sous le nom de fonction potentielle. Elle a été ensuite désignée par abréviation sous le nom de potentiel, et c'est cette dernière dénomination qui a prévalu.

Avant d'appliquer cette théorie à l'étude de l'électricité, il importe de faire connaître quelques-unes des propriétés delà fonction V.

Considérons Téquation V = C, dans laquelle C est une quantité constante à laquelle on pourra successivement donner diflFérentes valeurs. Chacune de ces équations représente une surface qui est le lieu des points ayant même potentiel. Ces surfaces sont nommées surfaces équipotentielles ou quelquefois surfaces de niveau. Cette dernière dénomination vient du cas où l'on applique la théorie à l'équilibre des liquides*

On peut démontrer facilement qu'en chaque point la direction de la force F est normale à la surface de niveau qui passe par ce point.

En effet, l'équation diff*érentielle des surfaces de niveau

est

X dx -\-\ dy -^ Z dz =^ o.

Prenons un point quelconque {oc^y, z) et soient a, p, .

( 18) les angles que fait avec les axes la force F en ce point. On a pour ses composantes

X = Fcosa, Y = Fcosp, Z==Fcosy.

Prenons sur la surface de niveau qui passe par le point considéré un point voisin [x -+- dx,y + dy^ z-\-dz)\ soient ds Télément qui joint les deux points et a', p', ^les angles de ds avec les axes ; on a

dx = ds cos a', d/ = ds cos P', dz = ds cos Y î

substituant dans Téquation de la surface, il vient

cosacosa'-+- cos p cos p' -hcosfCOSY' = o,

c'est-à-dire que F est perpendiculaire à ds et, comme d'ailleurs cet élément est quelconque, il en résulte que F est normale à la surface.

Parmi toutes les trajectoires suivant lesquelles peut se déplacer la masse m, on peut considérer des courbes qui soient en chaque point tangentes à la direction de la force. Ces courbes, qui coupent alors orthogonalement les surfaces de niveau, ont reçu le nom de lignes de force.

On voit donc que, connaissant la fonction V, on peut trouver la direction de la force en chaque point. On peut aussi obtenir son intensité.

En eflet, on a

— cr^ = Xdx-hYdy-^Zdz.

Dans cette relation rfV est une différentielle totale ; donc -. dV , dV , dV ,

les coefficients de dx^ dy^ dz représentant alors des dérivées partielles.

Si Ton identifie les deux relations ci-dessus, on a

dx dy ' dz ■

( «9) Les axes choisis étant d'ailleurs quelconques, on peut dire que la composante S de la force dans une direction quelconque suivant laquelle on compterait une variable s sera égale à la dérivée partielle du potentiel par rapport à cette variable, changée de signe

Si, en particulier, on prend la dérivée par rapport à la normale à la surface de niveau, on aura la force elle-même

dn

Appliquons maintenant les considérations qui précèdent aux phénomènes électriques. Supposons qu'en un point O se trouve une certaine quantité Q d'électricité positive, par exemple. Le milieu ambiant est constitué par un diélectrique; il est clair que, si en un point quelconque M de ce milieu, tel que OM = r, se trouve une masse électrique Q', il y aura en même temps entre O et M une force dont la loi de Coulomb donnera l'intensité

Nous pourrons toujours supposer, d'une part, que l'unité de quantité d'électricité positive ait été choisie de manière que le coefficient k soit égal à i, et, d'autre part, que Q' soit égal à cette unité, de sorte que la force se réduira à

pi

Nous savons que le potentiel au point M est donné par

l'équation

— dW = Fdr, d'où

-^dr = - -f- const.

D'après la remarque que nous avons faite plus haut, on

sait que la constante peut être considérée comme nulle, à la condition de compter, pour chaque point, le potentiel par rapport à un point déterminé dont on prendra le potentiel comme point de départ et comme représentant le potentiel o. On est convenu de donner à la terre le potentiel o (*); de sorte que, d'après ce qui précède, nous aurons pour le potentiel du point M la valeur

cette valeur représentant alors le travail que serait susceptible de développer une quantité égale à Tunité d'électricité positive pour aller du point M à la terre, en «obéissant aux forces électriques ou, inversement, le travail qu'il faudrait dépenser pour amener la même masse électrique de la terre au point M.

Nous avons supposé jusqu'à présent que l'espace occupé par le diélectrique, espace qui constitue ce qu'on appelle le champ électrique, reçoit l'action d'une seule masse électrique Q, concentrée au point O. Si, au lieu d'une masse, on en a plusieurs Q, Q', Q", . . . , il est clair que le travail à effectuer, pour transporter la masse d'électricité positive égale à Tunité, de la terre en un point M, sera égal à la somme algébrique des potentiels correspondant à chacune des masses Q, Q', Q", . . . , supposée seule, de sorte qu'on

(*) Lorsqu'on raisonne sur le champ électrique considéré dans toule son étendue, c'est-à-dire jusqu'à l'infini, on admet quelquefois que c'est à l'infini que se trouve le potentiel o. Dans la pratique, le potentiel de la terre ne variant pas d'une manière appréciable avec les charges qui peuvent lui être communiquées, il est plus commode de prendre ce dernier comme terme de comparaison, sans admettre d'ailleurs pour cela qu'il est égal au potentiel de Tinfini. En somme, le potentiel étant déduit de la loi de Coulomb sous la forme d'une intégrale, on ne peut pas déterminer la véritable valeur de la constante et Ton ne peut en réalité évaluer que des différences de potentiel.

pourra, dans ce cas, prendre pour le potentiel du point M

Il est facile maintenant de voir que cette définition mathématique du potentiel comprend celle que nous avons donnée en commençant et que, si deux masses électriques étant en M et M', ces deux points sont à des potentiels différents, l'électricité tendra à passer du potentiel le plus élevé au potentiel le moins élevé. Si, en particulier, on réunit les deux corps par un fil conducteur, le passage se fera dans un temps très court et la quantité qui passera sera telle que, par suite de la nouvelle distribution, les potentiels des points M et M soient égaux.

Nous avons admis que les masses électriques considérées étaient réduites à un point. Dans la réalité, nous ne pouvons avoir affaire qu'à des corps conducteurs de dimensions finies qui remplacent un volume du champ électrique égal au leur, et qui servent, pour ainsi dire, de support à l'électricité.

Remarquons cependant que, s'il s'agit des actions exercées sur un point extérieur par une sphère conductrice électrisée, ces actions sont rigoureusement les mêmes que si toute la charge était concentrée au centre de la sphère. On sait, en effet, que ce théorème a été démontré par Newton, pour le cas d'une couche sphérique homogène obéissant à la loi de l'attraction universelle, condition à laquelle satisfait la couche électrique répandue à la surface d'une sphère conductrice. Au contraire, lorsque le point est à l'intérieur de la sphère, l'action est nulle.

Mais, s'il s'agit de conducteurs de forme quelconque, la distribution électrique n'est plus uniforme et dépend de la forme extérieure du corps. Dans ce cas, il résulte de ce qui précède qu'une fois l'équilibre établi, le potentiel est constant pour tous les points du corps. En effet, puisqu'il y a équilibre, la force entre deux points quelconques du conduc-

leur est nulle. Cette force étant la dérivée du potentiel, il en résulte que celui-ci est constant.

Ici encore il y a analogie complète entre le potentiel électrique et la pression dans une masse gazeuse.

Quel que soit le nombre des masses agissantes, nous pouvons toujours considérer dans le diélectrique qui constitue le champ électrique des surfaces équipotentielles ou surfaces de niveau et des lignes de force. Si, en particulier, nous considérons la surface de séparation du diélectrique avec un corps conducteur, cette surface est une surface de niveau, puisque tous les points d'un corps conducteur sont au même potentiel.

Dans le cas de l'électricité, on voit immédiatement que la force est normale aux surfaces de niveau ; car, pour déplacer une masse électrique entre deux points de cette surface, qui ont même potentiel, le travail doit être nul.

Phénomènes dHnJluence, — Nous venons, de voir que deux points d'un conducteur en équilibre sont au même potentiel. Cela a lieu quand même les quantités d'électricité qui se trouvent en ces deux points ne sont pas égales; il peut même arriver qu'elles soient de signes contraires. Nous en avons un exemple dans les phénomènes d'électrisation par influence.

On sait en quoi consistent ces phénomènes. Considérons un corps conducteur électrisé qui sera par exemple une sphère S isolée et chargée d'électricité positive {^fig* 2). Si l'on place, dans son voisinage, un conducteur isolé AB, l'expérience montre qu'il se produit de l'électricité négative en A et de l'électricité positive en B. Dans le cas où le conducteur AB est relié au sol, il est chargé tout entier d'électricité négative.

La considération des surfaces de niveau permet de comprendre qu'il en doit être ainsi. En effet, la sphère S, étant d'abord seule, produit un champ électrique qui a pour surfaces de niveau des sphères concentriques à S dont les po-

tentiels vont en décroissant à mesure que leur rayon augmente. Plaçons le conducteur isolé AB; la surface de ce conducteur devant être une surface de niveau, le champ électrique va se trouver modifié et, parmi toutes les surfaces du champ primitif rencontrées par AB, il y en aura une, telle que N, dont la forme ne sera pas changée et dans laquelle la portion mn sera remplacée par la surface entière de AB. Mais, si

Fig. 2.

nous considérons les surfaces ayant un rayon plus grand que N, leur potentiel étant inférieur à celui de NAB, ces surfaces vont être forcées de s'infléchir de manière à envelopper l'extrémité B sans la toucher. Il en résulte que le potentiel d'un point tel que M2 va se trouver sur une surface correspondant à un potentiel plus élevé que lorsque la sphère S était seule. Ce résultat ne peut être obtenu que par un développement en B d'une certaine quantité d'électricité positive.

On verra de même que les surfaces correspondant à un potentiel plus élevé que celui de N doivent s'infléchir pour venir passer entre A et S, ce qui correspond à une diminu-

lion du potentiel d'un point tel que M, et par suite à une production d'électricité négative en A.

Le résultat final est donc que les extrémités A et B, tout en étant au même potentiel, sont chargées d'électricités de noms contraires.

Dans le cas particulier où AB est en communication avec le sol, son potentiel est o, toutes les surfaces de niveau doivent passer entre A et S et AB doit être chargé d'électricité négative.

Capacité. — Il résulte de ce que nous venons de voir que la charge d'un conducteur ne permet pas en général de rien préjuger sur la valeur de son potentiel, et inversement, connaissant le potentiel d'un conducteur, on ne peut rien en déduire relativement à sa charge ou à la distribution électrique.

Pour nous en rendre compte, considérons une sphère conductrice isolée de rayon r possédant une charge Q. Le théorème de Newton nous apprend que nous pouvons considérer cette charge comme concentrée au centre de la sphère. Le potentiel de la sphère est égal au potentiel d'un point pris sur sa surface, c'est-à-dire situé à une distance r du centre ; il est donc

Si l'on considère la même sphère, en faisant varier sa charge, on voit que le potentiel varie comme elle; mais, si l'on prend une autre sphère de rayon /•', la charge Q produira un potentiel égal à -^ et, pour retrouver le potentiel V, il faudra une charge Q', telle que

c'est-à-dire qu'à potentiel égal les charges sont proportionnelles aux rayons des sphères.

( »3 ) D'une façon générale, il faudra des charges différentes pour donner le même potentiel à des conducteurs différents. On est convenu de dire dans ce cas que ces conducteurs n'ont pas la même capacité électrique et, pour définir cette nouvelle grandeur, on est convenu d'appeler capacité d' un conducteur la charge nécessaire pour lui en donner un potentiel égal à l'unité de potentiel. Si donc on admet que pour un conducteur quelconque le potentiel est proportionnel à la charge, on a, en désignant par C la capacité, par Q la charge et par V le potentiel,

d'où

Dans le cas particulier où le conducteur est une sphère, on a

d'où

c'est-à-dire que la capacité d'une sphère est représentée par le même nombre que son rayon.

Condensation. — La considération des capacités électriques présente de l'importance au point de vue de la théorie des condensateurs qui est elle-même une consé-^ quence des phénomènes d'influence.

Considérons un conducteur isolé A {fig. 3) qui, au moyen d'un conducteur mobile a, peut être mis en communication avec une source d'électricité, c'est-à-dire avec un appareil pouvant à chaque instant réparer ses pertes et se maintenir à un potentiel constant V. Le conducteur A va prendre une certaine charge Q et son potentiel V sera le même que celui de la source.

Supprimons maintenante communication aet approchons

de A un conducteur B que nous supposerons d^abord isolé. On sait que, si l'électricité de A est positive, il se produit de l'électricité négative sur la face de B qui regarde A, tandis que la face opposée se chargera d'électricité positive. On sait d'ailleurs que les quantités des deux électricités placées sur 6 sont égales; car, si l'on supprime le corps influençant A ou si on le décharge en le mettant à la terre, l'expérience montre que le corps B revient à l'état neutre.

Fig. 3.

fi

11 en résulte que la présence de B aura pour effet de diminuer le potentiel sur A. En effet, ce potentiel représente le travail qu'il faut développer pour amener une unité d'électricité positive de la terre sur A. Or on voit que ce travail sera diminué par la présence de l'électricité négative de B. A la vérité l'électricité positive de B agira en sens contraire-, mais, comme elle est plus éloignée de A, son action sera plus faible, de sorte que finalement la présence de B diminuera le travail à dépenser pour amener une unité d'électricité positive sur A; donc le potentiel de A sera inférieur à V.

Mais, si l'on rétablit alors la communication a avec la source, il pourra passer sur A une nouvelle quantité d'électricité, jusqu'à ce que son potentiel ait repris la valeur V.

On voit donc qu'en réalité la présence de B a augmenté la capacité de A. Il est facile de voir en outre que cette augmen-

(27) tation de capacité sera beaucoup plus considérable si, au lieu d'isoler B, on le met en communication avec le sol, car alors ce conducteur B ne renfermera plus que de Télectricité négative.

L'ensemble des deux corps A et B, qui seront par exemple deux plateaux parallèles, constitue un condensateur. On appelle capacité du condensateur la capacité que prend le plateau A nommé collecteur, lorsque le plateau B appelé condenseur est relié au sol. Le rapport de cette capacité à la capacité du plateau A considéré seul se nomme la force condensante du condensateur.

Il est facile de voir que cette quantité caractéristique d'un condensateur, sa capacité, dépend uniquement de la forme de ses deux armatures et de leurs positions relatives. Elle pourra donc être déterminée par le calcul.

Nous en donnerons comme exemple un cas simple où le collecteur est formé par une sphère A {fig- 4) et le condenseur par une sphère creuse B concentrique à la première. Soit q la charge de A que nous supposerons positive. Admettons d'abord que B est isolé ; il y aura alors une charge — q^ d'électricité négative sur la surface interne de B et une charge -|- q^ d'électricité positive sur la surface externe. Il est facile de voir que les charges q et q^ sont égales. Ce théorème, démontré et vérifié expérimentalement par Faraday, résulte du théorème de Newton.

On sait en effet que, d'après ce théorème, l'action d'une couche sphérique homogène qui obéit à la loi de l'attraction universelle est nulle sur un point intérieur, tandis que pour un point extérieur elle est la même que si toute la masse était concentrée au centre. On peut remarquer d'abord qu'il y a symétrie autour du centre; de plus, lorsque l'équilibre sera établi, il faudra que la résultante des actions exercées sur un point P situé à l'intérieur de B soit nulle.

Cette résultante est égale à la somme des actions de -|- q, de — q^ et de H-jj. L'action de la couche -\-q\ extérieure

( ^8) au point P est nulle; les actions de + gr et — q^ sont les mêmes que si les charges étaient concentrées au centre. Les deux quantités d'électricité -h y et — q^ peuvent donc être considérées comme agissant à des distances égales du point P; par suite, pour que la résultante soit nulle, il faut que q = q^. Le même raisonnement s^appliquera évidemment à la couche d'électricité négative qui esta l'intérieur deB lorsque le condenseur est relié au sol, de sorte que nous voyons déjà que, dans un condensateur, les charges sont égales et de signes contraires.

Fig. 4.

Ceci posé, si le collecteur était seul, sa charge étant q et son rayon r, son potentiel serait

et sa capacité

Pour trouver le nouveau potentiel V de A en présence de B, cherchons en particulier le potentiel du centre. On aura pour ce point

^à r r r rr'

Donc la nouvelle capacité de A, c'esl-à-dire la capacité du condensateur, sera

On augmentera donc cette capacité en augmentant les rayons r et r', c'est-à-dire les surfaces électrisées, et en diminuant l'épaisseur r' — r de la couche d'air qui les sépare.

Les calculs de Gauss montrent que ces conclusions sont vraies, quelle que soit la forme du condensateur, pourvu que le condenseur enveloppe complètement le collecteur.

11 faut remarquer ici que dans la découverte des phénomènes de condensation, qui eut, comme on sait, pour origine l'expérience de Cunéus sur l'eau, on arriva presque du premier coup à la forme adoptée encore aujourd'hui pour un grand nombre de condensateurs, celle de la bouteille de Leyde. ,

Dans ces condensateurs, qui se rapprochent de la forme théorique que nous avons étudiée, nous trouvons en effet les deux armatures concentriques; mais, au lieu d'être séparées par de l'air, comme nous l'avons supposé jusqu'à présent, elles sont séparées par le verre de la bouteille.

On fut alors conduit à chercher l'influence que pouvait avoir sur les qualités d'un condensateur la nature du diélectrique qui sépare ses armatures. Ces recherches furent entreprises par Faraday ; il avait le premier rejeté l'idée des actions à distance et, admettant au contraire que les actions électriques résultent de modifications du diélectrique interposé, il en concluait naturellement que les effets pouvaient être changés, au moins comme intensité, lorsqu'on changeait la nature du diélectrique.

L'expérience lui montra en effet que, toutes choses égales d'ailleurs, la capacité d'un condensateur n'est pas la même lorsqu'on fait varier le diélectrique et que cette capacité, sensiblement constante lorsque Ife diélectrique est un gaz, dont on peut même faire varier la pression, devient plus grande B. 3

lorsque le gaz est remplacé par un diélectrique solide, tel que le verre, la résine, le soufre, etc.

Chaque corps isolant peut donc être caractérisé par un coefficient représentant le rapport de la capacité d'un condensateur ayant pour diélectrique Iç corps considéré, à la capacité du même condensateur dans lequel le diélectrique serait remplacé par une lame d'air de même épaisseur. C'est ce coefficient que Faraday a désigné sous le nom de pouvoir inducteur spécifique.

Il y a avantage à employer les diélectriques solides pour les condensateurs, d'abord parce qu'ils ont un pouvoir inducteur spécifique plus grand que l'air, et aussi parce que, présentant une plus grande résistance au passage de l'électricité, on peut employer des lames plus minces, sans qu'il jaillisse d'étincelle d'une armature à l'autre, à travers le diélectrique.

Travail disponible dans les corps électrisés, — 11 résulte de la définition même du potentiel que si l'on met un corps électrisé en communication avec le sol, au moyen d'un conducteur, le potentiel V du corps devient égal à o et, suivant l'expression habituelle, l'électricité du corps s'écoule dans lesol. Cette chute de potentiel correspond à un certain travail disponible qu'il est facile d'évaluer.

Remarquons d'abord que, si le potentiel restait constant et égal à V, le travail effectué par la quantité d'électricité Q allant du corps au sol serait représenté prar le produit VQ. Mais il n'en est pas ainsi ; à mesure que Télectricité s'écoule, le potentiel baisse, de sorte que, si l'on suppose que cet écoulement se fasse unité par unité, le travail correspondant à chaque unité va en décroissant jusqu'à o.

Le travail total, qui est d'ailleurs le même que celui qui est nécessaire pour charger le corps de la quantité Q en le portant au potentiel V, sera donc représenté par une intégrale prise entre les limites o et Q.

Supposons que, la charge étant Q, on raugmente de rfQ, le travail nécessaire pour cela sera VrfQ; donc, si W représente le travail disponible, on aura

Or, C étant la capacité du corps, V = ^; donc et, d'après ce que nous venons de dire, le travail total sera

Le travail disponible dans un conducteur est donc égal à la moitié du produit VQ. On pouvait d'ailleurs le prévoir en remarquant que ce travail serait le même si le potentiel con-

servait une valeur constante et égale à sa valeur moyenne -•

C'est ainsi que le travail nécessaire pour remplir un vase cylindrique de hauteur h avec un liquide est égal au poids

total du liquide multiplié par la hauteur moyenne — •

On voit, en outre, qu'à charge égale, le travail disponible est plus grand dans un conducteur seul que si celui-ci fait partie d'un condensateur; mais, d'autre part, à potentiel égal, l'énergie disponible augmente avec la capacité, ce qui explique les effets mécaniques que l'on peut produire avec les condensateurs et aussi la puissance de ces effets, lorsqu'ils sont produits par la foudre, le travail croissant comme le carré du potentiel.

Il est facile, d'après ce qui précède, de calculer l'énergie disponible dans un condensateur dont on connaît la charge et la capacité. On sait que, pour former des condensateurs puissants, avec des bouteilles de Leyde dont les dimensions sont nécessairement limitées, on associe les bouteilles de manière à former des batteries.

Considérons /i bouteilles que, pour simplifier, nous supposerons identiques; soit c la capacité de Tune d'elles, chargeons-les séparément en reliant leur armature intérieure à une source au potentiel Vq qui leur communiquera une charge y = VoC.

Si l'on réunit toutes les armatures intérieures, l'équilibre ne sera pas troublé, puisqu'elles sont toutes au même potentiel, et la charge totale sera évidemment

Q = '^q, le potentiel restant V©.

La capacité de la batterie sera donc

c '^ nr

Ce serait la même que celle d'une bouteille unique de surface n fois plus grande; on dit alors que les bouteilles sont associées en surface.

On peut encore associer les bouteilles en cascade {Ji g. 5);

Fig. 5.

dans ce cas, elles sont isolées ; l'armature intérieure de la première étant reliée à la source, son armature extérieure communique avec l'armature intérieure de la seconde, dont l'armature extérieure est reliée à l'armature intérieure de ia troisième, etainsi de suite, l'armature extérieure de la dernière étant reliée au sol.

Soit Vo le potentiel delà source, ce sera celui de l'armature intérieure de la première bouteille; soit Q sa charge. II résulte de ce que nous avons dit à propos des phénomènes

d'influence, que le conducteur isolé formé par l'extérieur de la première bouteille et l'intérieur de la seconde prendra un potentiel V| inférieur à Vo et de plus, en considérant les bouteilles comme des condensateurs fermés, la charge extérieure de la première bouteille sera — Q, tandis que la charge intérieure de la seconde sera -h Q, et ainsi de suite. On a alors

ajoutant et remarquant que V« = o, puisque la dernière armature est au sol, on a

Vo=n-.

Le travail disponible est donc

2 ni

Avec la disposition précédente, le travail disponible était

On voit que, si l'on dispose d'une source pouvant produire un potentiel donné Vq, et d'une batterie de n bouteilles, on pourra produire un travail plus grand avec la première disposition qu^avec la seconde. Il semble, par suite, que la disposition en cascade soit toujours nuisible; il y a cependant des cas où elle est avantageuse. Remarquons qu'avec la disposition en surface la différence de potentiel entre les deux armatures d'une même bouteille est Vq, tandis que, si les

batteries sont disposées en cascade, cette différence est — •

Or, si le potentiel Vo de la source est très élevé, il peut arriver

que, les bouteilles étant associées en surface, le verre de celles-ci soit percé. On sera alors forcé d'avoir recours à la disposition en cascade, pour pouvoir utiliser la batterie.

Courant électrique. — Lorsqu'on établit une communication, par exemple au moyen d'un fil métallique, entre deux corps électrisés à des potentiels différents V et V, l'électricité passe du potentiel le plus élevé au potentiel le plus faible. Si le fil de communication n'est pas très long, la durée du phénomène est très petite; elle n'est cependant pas nulle, et, pendant ce temps, on dit que le fil est parcouru par un courant électrique.

Mais, si, par un procédé quelconque, on maintient constants les potentiels V et V des deux conducteurs, il s'établit un régime permanent et Ton a alors dans le fil un courantconstant, que l'on peut se représenter comme un flux continu d'électricité s'écoulant du potentiel le plus élevé au potentiel le plus faible.

C'est vers 1825 que Ohm chercha à établir les lois des courants électriques, en assimilant la propagation de l'électricité dans les corps conducteurs à la propagation de la chaleur, qui avait été étudiée par Fourier, quelques années auparavant.

Suivant l'idée de Ohm, de même que le flux de chaleur entre deux corps est produit par la différence de leurs températures, de même aussi le flux électrique doit être produit par deux états électriques différents, qu'il définit assez vaguement du reste, en employant le mot de tension» La théorie de Ohm fut plus tard reprise par Rirchhoff, qui la précisa et l'assimila d'une façon complète à la théorie de Fourier, en remplaçant la tension de Ohm par le potentiel électrique.

On sait que, d'après les hypothèses de Fourier, si l'on considère, dans un milieu conducteur de la chaleur, deux surfaces isothermes infiniment voisines et correspondant aux températures 9 et 8 -+- rf8, le flux ou la quantité de chaleur rfQ,

qui traverse pendant l'unité de temps un élément ds de la première surface, est normal à l'élément, proportionnel à la différence de température rfS et en raison inverse de la distance dn des deux surfaces.. On a donc

dÇl=-— hds -j- y

h représente le coefficient de conductibilité calorifique du milieu et le signe — indique que la chaleur progresse dans le sens des températures décroissantes.

Si Ton applique cette formule à l'électricité, les surfaces isothermes sont remplacées par les surfaces de niveau, rfO représente la différence rfV des potentiels de deux surfaces voisines et rfQ est la quantité d'électricité qui passe par unité de temps dans un élément ds de la surface de niveau. On a donc

dQ——hdS -rr- .

an

Ici le coefficient A, qui dépend de la nature du conducteur, est appelé coefficient de conductibilité électrique.

Loi de Ohm, — Prenons un conducteur formé par un fil cylindrique homogène et supposons-le placé dans un milieu parfaitement isolant. On peut admettre que les surfaces de niveau sont des plans perpendiculaires à Taxe du cylindre; considérons une section de surface 5, située à une distance x d'un plan fixe A normal au fil, pris pour origine {Jig- 6)^ Le potentiel sur cette section est fonction seulement de x\ on peut donc écrire

dO — — hds -1— > dx

et, si i est la quantité d'électricité qui traverse la section s tout entière pendant l'unité de temps, on aura

^ dS dx

Le régime permanent étant établi, il passe, pendant le même temps, la même quantité d'électricité dans chaque section du fil, de sorte que la valeur de i est partout la même ; c'est cette valeur constante que l'on nomme Y intensité du courant.

La valeur de i étant coastante es!, par suite indépendante

de X et l'on a

dV

dx "~ d'où

V = ax -hb,

a cl b étant deux constantes à déterminer.

Fig. 6.

Soient V| le potentiel en A et V2 le potentiel en un point B, situé à une distance /; on a, pour x = o,

et, pour X =- 1,

d'où

Remplaçant a et fc par leurs valeurs, il vient

Quant à la valeur de i, elle sera

. , Vi-Vi Vi-V.

i — — nsa = lis -j = T — •

TTs

On est convenu de désigner sous le nom àe force électromotrice la cause qui produit entre deux points une différence de potentiel, quelle que soit d'ailleurs cette cause, et l'on

(37) ])rend, pour la mesurer, cette difTérence elle-même, de sorte que, si E est la force électromotrice qui produit la différence de potentiel V| — V2, on aura identiquement

et Tunité de force électromotrice sera la même que Tunité de potentiel.

Quant au dénominateur -j-y on voit que c'est une grandeur

qui a pour propriété, lorsqu'elle augmente, de diminuer l'intensité produite par une force électromotrice donnée; elle dépend d'ailleurs essentiellement du conducteur employé, on la nomme la résistance de ce conducteur. On voit qu'elle est proportionnelle à la longueur du fil, en raison inverse de sa section et de son coefficient de conductibilité. On a par suite, en désignant la résistance par R,

qui est Texpression habituelle de la loi de Ohm.

L'équation (i) montre que le potentiel décroît en progression arithmétique le long du fil, de sorte que, si l'on prend A.V= Vj, BB'= Vj {Jig' 7), la droite A'B' pourra servir à

Fig. 7-

:va

déterminer les potentiels intermédiaires et CC sera, par exemple, le potentiel en G.

Prenons maintenant un circuit formé de plusieurs conducteurs cylindriques, de sections et de natures différentes.

Les potentiels en A et B étant toujours' Vj et V2, soit Vie

potentiel en O {fig- 8). Le régime permanent étant établi, l'intensité i est la même en tous les points; on aura donc, en ^considérant successivement les portions AO et OB,

. Vi-V V-Vj Vi — Vj '~ l " V ~R-hH'*

es es'

Cette relation, qu'on peut évidemment étendre à un nombre quelconque de conducteurs cylindriques, montre que la résistance d'une série de conducteurs cylindriques est égale à la somme des résistances de chaque conducteur.

Enfin, s'il s'agit d'un conducteur quelconque, on peut toujours imaginer qu'il est remplacé par un conducteur cylindrique qui, pour la même différence de potentiel à ses extrémités, donnerait la même valeur pour l'intensité i. La

résistance — de ce conducteur cylindrique représentera la

résistance du conducteur considéré.

Courants dérivés, — Si les deux points A et B {fig- 9) sont réunis par un faisceau de conducteurs, tels que a^bydy ...^ le courant se partage entre eux. Désignons par I la quantité •d'électricité qui passe en A dans l'unité de temps; ce serait l'intensité dans le circuit BMA, complété en dehors du fais- ■ceau de conducteurs. Si l'on désigne par i^, «2? ^3? • • m hi les quantités d'électricité qui passent par unité de temps, dans une section de a, 6, rf, . . . , on aura

(l) I = li^-Ï2-h ...4- in.

I est appelé courant principal, ii, i^, . . • sont les intensités des courants dérivés.

Vf et Va étant les potentiels de A et de B, nous pouvons écrire

R représentant alors la résistance de Tensemble des conducteurs a^ b^ d, .... Il est facile d'ailleurs d'évaluer cette résistance en fonction des résistances de chaque conducteur me-

surées séparément. Onaura, en effet, enappelant/o/'2, • • «j^// ces résistances,

d'où

ou bien encore

ri 7-2

l, /'i = Zj 7-2 = . . . = in r,t = IR

rn

"ri r^

D'après l'équation (i), I est égale à la somme des numérateurs; il en résulte que -^ est la somme des dénominateurs,

donc

d'où enfin

rn

Vt

ri

rn

Les lois exprimées par les relations (i) et (a) sont dues à KirchhofTet portent son nom.

Travail fourni par le courant, — Lorsqu'un fil métallique est parcouru par un courant d'intensité I, le travail efTectué le long du fil, pendant un temps donné, est égal au produit de la quantité d'électricité qui est passée pendant ce temps par la différence des potentiels aux extrémités du fil. Pendant l'unité de temps, cette quantité est égale à 1 et l'on a pour le travail correspondant