DU, CS EC (A

(2) = D'P, (x M) EM ER

Nous avons donc par une méthode analogue à celle de M. FRÉCHET obtenu (et même précisé un peu) les premiers résultats de Markorr. La formule (2) a été donnée par M. FRÉCHET.

SUR LES PROPR. ASYMPT.DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 19

Dans le cas régulier

(a) & | Si | —> M

où M ne dépend pas de l’état initial E, (et mème la différence & (= n M) reste bornée et tend vers une limite) et

où 5? ne dépend pas de l’état initial [et même la différence Sir [SUV

reste bornée et tend vers une limite].

On remarquera que dans 5? n’interviennent que les x, correspondant au groupe final unique, ceci résulte d’ailleurs directement de l’indépendance de 5? de l’état initial, si l’état initial se trouve dans le groupe final, les autres états n’interviennent plus.

Nous pourrions maintenant comme Romanowsxy. calculer élémen-

tairement comme plus haut les différents moments entiers de S° et dé-

montrer que sauf dans le cas où 5? — 0 les moments de (STE nM||sV n tendent vers les moments correspondants de la loi de Gauss. Mais ce calcul qui n’offre pas de difficulté théorique, demande des. calculs très compliqués. Nous allons faire plutôt le chemin inverse: démontrer que St ;M

OPEN tend vers une variable aléatoire dépendant de la loi de Gauss ?), borner la probabilité des grandes valeur de (S® — nM)|5 V/n, et en

déduire que les moments tendent aussi vers les moments de la loi de Gauss.

$ 3. — Cas régulier: 57<0 la loi de Gauss

1. Une hypothèse essentielle dans ce $ sera que 57<0, alors l’écarttype de SU augmente indéfiniment. Nous allons aussi supposer ce qui ne réduit pas la généralité que M — 0.

Nous allons maintenant appliquer une idée qui se présente très naturellement dans l’étude des sommes de variables aléatoires enchaînées et qui est due à M. SerGE BERNsTENN: le groupement des termes.

5) Lorsque nous dirons dans la suite qu’une variable aléatoire y, tend vers une autre y1 nous entendrons par là, sauf spécification contraire, que la loi de probabilité de y, tend vers celle de y.

20 WW. DOEBLIN

Nous avons S%— XL... +X%, groupons les XŸ en 2p grou-

pes de termes consécutifs. Les groupes y, comprendront chacun 7, termes X® successifs et les groupes z, chacun (en dehors du dernier) n, termes consécutifs, le dernier z, groupera les termes restants et l’on peut toujours s’arranger pour que le nombre des termes de z, soit < ee. Les termes z, seront emboités entre les y,. On aura donc

x (1) sue » de Ta) x + M) es ane à 2 XSARA

2m + 2 ps x FDL Ex ex MEN E CRE

ss te nd ee n'a cote sea sue ne TO OR RS PR SN et CR Re IN pat EME EEe

Lo — 1) Gun + 722) +1] [Co — 1) 24 6 m] __ glem+(e—1)m+1] PE DAS . X,° NSP OT ME Fe (2) Jr mEX,

: rs =, AE Nous poserons ensuite S'— y, +...y,, S"'=2, + .. +2, La somme S’ est formée deptermes y,. Les épreuves de y; sont séparées de ceux de y,, de n, épreuves. Si ce nombre n, est suffisamment grand,

on voit facilement que l'influence de la connaissance de y, , sur la loi de probabilité de y, est négligeable. En particulier la connaissance des

valeurs précédentes influera très peu sur l’espérance mathématique et l’écart-type de y,. Or il existe un théorème général sur les sommes de

variables aléatoires enchaînées généralisant le théorème de LiaPouNorF C’est le lemme fondamental de M. SERGE BERNSTENN. Il S’énonce comme

suit:

2. Lemme fondamental®). ,Soit S,—u, +u,+...+u,, 8[S?]=B, & [u2] +...+6 [ul — B,(on suppose toujours pour simplifier l’écriture & (4;) —0). Si quel que soit l’ensemble des valeurs déjà connues de u,...1es écarts que reçoivent les espérances mathématiques de u;

15 Lan, 2 » . A

et de u; ne dépassent pas respectivement +, et 5, et en même temps

l'espérance mathématique de | u° resté inférieure à tr, la probabilité de

l'inégalité

Z0 VB, = 5, 2; VB,

aura pour limite Zs

6) S. BERNSTEIN. Théorème limite du calcul des probabilités. Math Ann t:97 Dies,

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÊGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 21

quand

IT I Il NE dus 1 [4 1 L [il

— - er raieidentivers 0 VB, B, p°

La démonstration du lemme est fort simple (voir le travail cité) BERNSTEIN établit d’abord que

lim B F— 1] ni ——= © n il it Uk il pose ensuite Ve k V#B7

Alors on a toujours quelles que soient les valeurs dev, ,...0,et pour || <T (8 T certains)

le) 2 NCAA VE ee 8 [uk] 2 5" (e ) 2B; +Ôe

Es (n) +) Die m

À ne dépendant que de T. On en déduit sans difficulté que

mt |< A Fe

GET vp on DEN ; Ge 6 | % ler “ 1 F el$vm] — al 2 8(u,) 2 (n) ane D He » |+ m

où | ge Es Toi Cette équation de récurrence donne

G, —E foie 8 [ui] &lu;] ,

Comme pour m>Kk, < ] et que > PRE D

Fe.

Si 1 —-> ©,nous voyons que

GE, <<" et

D'autre part de

Je, d —0 (8: *) on déduit que max {8 Lui 1!B, } 0; il suit

nt 1 l<i<n

Par conséquent dans tout intervalle fini la fonction caractéristique

de Sv, tend vers la fonction de la loi de Gauss réduite ; comme B- "1 n

n AR 1, B, il suit que la fonction caractéristique de Du = ÿ D VE tend aussi / B K B,

vers la fonction caractéristique de la loi de Gauss et l’on sait que cela suffit (et est d’ailleurs nécessaire) pour entraîner l'énoncé du théorème. cg: ft. 4:

3. Nous allons maintenant montrer qu’en choisissant judicieusement les n,, et n,, on peut faire que les conditions du lemme s'appliquent aux y les y; seront alors ce que BERNSTENN appelle des variables aléatoires

presque indépendantes.

Si nous connaissons y, ,, ... }, nous avons sur y un renseigne-

ment au plus égal à celui que nous possédons lorsque nous connaissons l'état du système corespondant à la dernière épreuve de y, .. Désig-

nons donc par 80) (y,) l'espérance mathématique de y, lorsque nous connaissons cet état et que cet état est p. ex. E;. Nous avons

8 (p)= iPie8, () = 2 P 8, D + +2 (PA — Ps) 8,

où &, (y,) est l'espérance mathématique de y, si l’état réalisé à la première épreuve correspondant à y, est E,. Or nous savons ($ 2) que &, (y,) reste borriée, et} P, 8, (p.) est nulle (M— 0).

— À Ne

8 [ST — De

DEDNIC Sr).

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 23

@—1 n On voit sans difficulté que De 8 (y; 37) —> 0, si m augmente pas

de façon que p e À mm > 0, (en effet & (»; D») — 0 LE I )). i+-1 De plus & (»5) de [ès CIE Un) l; (n;) étant borné. Donc ASIE [n, À +1(n)] + O(pe t").

Prenons p. e.

TNT

(plus exactement nous prendrons les parties entières de ces 2 nombres

mais cela n’a aucune importance). Alors p :: n 3 et

8(SYŸ == n0:

Les 3 conditions du lemme sont satisfaites, car sin >n,

Du<ke tp >0, DB<kpne 2 —>0

Du 2kmpe(y). 2k, ati Ut

Bi pret)" Veo)

Donc = Vas suit une loi qui tend vers la loi de Gauss réduite.

De la même façon on montrerait que S” | s n3% tend vers une variable aléatoire dépendant de la loi de Gauss réduite. On aura SM=— S' + S’.

st) S’ S' > = ——>>© + ——:

SV/n 5V/n 5V/n

Dans cette somme le premier terme seul restera si n—> ©, >< 0 le second tend en dehors de cas de probabilité arbitrairement petite vers O

(4 hi - a un écart-type équivalent à 7 3% —> 0.

AT C on

24 W. DOEBLIN

Pour la loi de probabilité de S®® Je premier terme seul importe, ce terme tendant vers une variable GAUSSIENNE, il résulte :

Théorème. Dans le cas régulier, la probabilité pour que (en abandonnant l'hypothèse M — 0).

ñn

(n) (LM)

S® —nM L 2 ; V/n V/n

soit comprise entre a et b tend sis 7 0 vers

b 1 re =— e 24 dx

$ 4. — Cas régulier, 57<0, la loi de Gauss, évaluation de l’erreur

Dans ce $& nous avons en vue de donner une limite supérieure de l'erreur commise en remplaçant la probabilité pour que asVn<S®<b5sV/n par la probabilité donnée par la loi de Gauss. Nous allons en outre démontrer d’une façon différente que CS suit une loi tendant vers Ja loi de Gauss sans utiliser le lemme fondamental de M. BERNSTENN. Pour cela nous évaluerons d’abord l’erreur que nous commettons sur la loi de probabilité de S’ en supposant que toutes les y, sont indépendantes.

1. (Nous sommes obligés d’introduire ici une grande quantité de désignations, que ne nous serviront pas pour la suite). Désignons par F (a,b) la probabilité pour que asV/n <S'< b5V/n,en supposant les y, liées entre elles, par F, (a, b) la même probabilité en supposant que y,...y sont indépendantes de y, mais liées entre elles, par F, (a, b) la même probabilité en supposant maintenant y, et y, indépendantes mutuellement et de y, . y,, enfin par F,, (ab), la probabilité en supposant toutes les y, indépendantes.

Soit V,(y) la loi de probabilité totale de y; Soit Pr la probabilité d’une proposition sur y,+... Ye à priori, Pr, la même probabilité lorsqu'on connaît l'état E, réalisé à la première épreuve de y» enfin Pr[E, y, — y] la probabilité pour qu'on ait à la première épreuve de y, l’état E,, Si y, a pris la valeur y.

Pr [E; VE y| sera une moyenne des Pyp car, d’après le théorème des probabilités totales et composées, Pr [E,»: — y] est égale à la somme pour #—1,...,r du produit de la probabilité pour qu'on ait eu l'état E,

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 25

FO FR ñ () __ plr+m) à la dernière épreuve de y, si y, — y et de P;;. Comme |P;? —P;;"°

th où À —(,ona

Pr[E, Dit y] … Phi a CPS

D'autre part nous pouvons écrire

où Jar) | << CE.

Fa, =]: ZPr{E,y,= y}Prfas Vn<(y, +... +ye) j=1

+y<b5Vn)d V,(y)

PRIS =[ 2 Pu"+aGn] Pr Gas Vn< 24. 79)

+y<b5V'n)dvV, (y)

D Per] VE

Pr désignant comme convenu la probabilité à priori. Donc en

remarquant que

+ 00 [ PrlasVn<i+...y,)+y<bsV'ald V,G)=F,(àb)

il suit que F(a,b)—F, (a, b) +1, (a, b) De la même façon on démontre

PNG) E (2,0) La, 0) et

Donc

avec | (a, b)|< CAS

avec | 1, (a, b)| < Eu

avec | aa, d)|< ci À.

NO PRERU (ab) ar.

26 W. DOEBLIN

Dans le cas positivement régulier on aurait obtenu par la même méthode

F (a, b) = FI en 1 (a, b)] Fo: (a, b)

où

1 na 0) [1 + x (a 0) 1 Gb) | < ke

et si p À —> 0 non seulement la différence entre F,, (a, b)et F (a, b) tend vers zéro, mais même leur rapport tend vers 1, ce qui peut être

très utile.

2. Calcul de EE (a, b). Sip est suffisamment grand, Ge (a, b), loi

de probabilité d’une somme de p termes indépendants suivant tous

sensiblement la même loi, sera très voisine de la loi de Gauss. Nous allons

prendre comme plus haut n, — n'8, n, = n'®. Alors p—n" (1 — n jt.) ra

L’écart-type de chaque y; sera V GAS + r,;où r, est borné. Le carré

1 = de l’écart-type total sera (Sn 3 +7) Li — Ho ,)=0n Hi —o(r »)].

POSons au = 2 GE) (y, )°}=snl1 - O(n %)]

> 8) reste borné. 8(|y°|) <kn, 8()<2kr à (si # est le maximum des x,).Le théorème de Lrapounorr nous dit alors

que la probabilité pour que D: Vi==6. [2y;] soit comprise entre a VB, etbV/B, est égale à

b 1 x x | GLEN ET (ND) a

où

= ie

ao=ofsig 1), += 2

dans notre cas

Res È donc

r.(0, A0 (ler 180)

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DR CHAÎNES SIMPL. 27

et un calcul élémentaire très facile montre aussi que b ONE A An) F a, b ee — Ce X EC e—1 (4, 0) Lo È

Avec les valeurs prises pour p, r, et ñn;, on a ; : 18 1 F(a, b)=Pei(e, b)| pci Les C1 fl À V Lt) és on a donc aussi

£ xe 1 F (a, = | e 2dx+O(n Slgn).

En calculant de même la probabilité pour que

13 13 acsn<S"<bons

on trouvera

13 13 1 | NS es D

36 (4 D — De - X fl 18 ).

Prasn$<S'<bsn%] V2r, e

3. Passons maintenant à l'étude de la Pr[a5/n<S<boV'nl. Les inégalités

(A) AoVn LT S <hoV/ nt > (B) Sr

entraînent l'inégalité

de même les inégalités (B) et (C) entraînent l'inégalité (D) asV/n—<S <boV nr.

Désignons par P (A)... etc. la probabilité de l'inégalité (A) etc. on aura PAC) = P:A:B) P.@D):z=P (CB).

Une inégalité classique nous enseigne que P (AB) > P (A) + P (B) —1 P(CB)>P(C)+P(B)—1 Donc BD) RCA ER (D) 1 60 P (D) = P(C)+P (B)— 1 P (D) +1—P(B) > P(C) > P (A) +P(B)— 1.

28 W. DOEBLIN

Nous aurons b

1 x? 24 + P(A)==——— és dx FOI m +0 | À ee rO( 8 Pa 252 n'8 PIE P (B) > 1 — ——2 — d'après le théorème de BiENAIMÉ-TCHEBYSCHEFF.

Si je prends:—n" n%, alors P (B) — 1 —O(r ?f)

et nn 3%, prenons done ee aura P(B)—1—O(x7 51)

et — a re par conséquent :

Von Hoonl b

= ” 1 D Ur

Prlaot/nr sie re vie f e 2 dx +0 (n RE x a

4. Cette formule suffisante lorsque a et b sont petites ne nous enseigne rien pour la probabilité des grandes valeurs. Pour que nous ayons

[SM | > 66 V/n il faut qu’on ait au moins l’une des inégalités SI>S 65Vr HAE Donc

Prl|S®) >60V/n]- Pr[1S1 > V'al+pr[1s"| > 33Vl

Or nous avons vu que pour évaluer les Pr[S’>]etPr[S" >}, ül suffisait d'évaluer les mêmes probabilités lorsque les y, (respectivement les 2,) sont supposées indépendantes et d’ y ajouter un terme correctif

qui ne peut pas dépasser K ne" 0 (er FE Dans le cas positivement régulier même, il suffit de multiplier les mêmes probabilités calculées en supposant les y, ou z,; indépendantes par un facteur qui sera très voisin de 1 si #7 est suffisamment grand. Or pour les probabilités des grandes valeurs dans le cas de l'indépendance l’on a une bonne évaluation due à Kormocororr. En considérant avec BERNSTEIN

&[e'$n] où {> 0 et en appliquant le raisonnement de TCHEBYSCHEFr, il trouve

EB tM Pr£lS —&S>x}< e +7 C4), Mit

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 29

où Pr’ indique que la probabilité est calculée en supposant les grandeurs indépendantes et où B — B, et M le maximum de | y, — 6 (y,)]. On a une formule analogue pour S”. Prenons X — 5 V/n . n° et

Il 1 8 = ee NT ee {nn Ë t VB Rp Comme M < k V/n on trouve

4 1 = n rs —. coVn i à: f. k 0 n n 6 PIS = ES) =nalln)Se En. el] 3 (VE )r Or

VB :2:5V/ n, 8 (S’) reste borné - K’. Donc (sin >> no)

PAPTS US 2 Un Me tent ; Et l’on trouve de même que (pour 7 => n) Pr{lS'|>2n' 0 V/n} < exp ( ét k On aura donc dans le cas positivement régulier (7 => n4)

Pr{ISl=a4nsV/n) <expt - 1}

dans le cas régulier on aura PRISE R a Lén} exp {— 14 + 0 ( exp (— 5%).

Ces formules peuvent être améliorées de beaucoup. Elles suffisent pour nos buts.

$ 5. — Cas régulier, 5 7< 0. Convergence des moments

Nous sommes maintenant en mesure de démontrer : Théorème : Dans le cas régulier si 57<0, les moments de

SP =nM

—1 tendent vers les moments correspondants de la loi de Gauss 5 V/n

réduite.

Démonstration. On peut supposer M — 0. Soit F, (4) la loi de probabilité de ji 15 V/n. S® varié de —Knà +Kn.

30 W. DOEBLIN

Nous démontrerons que

1 i -$ UF) Loue 2dt | V2r J, (0 0 tl'4F, (+) À ee edi ER —— | | 6e 20 »

à | dF, V2)...

il en résultera le théoréme. Nous nous bornerons à [ tdF, (t), la “0

et (à > 0)

démonstration est identique pour | . Comme S!{° varie de — Kn

% —x à L K n, nous aurons’)

[of ‘ar, o= | m1 0 0 “0 21 n@

It Envisageons | , divisons l'intervalle d'intégration dans un #4 0 grand nombre d’intervalles de même lonqueur A, soient

V'LRRT HER

les extrémités le+1 :

[ Éd F,(=fE, +0, ALE, +6 AJ UE, (2.,)— EF, (£)] Le

Fun) — FE) (Es) — (4) LO(n=m)

où

ler [ Fdb(t)— Hi AL + A) LE) — &(4)] le

7) Nous supposoos i > 1; si i < 1, il faut modifier très légèrement le raisonnement.

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 31

let 1

let | [ ar, (D ] PAPERS En) e le

(0) ET Los 0 (rat).

ea Î t—db(t)

1 Pas LE 11 À O(r. 5):

[ro f t'dp(t) 0 0

ner

Si nous prenons (i +2) a < — = PA nT alors

a a | ar >| ao | t'dæ(t).

Evaluons

K Vn

| ar o=] { tar,(t)<[* VRP > 5 Va].

Or nous avons vu dans le $ précédent que

PASSA nn ce |+0 DRAC

donc

Il f'adF,(t) > 0 quel que soit a => 0 mie

| i i 1 RES Paris Hd Pb Nues 2 di jh 1 | (1) x J

32 W. DOEBLIN

S 6. — Cas positivement régulier, analyse du cas où 5 — 0

1. Nous avons obtenu dans les paragraphes précédents un certain s Ga)

, ë , . h 5 nombre de résultats sur les variables aléatoires mn sis=<0.Pour G; fl

être complet il nous faut voir ce qui arrive si 5 — 0. 5 ne dépendant que des valeurs des x, dans le groupe final nous pouvons nous borner dans ce qui suit au cas positivement régulier c. à. d. supposer qu'avec probabilité 1 on se trouve à l’instant initial dans le groupe final. Nous supposerons pour simplifier l'écriture M — 0. Alors nous savons que

en nous bornant aux S®? (distribution initiale, distribution stable). Il suit que S° reste borné au sens de BERNouLLI en dehors de cas de probabilité arbitrairement petite (Théorème de TscHEBYSCHEFF).

Deux cas sont à distinguer : / — 0 et 1/0.

[ — 0. Alors

6 [SP] 20 8 [SP] 1 8 [se -1) 1° se 28 (5 1) x Le [x®] 2

Les deux premiers termes tendent vers 0, car! 8[S(7 ” Une Ve (S eee [x 12, il faut donc que & [X 1]? tende aussi vers 0. Or 8[X]} est égal quel que soit n à >: CR (et P,70E

Ceci devant être égal à zéro, nous concluons que si /—0, tous les x; sont nuls.

2. 17<0. Ce cas est plus difficile à traiter. Effectuons le groupement de termes suivant

Yo — DA AT 2j NO

__ yg@im+1 @i+1 ai ; y X He APN er RS

CC A A AAA CS Le dE int à à ete à

V, = NÉS xCe+1) m : + site ae -1) m] SUIS, = 550) Si = + +... + SR Frs Nous avons Su SES

Prenons m très grand mais fixe, suffisamment grand pour que

& = CR tr et pour que (62 ) PES ln > 4 ;

8(», À DE REVERS j=iH1

E[S A6 (lt) > 00

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 33

sie augmente. Les $ précédents nous enseignent que nd

RUE A, Vo ( Det bn) É vers la loi de Gauss. Pour que

Ses 1, reste borné, il faut qu’en dehors de cas de probabilité arbitrairement petite on puisse écrire Ex = — S’ 1 (Se = Se) , 5, étant borné. La connaissance de valeurs de Se nous fixe donc en dehors de cas de probabilité arbitrairement petite sur la valeur de la somme S, à une

quantité aléatoire bornée près. Or la connaissance des valeurs de SE nous in- . s . Q dique moins sur Si , que la connaissance de tous les y, composant S et

cette dernière connaissance nous donne un renseignement au plus équivalent à celui fourni par la connaissance des états réalisés aux épreuves extrêmes des y, c’est à dire des états réalisés aux épreuves d’ordre

(2i+1) met (2i+2)m + 1.

Supposons maintenant que nous connaissons non seulement la valeur de si mais aussi les états que le système a pris à ces épreuves extrèmes des y. Les termes z sont emboités dans les y. La loi de probabilité des z, est bien déterminée par la connaissance du dernier état de y; et du premier état de y,,,, c’est à dire par la connaissance des états du

système aux épreuves d'ordre (2i<+ 1) m et (2i+2) m +1. Désignons par Pr , Ce qui devient z lorsqu'on sait qu’à l'épreuve (2 i+1)m on ait eu l’état E; à l'épreuve (21+2)m-+ 1létat E,. Les [4]; sont indépendants l’un de l’autre. Si o} est donc connu et de plus les états extrèmes de y, alors nous pouvons écrire

a KO ae S; — [20 j0 2e +[2e il HA S° devient la somme de £ quantités bornées indépendantes et cette somme

doit être de la forme — 5 + 0e étant borné, en dehors de cas de probabilité arbitrairement petite. Or on sait que la condition nécessaire et suffisante pour cela est que

o—1 Lelali [ali À reste borné quel que soit p en dehors de cas de probabilité arbitrairement petite. D'autre part les Gi suivant tous la même loi quel que soit ë, désignons par à l’écart-type de [2] je I n’y a qu'un nombre fini r° de combinaisons j, # possibles, soit n,, le nombre des alé alors g--1

Lea star fe Lt)

34 | W: DOEBLIN

Comme D) = p, il y a toujours au moins un des Les qui j,Kk augmente indéfiniment avec probabilité positive. Pour celui il faut, : r sk :

pour que Done (ci) reste borné, que ù; Soit nulle. Or remarquons NAN

que les valeurs S; pour lesquelles un n°, est < L ont une probabilité qui tend vers 0, si augmente indéfiniment. En effet on peut suppo-

ser que 72 soit suffisamment grand pour que b} Pen PS P;p,> 0

Alors désignons par [AJ l'événement consistant dans ce que à l'épreuve (2i+1) m l'état E; soit réalisé et à l'épreuve (2i+2)m+1 état E,. Or quels quesoientles[ A; ;] “a réalisés précédemment la probabilité de [A] |

est DU P,. La probabilité pour que l'événement [AA; ne soit réalisé

pour aucun i compris entre £, et i, est donc inférieure à (1 — 5 P) en

et tend donc vers zéro avec (à, — i,) ‘. Il suit que l'événement [Ai]; est réalisé en dehors de cas de probabilité nulle une infinité de fois. Donc si p tend vers l'infini en dehors de valeurs de =. ayant une probabilité

totale tendant vers zéro, tous les > presque Sûrement. Donc fous les 0, sont nuls.

3.Interprétons ce résultat: les; sont les écarts-types des z, lorsque l’on connait l’état immédiatement avant et l’état immédiatement après les épreuves correspondantes à z,. Nous voyons donc que X; hs tas

est bien déterminé si nous connaissons l’état du système à l’épreuve m1, donc à fortiori à l'épreuve m. Ceci est vrai pour tout /»7 suffisamment grand, or il est facile de l’étendre à tout m entier; en effet supposons que

@) (m1) KES REX

soit encore aléatoire lorsque nous connaissons l’état du système à l'épreuve d'ordre m,; soit E, un état avec Be > 0. Nous avons

XP +. + XP = +; (m8,

c. à. d. cette somme est une fonction bien determinée de /»7, et de l’état E, à l'épreuve d'ordre m, pour m suffisamment grand. D'autre part il

existe pour tout "1 suffisamment grand un chemin de E; à E, allant de E;à E,, en /n, épreuves et de E, en E, en m — m, épreuves. Si m — m, est

suffisamment grand les valeurs de XP + a + x et de ee TO

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGISPAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 35

(m—m:) » : : 2 2 : x + X;, ‘ne sont pas aléatoires si l’on connaît l’état E, réalisé à la dernière épreuve. Or le long du chemin considéré l’on a

9; (m, K)}= = X0 +. . +XxP= X0 +. . XD + RO RCE

Comme une quantité non aléatoire ne peut pas être la somme d’une quantité aléatoire et d’une autre quantité non aléatoire: quel que soit m X°+...+x( est bien déterminé si l’on connait l’état initial et l’état à l'épreuve d'ordre m. Mais il pourrait paraître que les g; (m, k) dependent de m. Il est facile de démontrer que cela n’est pas le cas. Pour cela considérons le g; Un, j). Il faut évidemment pour que cette quantité soit définie qu’il existe un chemin d'ordre m de E; en E.. Les 9; (mi, j), si m—><, sont bornés car x. + te sont bornés en dehors de cas de probabilité nulle, et la probabilité pour que l'état réalisé à l'épreuve m soit E; tend vers P;> 0. D'autre part les vw, (m, j) ne dépendent pas du chemin” suivi pour

“lie de E;en E;: Considérons alors un chemin quelconque de E;enE,; d'ordre m; soit y; (m, j) la valeur de x a +... + X( correspondante à

ce chemin, on a évidemment X° + ... X( prise p fois le long du chemin considéré — (pm, j)—p9; (m, j). Ceci devant être borné, il faut que ?; (m, j) = 0 quels que soient m7 et j. Maintenant supposons qu’il existe un y; (m, k) dépendant de m, alors il y aura deux chemins d’ordres 77, et m, de E; en E, avec des #; (m, k) differents; considérons un É

fixe d'ordre m, de E, en E,, on aura

P; (m,, k) 5 ns Lk (U12 Î) = 9; (mme Î) 0 P; (m2, k) = 2, (m2. i)

donc y (m,, k) ae + (rm, k) — Pik ; on aura Pi = O0 et jk ai EN er eg à Pier MER

On voit d’ailleurs sans peine que si X, +X,+...—+4X;—0 le long de tout chemin fermé les X!? + X( sont des fonctions bien déterminées de l’état initial et de l’état final. On peut donc énoncer le théo-

rème suivant.

Théorème : Dans le cas positivement régulier pour que l’écarttype de s reste borné, il faut et il suffit que, après soustraction d'une constante M de chaque x, la somme des x, prise le long d'un chemin fermé quelconque soit identiquement nulle.

36 WW. DOEBLIN

Nous voyons que si o—0, S; prendra avec probabilité po La valeur n M + ©,, et si n augmente indéfiniment SV 1M prendra à la limite avec probabilité P, les valeurs #,.. Dans ce cas donc la loi de probabilité de Sa — nM dépend d’une façon essentielle

du premier indice.

r r G [st MIE À (x, —M)S,; — y» be À Xy Sn

Kk=1 .

&8[S -1nMP D Prqe —]

4. Donnons un exemple de ce cas: Prenons par exemple trois états, supposons qu’on passe nécessairement de E, à E,, mais qu’on puisse aller de E, à E; et à E,;, enfin à partir de E; on peut rester à E; ou aller à E,. La matrice des p;; aura la forme |

O Î O Pai O p»

Pa1 O ps

On vérifie facilement qu’on est dans le cas positivement régulier (la matrice est indécomposable, et non cyclique), affectons à E, la valeur 1, à E, la valeur — 1 et à E, la valeur O, alors w, — — 1,

Pur = Par — P33 — 0, pis = — 1, Paz — 0, D = 1, pa = 1, Pa = 0. On peut évidemment construire des exemples plus compliqués. Mais il y a un cas où l’on a nécessairement gj — 0. C'est le cas

de Markorr. En effet si p;, = 0, alors il existe un chemin de l’état E, à E,

ne passant pas par d’autres états. Apres réduction d’une constante M des x;, la somme des x, -- M prise le long d’un chemin fermé doit être nulle, or prise le long de E;E, cette somme se réduit à x, - M. Donc

tous les x; — M; On n’a pas / >< 0. Ceci explique que MaRkoFF qui Sup-

pose aussi que les x; sont différents (et P;; > 0) n’a pas eu à s'occuper du cas où 5 égale 0.

$ 7. — Cas d’une matrice indécomposable et cyclique. Les X° et les Se

Le cas positivement régulier correspond à une matrice || P; | indécomposable et non cyclique. Supposons maintenant que la matrice des D est toujours indécomposable mais qu’elle est cyclique. Elle admettra

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÈGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 37

alors d (d = 1) sous-groupes cycliques. D’après ce que nous savons sur le mouvement circulaire entre ces sous-groupes cycliques, on doit s’at-

tendre à ce que les Xe suivent une loi asymptotiquement périodique en n avec période d, et que cette periode s’éliminera en général pour les som-

mes + C’est cela que nous allons vérifier et préciser dans ce qui suit. 1. Les Le Supposons que nous partons de l'état E; dans l, alors

nous serons à l’épreuve 7 dans le sous-groupe È AE (Ho are Ph = P,-0SE,elen=l—1{(mod à Le) = ù n==l'— 1[(mod d)

ei est une variable aléatoire qui prend la valeur x, si E, est réalisé à

l'épreuve n, cette réalisation ayant la probabilité D. Il suit qu’à chaque épreuve les seules valeurs possibles pour en sont les valeurs correspondantes aux états du sous-groupe /,. Asymptotiquement si ñ — ©, en prendra avec probabilité P, les valeurs x, (E,s /,), L, variant périodiquement avec 7. Donc

8[x®] = DP x, =M, oùE,s /, & {x — 8[x° 54 272 De Le ( Xy ES dr » d k

2.0Les X; . Utilisons maintenant l’artifice que nous avons indiqué

dans le $ 2 de A lien et qui consistait somme toute à considérer non pas chaque état isolémént, mais l’ensemble des états pris par le système en d épreuves successives. Posons

LE E; ee E;.

La matrice des c,; correspondant aux 6; se décomposera en d sousmatrices correspondant aux groupes finals de , et ces groupes finals se

distinguerons par le sous-groupe cyclique auquel appartient le premier état E;, car nous savons qu'on ñe peut pas passer de l'état 6, —E;...E,

id OùE, € 1 ...E,el—1älétaté, —E, ...E, DRE ID ENS El avec L 1.

Nous ne nous occuperons ici que des 6, de la forme DEP El PE 4 (1)

et étant réalisables (; 5 > 0). Alors à ces 0, correspon-

; Pi: id

38 W. DOEBLIN

dent des probabilités de passage cr et on s’y trouve dans le cas positi-

vement régulier (tr; —> Pi Pip:P) Lo

Si nous affectons à chaque état E, un nombre x, nous faisons correspondre à chaque 8, le nombre % = X, +. Xp et nous aurons à étudier les

X NME

c’est à dire les variables aléatoires égales à x, si 9, est réalisé à la mème épreuve à partir de l’état 0. Nous pouvons appliquer aux x? les résultats démontrés dans le cas positivement régulier. Il suit que la loi de probabilité de Se tend vers une limite indépendante de l’état initial 6; (mais on suppose toujours que 6; est de la forme (1)). À la limite RE

prendra avec probabilité rt, — P; Pub la valeur

î Pi à 1 ia

X;, ee X;, == X;.

L’espérance mathématique de XP tendra vers une limite que nous désignerons par M d

(mn) ss EIXP] Ma D 20 DCR PEN PRE

ü, bp ol] =))ha te ne HA x}, Chaque somme étant étendue aux états d’un sous-groupe / différent.