CHAPITRE 1 LES VARIABLES ALÉATOIRES, CAS D'UN NOMBRE FINI D'ÉTATS
$ 1. - Position du problème. Historique
Position du problème : Attribuons à chaque état E; un nombre ce Soit ris la variable aléatoire prenant la valeur x, si le résultat de la nieme épreuve est E, (l’état initial étant E)). Soit S® — X0+...E x. 7 s’agit d'étudier ces variables. Remarquons que les x ne sont liés euxmêmes en chaîne simple que si les x; sont tous distincts. On ne peut pas conclure sans ambiguité des x; aux E; si les x; ne sont pas tous distincts.
Rappel historique. C’est Markorr ?) qui a le premier envisagé le probleme ci-dessus. [Il a demontré (dans ses calculs le nombre des états est 3), sous l'hypothèse que les p,, sont tous => 0, et les x; tous
SLR | distincts, que = tend vers une imite M indépendante de l’état SAP E 6 Le initial, 8] - 2e | tend vers une limite 527<0 indépendante de V’n
l’état initial, et tous les moments entiers de Fa fa0fl M] |sV/n tendent vers les moments correspondants de la loi de Gauss réduite, et par conséquant que la loi de probabilité de 5% - nM]|5V/n tend vers la loi de Gauss réduite. La démonstration utilise les fonctions génératrices, elle devient fort compliquée si le nombre des états est grand et ne se prête pas à des extensions. Cette méthode somme toute assez artificielle n’a aujourd’hui qu’un interêt historique.
Sous les mêmes hypothèses et dans le cas de deux états M. SERGE BERNSTEIN a donné en 1926 une autre démonstration directe de la loi de Gauss, en illustration de théorèmes très généraux sur les sommes de variables aléatoires enchainées.
2) Pour la bibliographie nous renvoyons le lecteur à M. HOSTINSKY , Méthodes générales du Calcul des Probabilités“ Mémorial. Sc. Math. Fasc. 52 et à M. FRÉCHET , Recherches théoriques modernes “ livre Il. Traité de M. BOREL, tel, stasc. Ill
3) E[u] désigne l’espérance mathématique de w.
En 1931 M. Frécuer et M. Poroëek ont montré que dans le cas général
n n 2 8 [Sn] et 8| Di en) | ont des limites M, et W; qu’ils ont caln
culées. Ils ont montré que dans le cas non oscillant & Fs —nM, F est de la forme #2 W, + nV,+R,;(n), R, (n) restant borné; ils ont calculé V,et montré que dans le cas semirégulier W, — 0.
Une autre démonstration de la loi de Gauss dans le cas positivement régulier fut donnée en 1936 par M. Romanowsky, qui utilise comme Markorr la méthode des moments mais qui les calcule directement d’une façon analogue à celle de M. FRÉCHET. ‘)
Nous allons calculer les lois limites de probabilité de se dans le cas général de même que les parties principales des moments. En outre nous allons démontrer dans certaines hypothèses le fhéorème du logarithme itéré. Nous allons appliquer ces résultats à l’étude du mouvement.
$ 2. Cas régulier. Les Ne et les deux premiers
Moments des si
Les dé Dans le cas régulier nous savons que la distribution de probabilité tend vers une distribution limite indépendante de l’état initial. Il résulte que, si n —><, la loi de probabilité de x tend vers une loi limite prenant avec probabilité P, les valeurs x,.(Onremarquera que dans cette loi limite n’interviennent que les x, afférants aux états du groupe final).
L'espérance mathématique de X!° tendra vers M — >; PQ k=1 les moments
L r & Lo 2 E [ x # tendent vers 7 LE: (LA ur D P, x, )®. k=1 i=1 En particulier
| SAR XIE > Y'P, ( — MY Veil
4) Depuis la rédaction de ce travail M. SCHULZ a publié une autre démonstration de la loi de GAUSS dans le cas régulier et M. MIHOC a obtenu aussi les lois limites dans le cas d’un seul groupe final.
SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL.
L’espérance mathématique de sx Nous avons
else Derx1= DSP ) x
or
> POS = nP,+ RE?
donc
) [S]=rM+ RE Xe =MMETS, x, +0; k=1
he tendra vers S,, et | Fa — S,,| sera majoré par le terme général d’une progression SR TR décroissante.
Le carré de l’écart-type de s®. Nous supposons dans ce qui suit qu’on a choisi l’origine des x de telle sorte que M — 0, pour simplifier l'écriture. Occupons nous d'abord de & [ S!” ]?
8[s°F el Fee F+2Lel Dés AEn t
remarquons que
re à |
et n (t) x (© s[x° À x À P9 à T=t-1 Donc n—] EAT px° À x®] — 26 1x L nous avons n—1 n—1
Gp 1 (] Da Px R}; a Dh, So
Ye - MREUE Ye, (Sy RO +26
ZEEXF=nLP,x+ LR x k=1
snel on D
a 5» RS pO R(- | À | DRE
n—1 > Ve (Sy; Fa RE) SE > P, Se;
pO)(S, RU 9)
18 \W. DOEBLIN
PE
Le premier terme est égal à (1 — 1) P,S,, le second est égal à Ro S,, et tend vers S, S;, le 3° à aussi une limite, car D» SE R 4)
converge. Soit
= Ve = > (Sy; —Ri )
alors le troisième terme tend vers P, v,, le quatrième terme tend vers
zéro. Donc D PÔR e t) : — (n EL 1) Fe Sy + Se Sy me PR Vej + Oo:
et O, est un infiniment petit d’ordre exponentiel. En définitive à [st > pe x +2 D D» P, Sy; X; Xy |
+È Six + +2 Le, Dr 1 Sy; + Sx Sy) X; x, FO,
K=18;=1 Considérons maintenant 8[S®- 8(S®)F— 8 [SF [as OH etS = x, SP. Donc dans le cas régulier
D X HIT, 27 E k Sej F Site Sy) À; X4 æ [Dr S,. ]+0,
== PUS Pa Ce ÿ NEA à k=1 | En abandonnant l’hypothèse M — 0, en tenant compte de
