Passage aux S®°. Remarquons qu’on a

(mn) __ (1) (m d) SU HE EXC

E;, étant le dernier état de 0; et appartient au sous-groupe d. On a donc

&(n) ___ g(md) S; re S;, et les énoncés ci-dessus sur les a deviennent des énoncés sur les

SE où E;, d. Supposons maintenant que Es / , et soit » quelconque

LA LEMmA M SOLE R D, alors

(y) (d—1) (d—1#1) (md+d—1+1) ; SRE EU XETUE RS +... +xf +... "+ xt" CDI, rap Ke est une S(” , car à l’épreuve d — / le

système est dans d.

Dans la somme S(° la partie différente de S°”? est négligeable devant

SM) si R!° est cette partie, on a | R®|<24dk, où k est le maximum des x, Il suit d’abord que & [S®”] —nM+#r,(n) r; (n) étant borné, mais ne tendant pas nécessairement vers une limite. On a en effet

EE POUR bei EE Da Pen nt ol Home et il résulte de ce que nous savons sur 8 [S”], (8[S" — md M] tend vers ‘une limite) que & [SF ]— n M sera en général asymptotiquement pério-

dique avec période d.

En ce qui concerne

& Res nM]—8 Prop (aride) M+S— m dM]°=5 d m+1(m) + 8[RŸ — (x, +4 DMP+28[(R$ — (a, + à — 1) M)(S"- mdMi] on voit sans peine que & [(R° — (a, + 4 1) M) (S"—maM)lreste borné et le second terme est évidemment aussi borné. Donc 8[S° - a M}°— 5 n+ 1 (n) 2 (n) étant borné et asymptotiquement périodique avec période d. Si s— 0, les conditions que cela impose aux S; se transforment

évidemment dans les mêmes conditions pour les S!?: après réduction

40 W. DOEBLIN

d’une constante de chacun des x,, la valeur de la somme des x; prise le long d’un chemin fermé est nulle etc. Sis7<0, R(® étant borné, il suit immédiatement que la loi de [S®” — » M]/5V/ntend vers la loi de Gauss réduite, de même les moments de [S®? — x M]/5 V/n tendront vers les moments correspondants de la loi de Gauss.

Nous venons de voir que les principaux résultats démontrés dans les $ précédents pour le cas positivement régulier s'étendent sans difficulté au cas d’une matrice indécomposable quelconque: c’est à dire au cas où nous sommes à l’intérieur d’un groupe final. On aurait d’ailleurs pu —et c’est comme cela que nous avions procédé — démontrer tous ces résultats sans faire intervenir l’artifice du $ 1 de l'introduction. On aurait

démontré d’abord directement (voir le $ suivant) que & [S®”] 2 n M, que

= 1 l'écart type est soit borné, soit de la forme 5V/ 7 + 07) s ne dépen-

dant pas de l’état initial, en suite on aurait fait les mêmes raisonnements que dans les $ précédents, seulement au lieu de la propriété ergodique serait intervenue ce que nous avons appelé la presque-ergodicité; si nous connaissons l’état initial la connaissance d’un second état du système à une autre épreuve ne nous indique plus rien sur les probabilités des positions ultérieures (au moins asymptotiquement).

$ 8. — Cas d’une matrice indécomposable cyclique. Les deux premiers moments des S(”

Nous avons vu dans le $ dernier que, sauf dans un cas singulier que nous avons élucidé complètement, la loi limite de Le et ses moments pouvaient s’exprimer très facilement par les limites de & S |A

2 , “is :

et de 8[S* — 8(S*)]* | r. Nous avons montré que ces limites existent et comme nous avons ramené le cas cyclique au cas positivement régulier nous avons donné par cela un moyen de calculer ces quantités. Mais il vaut mieux de les calculer directement sans utiliser les résultats du numéro précédent, car nous obtiendront ainsi une nouvelle confirmation de l’existence de ces limites.

o [e(n) 8[s] Nous avons fn r nl a IS" Le0n = DEP.) x a 2 np &[S! [= 8 (x; ) nt P; SE I pe =] NE i=1

(Rep er (2) tu) n Il; croi U +R; TR

Jt

HA à ” 1 RE = 2 Pi Pr' Ii) =S; 0 (re

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. L LD

: (na) ñ x : : Poe .

4, x est d’après le $ 1 de l'introduction une fonction périodique de 7

avec période d.

is = Pr) We il Pr [ j, i] — n, M, n—=nñn, (mod d)