PE W

64 W. DOEBLIN

La fonction PU” (E, 8) sera encore complètement additive, et sera la somme (pour E fixe) de 3 fonctions d’ensembles complètement additives d’une fonction d'ensemble absolument continue (distribution de masses avec densité finie) d’une fonction d’ensemble à dérivée presque partout nulle, continue (distribution de masses dans des ensembles de mesure nulle avec densité infinie) et d’une fonction d'ensemble à dérivée presque partout nulle, discontinue (distribution de masses dans des points formant un ensemble dénombrable !°).

Désignons par p° (E, F) la dérivée de cette première partie, c’est à dire la densité de la distribution de masses PÜ(E, 8) au point F. Nous

supposons que 0% (E, F) existe presque partout et soit mesurable (L) en fonction du couple E, F.

Les hypothèses faites ci-dessus ne suffisent pas pour entamer l'étude du mouvement du point mobile. Nous allons donc faire encore les hypothèses suivantes.

JL 0 mes (W) <<.

II. Il y a un nombre entier positif N et deux nombres positifs arbitrairement petits mais fixes net b, tels que uniformément par rapport à E, si 6 est de mesure < #, alors