PO(E

Ces hypothèses seront supposées partout dans ce Chapitre sauf spécification contraire.

L'hypothése IT entraîne qu’on a aussi, uniformément par rapport à E et 6, pour n > N, si mes (6) <n

PO(É 6) Et

Rappel historique. Les probabilités en chaîne dans le cas continu ont été examinées pour la première fois par M. B. Hosrinsky en 1928 sous l'hypothèse de l'existence d’une densité de probabilité p (x, y) definie dans un intervalle fini a x, y b, uniformément continue et positive. M J. Hapamarp a dans la même année rattaché le comportement asymptotique des itérés de p (x, y) aux constantes fondamentales du noyau p (x, y), et il a donné des résultats sur les propriétés des fonctions fondamentales de ce noyau correspondant à des constantes fondamentales de module 1. M. Hosrinsky a donné ensuite certains critères

suffisants pour assurer que pl” (x, y) >0 si na >N. M. FRÉCHET à en 1932 donné un critère nécessaire et suffisant pour que (sous l’hypothèse de l’existence d’une densité p (E, F) dans un domaine W d’un Réete

mesure finie ou infinie) p(” (E, F) tende vers p (F) uniformément par

10) Cfr. La Vallée-Poussin, Intégrales de Lebesgue, 2-ième édition, p. 108.

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rapport à E avec f\, p(F)dF<0,et dans un autre mémoire sous des hypothèses plus restrictives sur p (E, F) comprises dans les nôtres (I, Il) démontré que les p{?(E, F) sont asymptotiquement périodiques, complété et étendu les résultats de M. Hapamarp. Nous allons retrouver tous ces résultats dans le cours de l'analyse qui va suivre.

Rappel de propriétés de l'intégrale de Lebesgue-Stieltjes. Si 2(6) est une fonction d'ensemble bornée, (mesurable B) et W (F) une fonction de point bornée (mes. B) alors l'intégrale de Lebesgue-Stielties étendue à W, écrite

Pa \'i

est par définition la limite (existant toujours sous nos hypothèses) de

Kk Y Lo(er)

K étant le maximum de W (F), ©, l’ensemble où K J- £V(F)<K .. L

Considérons la suite de fonctions d'ensemble complètement additives et bornées dans leur ensemble +, (8). .+, (6), alors siv, (8) ->+ (6) uniformément par rapport à 6, c’est à dire s’il y a une, -> 0 tel que | ®, (6) — » (6) | < =, quel que soit &, alors » (6) est aussi une fonction

complètement additive d'ensemble bornée et

[re ta (4 5) il F (F)9 (d ;).

$ 2. Les ensembles finals

Partons d’un point quelconque E de notre ensemble. À un sousensemble & quelconque de W correspondra une certaine probabilité pour que le point mobile reste dans son évolution future toujours dans l’ensemble 6. Il y aura une infinité d’ensembles 6 tels que cette probabilité soit 1 et parmi ces ensembles nous distinguerons ceux qui ont une mesure minima. Dans nos hypothèses il y a toujours une infinité de tels ensembles qui ne se distinguent que par des ensembles de mesure nulle. Nous les désignerons par ensembles conséquents de E et les écrirons V(E). Considérons un ensemble conséquent de E: V(E), l’ensemble des points de V(E) desquels on peut passe: avec une probabilité positive à l’extérieur de V(E) est de mesure nulle (car autrement il y aurait une probabilité positive de passer de E dans cet ensemble — V(E) est ensemble

oû W. DOEBLIN

conséquent de mesure minima — et il s’en suivrait qu'on a une probabilité positive de quitter V(E) à partir de E, contrairement à la définition de V(E)). Nous pouvons éliminer cet ensemble. Après cela à partir de n'importe quel point de V(E) le point mobile restera avec probabilité 1 dans V(E). Supposons qu’il existe dans notre ensemble un point E; à partir duquel on reste avec probabilité 1 à l'extérieur d’un certain sousensemble de mesure positive de V(E). L'ensemble conséquent V(E;) de E, sera compris dans V(E) et de mesure plus petite (mais en vertu de nos hypothèses de mesure > 1%). On éliminera comme plus haut l'ensemble des points de V(E,) desquels on passe avec probabilité positive à l'extérieur de V(E;). S'il y a encore dans V(E,) un point E, et un sous-ensemble de mesure > 0 avec probabilité — 0 de passer de E, dans cet ensemble, alors nous continuons la même opération. Et ainsi de suite. On arrivera finalement, après au plus une infinité dénombrable d'opérations, à un ensemble G, qui est ensemble conséquent pour chacun de ses points. Cet ensemble G, ou-plutôt cet ensemble délesté d’un certain ensemble de mesure nulle qui sera défini dans le $ 3, sera appelé en raison de certaines analogies avec le cas fini: ensemble final.

Chaque ensemble consécutif contiendra au moins un ensemble final. Il n'y aura qu'un nombre fini de ces ensembles, car ces ensembles sont évidemment disjoints et de mesure > nr.

Désignons les par GG, .

Première propriété des ensembles finals: Théorème I. La probabilité pour que le point mobile se trouve encore à la ne épreuve à

l'extérieur des ensembles finals G,. +: TU tend (exponentiellement) vers O avec >, (uniformèment par rapport à la position initiale).

Démonstration. Nous savons que quel que soit l’état initial on a une probabilité positive de passer dans un ensemble final, par construction mème de ces ensembles, et si le point mobile est une fois dans un ensemble final il n'en ressort que dans des cas de probabilité nulle. Soit U l'ensemble des points F, tels que la probabilité de passer de F dans l'ensemble des ensembles finals en moins de M épreuves soit < a. Si a > 0 est suffisamment petit et l’entier M suffisamment grand U sera de mesure < n. Comme par hypothèse la probabilité pour qu’on soit encore après N épreuves dans un ensemble de mesure n est 1 —- b, il suit qu'après N épreuves le point mobile est avec probabilité = b dans W — U et dans les M épreuves suivantes il peut passer avec probabilité > a dans les ensembles finals Il en résulte l’existence de deux nombres M, —N-+ M et a; —a.b>>0 tels que quel que soit l’état initial dans W on ait une probabilité = a, de passer dans moins de M, preuves dans les ensembles finals. Il suit immédiatement que la probabilité pour que le point mobile se trouve encore à la n Mine

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épreuve à l'extérieur des ensembles finals est (1 — a,)". Ce qui démontre le théorème.

Donc si & est un ensemble extérieur aux ensembles finals

POIE"8) = 0

exponentiellement et uniformément par rapport à E.

$ 3. — Etude du mouvement à l’intérieur d’un ensemble final

Lemme.— Il existe deux ensembles de mesures positives A et B, tels qu’on ait une densité de probabilité positive de passer dans 2 N épreuves d’un point E quelconque de À en un point F quelconque de B.

Remarquons d’abord que comme nous avons vu, notre distribution de probabilités ou de masses P(” (E, &) se décompose en trois parties, masses finies réparties dans des points, masses finies réparties dans des ensembles de mesure nulle aves densité infinie, et une partie répartie avec une densité finie mesurable dans des ensembles de mesure non nulle.

Nous avons supposé que cette dernière partie, soit p{” (E, F), que nous appelons la densité de probabilité de passer de E en F, est mesurable aussi en fonction du couple E, F.

Cette dernière partie n’est pas = 0 en vertu de notre hypothèse II pour r7 >= N Considérons en effet l’ensemble F(E) réunion de tous les

points où la densité n’existe pas ou où elleest = ee La mesure de cet

ensemble est (car autrement la masse totale répartie sera = 1)il lui correspond d’après notre hypothèse pour 7 >> N seulement une probabilité ou masse 1 — b. Il reste donc une masse totale =D répartie

: D ler Le dans l’ensemble restant avec une densité <-; Si nous remarquons |

encore que l’ensemble des points où cette densité est = a T a une

mesure >26, nous avons mis en évidence une partie de la densité p®)

A b (E Frquiest > DEMEURE dans un ensemble variable avec E mais de

mesure >> à b.

Si cette dernière partie était continue, le lemme serait évident, mais dans l’hypothèse que nous avons adopté elle n’est que mesurable, alors ce n’est plus évident du tout. |

Nous démontrerons le lemme dans le cas d’un R,. On peut toujours ramener le cas d’un ensemble d’un-espace euclidien R, à ce cas, en établissant une correspondance biunivoque laissant invariante la mesure. Alors nous pouvonsréduire notre problème au suivant: Une fonction P(x, y) étant

68 W. DOEBLIN

mesurable superficiellement, ne prenant que les valeurs 0 ou 1, définie dans un carré [0, 0; 1,0; 1, 1;0, 1 ]Jtelle que sur chaque parallèle à 0 y l’ensemble des valeurs où elle est 1 a une mesure linéaire >> c; existent — ils deux ensembles linéaires A et B de mesure positive, tels que pour

xs=AetyeBonait

Fan] rcore» de Da?

Nous allons montrer qu’on peut répondre par l’affirmative, ce qui démontrera notre lemme. Supposons d’abord que nous ayons démontré qu’il existe dans notre ensemble I (l’ensemble où P(xy) — 1) deux points de densité tels que Q[x;,, y.] et R[y.,z.]. Le point Q étant un point de

y densité nous pouvons prendre p suffisamment petit pour que le rapport entre la mesure de l’ensemble des points de T comprise dans le carré [x, — p, x, +p et y, —p, y, el et la mesure du dit carré soit > 1 — e.

Même résultat pour le point R. Ceci posé soit 0, l’ensemble des points x de l’axe O x pour lesquels la mesure linéaire de l’ensemble Pig. 1 des points de T d’abscisse x et compris dans le

carré autour de Q est < ce Alors mes 9, <8ps et le même est vrai pour

l’ensemble 6, de points y auxquels correspondent des ensembles linéaires de points de T compris dans le carré R d’ordonnée y et de me-

SHECR Se. Nous pouvons prendre pour l’ensemble A l'intervalle

(X: —p, x, ++) moins l’ensemble 6, et comme ensemble B l'intervalle Z—p, 2 —+p moins l’ensemble 4. Car si x : À et y :B, on vérifie que

St) VD

Il reste à démontrer l'existence des points de densité Q, R. Pour cela remarquons que l’ensemble des points de densité est de mesure relative 1. Si nous le projetons sur la droite 0 y, nous obtenons un ensemble de mesure => c, la projection sur 0 x est un ensemble de mesure 1, si donc nous projetons l’ensemble des points de densité d’abord sur 0y, et ensuite appliquons 0 y sur 0 x, la partie communeavec l’ensemble des points de densité projeté directement sur Ox est de mesure => c > 0. Il existe donc bien 2 points tels que Q et R.

Il en résulte le lemme.

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Le lemme étant établi nous pouvons procéder à l'étude du mouvement à l'intérieur de notre ensemble final. Nous savons que notre ensemble final est ensemble conséquent pour chacun de ces points; quel que soit l’ensemble de mesure positive £ CG, on a une probabilité positive de passer une fois au moins dans l’ensemble £ à partir de n’importe quel point de notre ensemble final. D'autre part en dehors de cas de probabilité nulle notre point mobile ne quittera pas l’ensemble final. On démontre comme dans le $ 2 que quel que soit l’ensemble de mesure positive £ C G, il existe un nombre a (©) et un entier M (.£) tels que la probabilité de passer dans M épreuves au plus dans £ soit => a (£) = 0, quel que soit l’état initial du point mobile (dans G). Alors comme dans l'exposé !!) il en résulte sans la moindre difficulté le

Théorème II. (Sur la stabilité à la Poisson à l’intérieur d’un ensemble final) : En dehors de cas de probabilité nulle, à partir d’une position quelconque initiale à l’intérieur de l’ensemble final, le point mobile passera une infinité de fois par chaque sous-ensemble de mesure positive de l’ensemble final.

Corollaire : Si à partir d’un ensemble de mesure positive € G on a une probabilité positive de passer dans un ensemble de mesure nulle, le point mobile passera avec probabilité 1 une infinité de fois par cet ensemble de mesure nulle.

(Ce ne seront d’ailleurs que ces ensembles mentionnés dans le théorème et le corollaire qui seront obtenus avec probabilité 1 une infinité de fois). :

Considérons maintenant nos ensembles «© et B définis dans le lemme. Par analogie avec le cas fini, nous dirons qu’il existe un chemin d'ordre m d’un point E dans un ensemble £, par un ensemble £,, s’il y a une probabilité positive de passer en m1 épreuves de E d’abord en £,, puis en £,. Nous dirons qu’il existe un chemin fermé d’ordre m d’un ensemble £ en lui même s’il y a, quels que soient les points E et Fe £, une densité de probabilité positive de passer en m épreuves de E en F. Nous allons montrer l’existence de tels chemins, existence qui dans nos hypothèses n’est pas évidente à priori. Pour cela nous allons diviser l’ensemble final G en sous-ensembles, non nécessairement disjoints V,..., V

V=V, +... HV +.

chaque sous-ensemble V, groupant les points tels qu’on ait à partir de

chacun d’entre eux une probabilité positive de passer dans i épreuves dans l’ensemble +. Nous distinguerons dans chaque V,une partie V, h;

pour laquelle cette probabilité est => h,, h, étant pris suffisamment petit pour que la mesure de V; n;S0it positive si mesV, => 0. Prenons un i avec

11) Nous désignerons par < l’exposé> notre travail cité dans l’index bibliographique.

70 W. DOEBLIN

mes (V; n) -< 0. Nous savons qu’il y a une probabilité positive de passer de chaque point de B dans V; h;; NOUS pourrons choisir un nombre

k>>0, un entier j et un sous-ensemble £ de B de mesure positive tel que la probabilité de passer de Es £ dans V, ñ; en j épreuves soit => k. La pro-

babilité d’aller d’un point Es£ dans i+ j épreuves en sera > kh, et d’un point de on a une densité de probabilité > d'aller dans un point F de B en 2N épreuves. La densité de probabilité d’aller d’un point Es£en 2N + i + jépreuves dans un point Fe£ sera donc >ph;k. Nous avons donc bien un chemin aller et retour de £ en £ (par V, ;; et Æ#) en 2N +i—+}j épreuves. Considérons les ordres des différents chemins fermés d’un sous-ensemble de B en lui même, formés tous d’une façon analogue aux chemins de £ en £ considérés ci-desus. Il y a deux cas possibles, ces ordres ont un plus grand commun diviseur d > 1, ou ce p.g. c. d. est 1.

Envisageons d’abord le premier cas. Posons alors

BENIN EEE +...

SA + in pe LES = V, = Vas ar S 1)d+1 ke

Je dis que les ensembles i.j (i<j) ont une mesure nulle. En effet si cette mesure n’était pas nulle, il y aurait d’abord deux ensembles Ne et V, 411, qui auraient une partie commune de mesure positive. De cette partie on peut extraire un ensemble 6 tel qu’on ait une probabilité => e d’aller dans n d + 1 — j épreuves et en m d +1 — i épreuves en « à partir de n'importe quel point de 8. En considérant alors un chemin commun « —-> B —> 6, on aurait deux chemins d’un sousensemble £,; de B en lui-même (£, -> 0 > «© —> £;) d’ordres divisibles par d (hypothèse): donc i — j. Il suit que l’ensemble