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a une mesure nulle. Nous allons enlever cet ensemble de notre ensemble final. Il est évident qu'après cette modification notre ensemble restera ensemble conséquent pour chacun de ces points. Nous désignerons les ensembles 1,...,d, (disjoints maintenant) par sous-ensembles cycliques de l’ensemble final"?). D’après la construction même de cet ensemble, on passe en une épreuve presque-sûrement d’un sous-ensemble cyclique au sui-

12) Dans ce qui suit, quand il n’y a pas d’ambiguité à craindre, nous supprimerous les barres et écrirons simplement 1,..., d.

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. SYPES DE CHAÎNES SIMPL. 71

vant, c’est-à-dire de 1 en 2...et de d'en 1, (car d’un point de 1 nous avons une probabilité positive d’aller en «© seulement dans un nombre d'épreuves de la forme 7 d, d'un point de 2 nous n’avons une probabilité positive d’aller en «© que dans des épreuves de la forme n d — 1, etc. Si l’on avait une probabilite positive d’aller en une épreuve d’un point de 1 dans i (i< 2), on pourrait aller de ce point en «© avec probabilité positive aussi dans un nombre d'épreuves de la forme 1+ nd + 1 — à). Nous avons entre ces sous-ensembles le même mouvement circulaire que nous avons observé dans le cas fini pour le mouvement entre les sousgroupes cycliques des groupes finals.

Si nous regardons les épreuves seulement de d en d, nous serons toujours (en dehors de cas de probabilité nulle) dans le même sousensemble cyclique, de plus les ordres des différents chemins fermés (au lieu d’une épreuve on prend comme unité d épreuves) n’auront plus de p.g. c. d. => 1, nous serons somme toute ramenés au second cas où d—1.

Etudions donc le cas d — 1. Dans ce cas il y a un ensemble « de mesure positive et tel qu’il y a deux chemins de «© en «© d’ordres mn, et m; (m, premier par rapport à m,) avec des densités de probabilité positives (> p, p. e.). Alors je dis qu’on peut prendre M suffisamment grand pour que la densité de probabilité, pour qu’on passe de n’importe quel point de l’ensemble final dans un élément de volume entourant un point quelconque de «© en M épreuves, soit => 7,7 étant un certain nombre positif.

En effet nous savons qu’il y a une probabilité positive = a () de passer en moins de 7(%) épreuves d’un état E quelconque en «*. Il y

a donc pour chaque point un n, < n,(%) tel que P"(E, R)>—. M étant suffisamment grand, on pourra mettre M sous la forme

M —= Un + Kim, + KoM.

Ecrivons que la densité de probabilité d’être en un point de «© après M épreuves est supérieure à celle qu’on obtient en supposant que le point mobile passe d’abord dans la n,'i"e épreuve dans «, fait ensuite X, fois le chemin d’ordre m#”,, ensuite k, fois le chemin d’ordre m.. Nous voyons que notre densité de probabilité est minorée par

720) EE Æo a( ) (, mes 4)" Un ae ) n (4) n ()

Ce résultat va nous permettre de démontrer que les probabilités P( (E, 8) tendent vers une limite indépendante de l’état initial en suivant la méthode de Markorr généralisée par B. Hosrinsky et M. FRÉCHET.

Soit

(ep, mes 70 Pi

P( (8) le maximum de P(”(E, 8) si E varie

p'” (8) le minimum de PU” (E, 8) si E varie

72 W. DOEBLIN

Nons avons évidemment p(”) (8) s ptr+ 1) (8) RE pe +1) (8) = pt”) (8).

Pour démontrer que P((E, 8) tend vers une limite indépendante de l’état initial, il suffira de démontrer que

pt (8) 'E po (8)

tend vers zéro.

pe +M (E, 8) 2 p” + M (F, 8) -[ p" (H, 8) [PŸ(E, d'A) — PY(F,d#,,)]. G

SOUL NE R)= V l’ensemble £ où PME L) = P (Fr = (LS)

atteint sa borne supérieure. Nous avons