NES ETES G—V V
pére, 8) — pit (F, 6) — [l PO (H, 8) 4 (d 0x) —
| Pt (H, 8) A (d y) < [P® (8) — np OI A (d ©) G— V V
faux | A(dÆ,)=P"(E, V)—PŸ(F, V)— V G—V
= PU(F,G— V) —P"(E,G—"V) P'(E.V)—P'(E V)=PME NV. CPÉ(EG-N) = PEN) HP" (EG M) = 1 —[P“(F, V)+ PŸ(E, G — V)] = b, Or nous venons de constater que quel que soit l’état initial la densité de
probabilité d’aller en M épreuves dans un point (ou plutôt un élément entourant un point) de © est => à,. Il suit
PM(F, V)PŸ(E, G — V) > P(F, V %) + P"(E, [G — V]%) > > a, mes # = 1 — tr, > 0 Retje t p'+M (8) =. nu (8) ds [p" (8) es p" (8)] t P (8) — p'" (8) <r1—> 0.
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Donc p" (E, 6) -> P (&)
On montre sans peine que si & est de mesure positive, P (8) est positive, en partant de ce que pour tout point il existe une probabilité positive de passer dans un nombre fini d'épreuves dans &. Nous désignerons ce cas par ,Ccas positivement régulier“.
Envisageons maintenant de nouveau le cas d<1. Si nous ne considérons que les points d’un même sous-ensemble cyclique / et seulement de d en d épreuves, nous avons déjà remarqué qu’on se trouve dans le cas ci-dessus. Par conséquent (0 +’ << 1) si
E; clet & co | | P*Ÿ(E, 8) — P,(8) | <K+:°—>0 P"°(E, 8) —> P,(8)
et P,(&) sera encore positive pour tout ensemble de mesure positive << 1, et aussi pour tout ensemble de mesure nulle < /, tel qu’on ait une probabilité positive d’aller dans cet ensemble à partir d’un ensemble de mesure positive << G.
Ensuite si E : / et Ge /, alors nous ne nous trouvons dans /, que dans les épreuves d’ordres n—=1, — ! (mod d) et dans ces épreuves nous nous y trouverons certainement. Il suit que.
PO(E, 8) = 0 ‘si n</, — I(mod d) PO (E, 8) — P, (8), si n—=l--1 (mod d) | P® (E, 8) — P, (8) | <K:”.
Nous voyons que la position initiale du point E dans l’ensemble final n’influe sur les propriétés asymptotiques du mouvement qu’en indiquant l’ordre dans le cycle, c’est à dire en indiquant à chaque instant le sous-ensemble cyclique dans lequel le point mobile se trouve.
Nous pouvons résumer tous ces résultats dans le théorème:
Théorème III. L'ensemble final peut se décomposer en d sousensembles disjoints 1,...d de mesures plus grandes que > tels qu'on passe avec probabilité I en une épreuve cycliquement d’un sous-ensemble cyclique au suivant. À part le rythme forcé introduit par ce mouvement circulaire la distribution de probabilité tendra exponentiellement et uniformément par rapport à la position initiale
vers une limite indépendante de la position initiale. Plus précisement S | Eel8<1 PE, 8) =0 n2Æ(—D)modd P'(E5,160) =) ne (HE Dmodd | PP (E, 8) — P,(@)| <Kx P,(8) > 0 si mes (8) 0,P, (8) = P,(6 1) En outre on peut a toutes les remarques qui ont été faites dans
l'exposé $ 4 (principe presque-ergodique etc.). Nous voyons qu'il y a analogie complète entre le cas fini et le cas continu sous les hypothèses
let IL. Enfin, on a P,(8) =[? (d ©)
$ 4. — Les probabilités dans les cas général
Si & est extérieur aux ensembles finals, alors PÉLESR) RATE On a PO (E, 8) =0SE GS
Nous avons considéré dans le $ précédent les cas où Es G, et & C G,, supposons maintenant que E soit quelconque et 6 € / (x), en désignant par / (à) le l'if"e sous-ensemble cyclique de G,. Alors soit Pr [E,G,]
la probabilité pour que le point mobile passe de E finalement dans G,, c’est à dire la limite de P(” (E, G,). De même soit Pr [E, j(x)], la limite de la probabilité (m—><) pour que le système se trouve à l’épreuve m d(x) dans j (x).
Pr[E jen PHOE, (0) => 00 On a évidemment d (0) D Pr[E, (2) = Pr[E, G,]
Y'Prl[E, G,]=1.
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Ceci posé on trouve (cfr exposé $ 5) que
PU(E, 8) -> Pr [E, 1, if P,,, 0%) = Pr[E, /, ()]P,,, (6)
où n = Î1— 1, (mod d(2)).
C'est la périodicité du sous-ensemble cyclique /, (x) qui est la raison de la périodicité asymptotique de P(” (E, 8). La différence entre PO (E, &) et sa partie principale périodique, soit Pr(° (E, 8), sera ma-
jorée par la terme général d’une progression géometrique décroissante indépendante de E et &. Posons
S(E, 8) — >» [P® (E, 8) —Pr°E, 8)]
la série S (E, 8) sera normalement convergente et définira une fonction d'ensemble bornée complètement additive, pour E constant. Nous avons le tableau
Ee / (x){ P®(E, 8) —0 8G,—0
à RE 8CL(:) 171 —l(modd(x)
5 F4 (E, 8) —P,, 4, (8) à n = 1, — 1 (mod d (a)) >0simes(8)=>0,
| P p® (E, 6) ->0 Ë G,, Se Ses Ne G,, pe (E, &) SEA LE, l n (2)] P L(o) (8), G < [ (a) = n—=1l—1l, (mod d(x)) P®(E,8) — Pr°(E, 8)= > Pr[E, j, ()]P,,, (@j ()) o, n = j— j,mod d(a).
$ 5. — Les ll (E, 6), moyennes de Césàro
Nous avons vu que PO (E, 8) - Pr (E, 8)
expression périodique en #, dont nous avons donné la forme dans le tableau du $ 4. Comme dans le cas fini la périodicité s’éliminera dans la considération des moyennes de Césàro.
PORO) Er LPO (ES
nn (E, 8) ns 3
LUE, = lim. NE.)
76 W. DOEBLIN
Nous pouvons écrire
DPrû(E,e) j(P°(E, 8) - Pr°(E,8)) LP EE
Li I
Si8<W—S$G,, les Pr (E, 6) sont nuls et dans ce cas pie) (E,8) tend vers zéro, I (E, 8) —0si8<W—EÈG,.
Supposons que & < ! (x), alors les Pr® (E, &) ont la période d (2) et PrÔIE, 81+...+Pr'®lE, 6]
pt (E, 6) > (E, 8) = T2)
et de l’expression des Pr® (E, 8) résulte
PrÜIE, 8] +. ..SPrOIEe)E aie 1()]+...+PriE,d(@)}P,,, (6) = PrIE. G,] P,40 (8).
Donc
Pc) (8) (ES 6) = PTE on dd)
On voit que siEeG,, 8<<1(a), ll (E, 6) ne dépend pas de la position initiale dans cet ensemble final:
Il (E, g = 6) = (6)
et dans le cas PR E, 6 quelconques nous pouvons écrire Il (E, a Pr GE) = Do G,] lo, (8 G,).
Nous allons envisager la grandeur n [n° (E, 8) — NI (E, 8) — 5 PrÔ(E, 8)—nIl(E, 8)+R° (E, 8)
R (E, 8) tend vers S (E, 8). Soit D le plus petit commun multiple des d (2) L « D Pr0(E, 8)-n ll (E, 8)=Pr° (E, 8) + ..+PrŸ (E,8)— ç ll (E, 6) n—=p mod D
C’est une fonction périodique de r avec période D que nous désignerons par
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Alors nous avons n [0 (E, 68) — IT (E, 8) = RÔ(E, 8) + 4% (E,8), ceci tend vers la fonction périodique
une limite n'existe pour tout & que dans le cas non oscillant. Remarquons que 4 est nulle si & n'appartient pas aux ensembles finals ou a un en-
semble final n’ayant qu’un seul sous-ensemble cyclique
$ 6. — Définition et critères
Nous allons introduire comme dans le cas fini les notions de cas positivement régulier etc.
Cas positivement régulier. Nous dirons que nous sommes dans le cas positivement régulier, lorsque la probabilité P (E, &) pour que le point mobile parti de E se trouve après 7 épreuves dans & tend vers une limite P(&) indépendante de la position initiale et positive si la mesure de & est positive.
Introduisons la notion de noyau d'ensemble stochastique. Nous désignerons par la toute fonction Q( (E, &), dépendant d’une part d’un point, d’autre part d’un ensemble, étant en tant que fonction d'ensemble complètement additive, non négative et satisfaisant à QU'(E, W)— 1. Un noyau d’ensembie stochastique sera dit indécomposable si pour chaque E et & de mesure positive il y a un # avec Q(” (E, 8) => 0; un noyau indécomposable sera dit non-cyclique, Si-en dehors peut-être d’un ensemble de mesure nulle-on ne peut pas décomposer l’ensemble de variation sur léquel il est défini en plusieurs sous-ensembles cycliques tels qu’on passe avec probabilité 1 en une épreuve de l’un au suivant. Ce sont les généralisations des notions de matrices stochastiques, indécomposables et non cycliques.
Alors il résulte immédiatement des $ précédents (on suppose toujours que nos conditions I, II du $ 1 sont satisfaites):
Critère: La condition nécessaire et suffisante pour que le noyau d'ensemble stochastique définisse un cas positivement régulier est qu'il soit indécomposable et non cyclique.
Cas régulier. Nous dirons que nous sommes dans le cas régulier si p® (E, 6) tend vers une limite P (&) indépendante de la position initiale,
Critère. Pour qu'on soit dans le cas régulier, il faut et il suffit qu'il n'existe qu'un seul ensemble final et que cet ensemble ne se décompose pas en plusieurs sous-ensembles cycliques.
Cas non-oscillant. On sera dans le cas non-oscillant, si P(° (E, &) tend vers une limite pouvant dépendre de la position initiale.
78 W. DOEBLIN
Critère. Pour qu'on soit dans le cas non-oscillant il faut el il suffit qu'aucun ensemble final n'ait plusieurs sous-ensembles cycliques
Cas semi-régulier. On sera dans le cas semi-régulier si les pÜ (E, 8) convergent dans le sens de Césàro vers une limite IT(8) indépendante de l’état initial, c. à. d. si I1(E, &)'est indépendante de la position initiale II(E, 8) — [1(8). On voit sans peine en regardant la valeur des IL(E, &) donnés dans le $ 5 qu’on a le |
Critère. Pour qu'on soit dans le cas semi-régulier, il faut et il suf fit qu’il n’y ait qu'un seul ensemble final.
$ 7. — Calcul des parties asymptotiques des probabilités
1. Cas positivement régulier. Noussavons que P” (E, 8) tend vers une limite positive P (8) et PÜ(E, &) - P(8&)|<kX'; comme P(° (E, W)=— 1 il suit que P(W)=1, d’autre part en passant à la limite dans
PTI(E,8)—= [ PO(F, 8) PÔ(E, d .)
nous voyons que la distribution limite satisfait aux deux équations
P(8)=— 1 PO (E, 6) P (d ©) | W
D 'MRTD EE
Ces deux équations déterminent complètement les P (8), comme on le voit sans peine (cfr exposé $ 8 et ce Chapitre S 8).
2. Cas régulier. Nous avons encore une distribution stable limite determinée par les équations (1), mais elle satisfait aussi aux équations.
P (6) — [ PO (E, 8) P (d%)
IG PGI P.(8):=.0:$hGi10 G étant l’ensemble final.
3. Cas non-oscillant. Nous savons que si 8 < G P® (E, 8) —> Pr[E, G,]P, (8)
et si & EG, — 0, alors PO (E, &) -— 0. Nous n'avons donc qu’à nous
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occuper du premier cas & G,.. A l’intérieur des ensembles finals on se trouve dans le cas positivement régulier, on calculera donc les P, (8) par les formules de 1). Reste à calculer Pr [E, G,]. Nous avons en passant à la limite dans
ptr+1) (E, G,) | pt (F, G,) pü) (EF; d Æ.) wW l'équation PAIE [ PATES EPO(E; 7/0) L#4 W
On voit comme dans la cas fini que cette équation integrale n’a qu’une seule solution satisfaisant aux condition évidentes
PAIE, GT SiEe Cr —O0siEeG, (82)
On a la relation:
