BAIE EU

4. Cas singulier à l’intérieur d’un ensemble final. Supposons que E« /,, et 6 < 1,, alors nous savons que

P(® (E, 8) — 0 n < ([—1,) mod d (2) > P,(@) n — (— 1) mod d (+)

P, (&) étant aussi limite de P'" (E, &), si Esl et 8 <1L. Si l’on ne regarde que des points de / et de d en d'épreuves seule-

ment, les P(? (F, 8) définissent un cas positivement régulier. Il résulte de 1) que les distributions limites satisfont au système

PO) [ P@ (E, 8) P,(d æ.) (l PAU SS 1 &<I et en sont les solutions uniques. Comme dans le cas fini, il résulte de

l'allure cyclique du mouvement qu'il suffit de résoudre un seul de ces systèmes, les autres s’obtiendront par les formules

80 W. DOEBLIN

On vérifie encore les équations

(P, (8)+P,(8)+...P,(@N— f PO (E, 8)IP,(d %,)+.. + P,(d43)] e W 5. Cas singulier général. SiE appartient aux ensembles finals ou si 8 n’y appartient pas (82 G, — 0), les formules du $5 et ce qui précède nous mettent sans difficulté en mesure de calculer les parties asymptotiques des P( (E, &). Supposons donc que E n’appartient pas aux ensembles finals et que & est un sous-ensemble de / (4), alors

pu (E, 8) = Pr [E, L, (1 P,« (©)

Nous venons de montrer que le calcul des P,,, (8) se ramène à la solution d’une équation intégrale, il nous reste à calculer les Pr[E, j(+)], c’est à dire les limites des P#4( [E, ; (2)]. Un passage à la limite facile nous montre que ces quantités satisfont en tant que fonctions de E à l'équation

Pr [E, j (2) = | Pr[F,j (2) P®(E, d r) W et aux conditions Pr [E, j ()1 ="1 si Ee7(:) Pr{E.j()—=0 si E:k(@) Kk(ZÆj(G)

Ces conditions déterminent les Pr [E, j (x:)] sans ambiguité. Nous avons donc ramené le calcul des parties asymptotiques des P(° (E, 8) à la résolution d’un certain nombre d'équations intégrales où les noyaux sont des noyaux de Stieltjes.

Nous avons les relations

pr+ m) (E, 8) = | Pr (F, &) pt) (E d A) —

= | Pr (F,8)P °° (E, dæ,)— | PO(F,8)Pr (E, de)

2 wW W

desquelles on tire en particulier :

Pr [E, , (a)] à Pr [F,/(:)] P( (E, d A.)

L Ww

formule qui montre qu’il suffit de calculer les Pr[E, / (x)] pour un seul

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 81

sous-ensemble / (x) de G,. On aura alors immédiatement tous les autres Pr [E, j (a)] par la formule (2).

Lorsqu'on voudra pratiquement résoudre les équations intégrales qui déterminent les P,,,, (8) et les Pr [E, / (x)], on sera en général obligé

à écrire que p. ex. P,,,, (8) est la limite de P("0 (E, 8) où Ee / (a) et D dia):

Pit) (8) = PŸ(E, 8) + {P°? (E, 8) — P? (E, 8)} +... API , 6) = PTE, 8)} +. * série majorée par une progression géometrique à raison < 1. Et de même, Pr [E, / (a)] — lim PUŸ[E, [a)] Pr [E, / (2)] = PIE, (a)] + P(E, / (a) — P9(E, /(a)).… + POIE, 1 (2) — P'ÉTLE, 1 ())-E Toutefois en certains cas il peut être avantageux de passer par

les équations intégrales.

Comme |P° (E, 8) — Pr (E, 8) | LKX°, 0 < à < 1, la série S (E,8)= ÿ[P (E, 8) — Pr VE, 8)| n=1

est absolument et normalement convergente. Elle définit une fonction d'ensemble additive et bornée. On peut facilement montrer que les S (E, 8) satisfont à des équations intégrales qui les déterminent sans ambiguité. Mais cela n’a pas beaucoup d'intérêt parce que si l’on veut les résoudre on sera en général amené à écrire que S (E, &) est précisément égale à la série qui la définit. Remarquons qu'on peut mettre les S (E, &) sous des formes où n’interviennent pas les Pr (E, 8). Par exemple dans le cas régulier où Pr” (E, 8)— P (8), on peut écrire

S(E,8)= D n[P® (E, 8) — PT (E, 8)]

Il faut noter les relations suivantes, qu’on démontre sans peine. SUEUN)E= 0 SEM) O siEeG, et | Pr (F8) S(E. d06.)—=0

[ S (F, 8) Pr” (E, d ,)—0 W qui montrent que les noyaux S (E, &) et Pr (E, &)sont orthogonaux.

S 8. — Sur les constantes fondamentales de module 1 et sur les fonctions fondamentales correspondantes.

Considérons les deux équations

?(E)—2 i. p(PPOE, d'A) (1) W

ll PO (F,6) + (d 0.) (2) sie

»(E) étant borneé, 4 (&) une fonction d'ensemble complètement additive et bornée. Les valeurs pour lesquelles une de ces équations a une solution non partout nulle sont dites les constantes fondamentales du

noyau P® (E, 8). On déduit de ces équations

TOLRE | PF, 8)y (d %,) (4) W

Or les intégrales figurant aux membres droits de ces équations restent bornées, z (E) et L(&) ne sont pas partout nulles, il suit que [As 1

Toutes les constantes fondamentales du noyau P° (E, 8) sont en module > 1.

Si À est une valeur fondamentale de module > 1, s’il existe une fonction + (E) ou + (8) qui satisfait pour cet À à l'équation (1) resp (2), on peut écrire

#(E)= à" [ »(F)Pr (E, d'&.)

+ [ ?(F) IP (E, dÆ,)— Pr (E, &,)] a W respectivement

p(8)—à" [ Pr [F, 8] (d .)

La | {PO IF, 81— PrU[F, 6) 9 (d 0.)

EPRNY,

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. SYPES DE CHAÎNES SIMPL. 83.

On en conclut que

l e(F)Pr° (E, d Æ.)—0 W

respectivement

[ Pr°/(F, 8) 4(d %,)—0 w équations qui se réduisent à [ 8(F)P;0 (d #:) FR 0 =; RS d (x), W respectivement ET 3 (de) j=1,...4d(o).

On déduit des équations (3) et (4) que les fonctions fondamentales relatives à des constantes fondamentales de module=- 1, satisfont à

ou o-0n| S (F, 6) # (d 0e)

Revenons aux constantes fondamentales de module 1. Il résulte immédiatement des équations (3) et (4) que les membres droits étant asymptotiquement périodiques avec période entière D, on a

Donc toutes les constantes fondamentales de module 1 sont racines d’une même équation binome (ce qui est un résultat de M.

FRécHeT dans l’hypothèse de l'existence d’une densité pV(E, F) telle qu’une itérée soit bornée). 11 en résulte ensuite, le membre gauche étant exactement périodique que

[ e (F){PIE, do] — PrIE, d Xl} — 0

il [PO (E, 8) — Pr (E, 8)] 9 (4 %.) = 0.

84 W. DOEBLIN

D'autre part

[ 2 (F)Pr° [Ed] À PrIE, 1, (2) [ ? (F) P(d r)