REC
donc siX® Æ1,b —...— ban 0, Si À ® — 1, on peut prendre
__ }d(o) do) À “ bag = À Gb — À bs...,b,,—= 0,
Nous voyons que les constantes fondamentales de module 1 du noyau sont toutes les racines de l'équation:
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SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. SYPES DE CHAÎNES SIMPL. 85
À chaque ensemble final G, correspond le facteur x@ 1—0et
les fonctions fondamentales relatives aux racines de X°(% __1—0 X'OPFr[E, 1(2)] + TPFIE,2(a)] +... ÀPr[E, d(a)] À Pi ( (8)+X Pr (6) +: DER Pi) (&)
Au congrès de Bologne M. Hapamarp a donné, probablement sous l'hypothèse d’une densité pO(E,F) continue, un certain nombre de résultats concernant les fonctions ?(E) correspondant aux constantes fondamentales de module 1. Ces résultats donnés dans l’exposé très concis de M. Hapamarp sans démonstration et sans explication des hypothèses, ont été démontrés sous les hypothèses d’une densité p®(E, F) avec une itéré pN (E, F) bornée par M. FRécxer. Ils sont fort curieux à priori, et on ne voit pas trop bien leurs raisons. Nous allons voir qu'ils s'expliquent très facilement par la forme donnée des fonctions g(E). Supposons que k—e" soit une racine des équations À°(?—1] pour a—= 4%, %, ... Alors nous pouvons écrire
pE)=a, CP Pr[E, 10)]+...)+a, CPPrE1G)+. +
Pour simplifier l'exposé nous nous bornons au cas où nous n'avons qu'un seul a,><0, que nous pouvons supposer — 1. Alors soit À” — 1 —0 l'équation binome du plus petit degré que À vérifie, d(a) —Rv. Il'vient
8 (E)=[PrlE, 1()1+-Pr LE, + 1()]+— + Pr IE, (R—1)9+1 (2)]] + Pro Er 20) El enr et le maximum de ® (E) sera atteint si
Pr[E, {(a)]+Pr[E, Ev(2)]+... Pr[E,(R = DE {()] —1
car
2Pr [E,/@)1=1, Pr[E, (a) > 0
Dans ce cas 2(E) se réduit à À7 !. Les affixes des différentes valeurs de module 1 que 2(E) peut prendre sont donc les extrémités d’un polygone régulier à y côtés inscrit dans le cercle z— 1 du plan complexe. (Dans le cas général on aurait obtenu une figure formée de plusieurs polygones réguliers à y côtés inscrits dans le cercle unité).
Soit X l’ensemble des affixes des valeurs de module 1 que © (E) peut prendre. Il est évident que l’ensemble X reste invariant par une
27% : i( (E) rotation d'angles ou %. A chaque point de , soit e‘!®?,
(6 rt ,0<<1<y), corespond un certain ensemble de points, soit e,, de
86 S W. DOEBLIN
: __ piQ(E) æ W où 2(E)—e """,de mesure => n, Car e,,4, 171 €St comme nous à
vons vu l’ensemble des points E pour lesquels
Pr[E, /(a)]+PriE,v+1 (a+... +PrlE,R—1%+1(G)=1 et cet ensemble comprend le sous-ensemble cyclique /(:) qui est de
mesure > 1. Les ensembles /, pour des valeurs différentes de 6 sont evi-
demment disjoints et leur somme 1, forme un ensemble total &
appartenant à W. Je dis que le point mobile passe presque-sûrement à chaque épreuve de l’ensemble /, dans l’ensemble /,,. En effet, si 6—0 p.ex., /, dans l’ensemble de points où
Pr[E, 1(a)]+...LPr[E, 1H(R—1)"(a)=1
alors LEE — [,, sera l’ensemble des points, où
Pr[E,2(a)]+...+Pr[E,2+4+(R—1)"()]=1
Et en vertu du mouvement cyclique qui nous a donné l'équation
Pr[E, L (a)] sl Pr[F,/(4)]PO(E, d',) 1==1 — 1, (mod d(2))
Pr[E, 1(a)]+...—+Pr[E, 1 ER— 1)» en frrrirzc+ mr
+Pr[F,2+4(R;— 1) v()} PO (E, d',)
donc siEce,
1— | {PrlF,2()]+...+Pr[F,24(R—1)"(x)]} PÔ(E, d'&,)
et cette égalité ne peut avoir lieu, si la probabilité de passer de E dans l'ensemble des points où Pr[F,2(x:)] + Pr[F, 2 + v(x)] +... + Pr [F,2L(R—1)v(a)] <1-—e est positive. PO(E, / BEES ELA 275
$ 9. — Le cas du battage des cartes
Pour des raisons de commodité, nous désignerons encore ici sous le nom de battage des cartes le cas où la condition suivante est remplie :
| PO(E, 6) dE — mes(&) W
SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. SYPES DE CHAÎNES SIMPL. 87
On déduit sans peine qu’elle entraîne
jl P G(E, 6) dE — mes(&) W et [ Pr (E, 8) dE — mes (8). W
De [ P( (E, W.- E 2G,)dE—mes(W—2©G,) W
et
PO(E,W=-2G;) -= 0 nous déduisons que mes (W—2G,)=0.
En dehors d’un ensemble de mesure nulle, W se décompose dans les différents ensembles finals. Je dis que les sous-ensembles cycliques mes (G,).
d (a) trons cela pour les sous-ensembles cycliques d (2) et 1 (4). Nous avons
re ed arf P(E,1(2)) dE — mes d (x) d'+ Sup T7 d(o)
-[ jf P(E,d«#,)dE — mes 1 (2) — mes d (a).
Considérons la distribution P,,,, (8). Elle est déterminée par le
d’un même ensemble final ont la même mesure — Démon-
système
| P“(E, &) Po) (d V0x) F4 P,(0) (8)
mes (6) ) PONT :
px 2 f es ({ (o)) puisque la distribution uni orme est
une solution du système ci-dessus.
elle est donc égale à
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$ 10.—Les probabilités inverses
1. Probabilités absolues. Comme au $ 11 de l'exposé, nous pouvons envisager les probabilités absolues. Si nous supposons qu'à l'instant initial on a eu la probabilité initiale Q, (8) pour que le point mobile se trouve dans &, la probabilité absolue“ d’être à la n'ième épreuve dans 6 est
NO [ PUF, 8) Q (d 0) W
Si au contraire nous supposons que le mouvement du point mobile n'a pas commencé à une date finie, mais dure depuis ,toujours“, on est conduit à définir une probabilité Q (8), probabilité ,absolue“ pour que le point mobile se trouve à l'instant #7 dans & pour tout n,(—<n<o), On voit sans peine comme dans le cas fini que ce probabilités absolues sont nécessairement de la forme des
pr (E, &)
dépendant donc en gènéral d’un certain nombre de paramètres.
2. Probabilités à posteriori. Supposons d’abord que notre point mobile n’évolue que depuis un temps fini et qu'à l'instant initial O il était dans E. Soit alors & un ensemble avec P((E, 8) 0. Nous pouvons nous demander quelle est la probabilité pour que le point mobile qu’on a observé à l’épreuve 7 dans & s’est trouvé à l'épreuve m (mn) dans un ensemble J. Cette probabilité sera donnée par la formule de Bayes et s’écrira
[ p{ — m) (F, 8) pt” (E, d'A) [fe — M (F, 8) p(”) LÉ r d /)
