MT

Ÿ pt — m) (F, 8) p(”) (E, d'A.) pt” (E, 8) W

Elle dépendra en général de 7 et de m, et pas seulement de nm. Dans le cas fini, nous avions vu que les probabilités à posteriori ne changeaient pas lorsque on se donnait en outre les positions ultérieures du point mobile aprés l'instant n. Ici il n’en est plus de même en général.

Les probabilités à posteriori calculées par la formule ci-dessus perdent tout sens lorsque l’ensemble & est tel que P((E, 8) — 0. Toute fois il est intéressant de connaitre la distribution de probabilité à un instant intermédiaire lorsque et la position initiale E du point mobile et sa position H à l'instant 7 est connue. Il est évident qu’en général cette

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loi de probabilité n'existe pas, nous pouvons toujours changer les densités de probabilité dans un ensemble de mesure nulle et modifier ainsi les lois de probabilités à posteriori, sans modifier les probabilités à priori que nous supposons seules données. Mais si, quel que soit la suite d’ensembles 6, convergeant vers H, la probabilité à posteriori calculée par la formule de Bayes tend vers une limite indépendante de la suite d’ensembles particulière, alors nous pourrons l’interpréter comme probabilité à posteriori pour que le point se trouve à l'instant m dans l’ensemble J, sa position initiale ayant été E et sa position à l'instant nr étant H.

Si nous nous bornons pour l'instant à l'hypothèse qu’il existe une densité de probabilité bornée et continue p (E, F), et que notre ensemble est tel que dans chaque sphère entourant un de ces points de rayon positif, il Y a un ensemble de mesure positive de points de notre ensemble $), alors il est évident que si p° (E, H) < 0 cette limite existe et sera égale à

fr (E, P)p"="(F,H)dF

p"(E, H) Il existera même dans ce cas une densité de probabilité à posteriori. égale à po (E, F) Fret (F,H) p°(F, H)

indépendante de tout ce que nous pouvons savoir sur le mouvement du point mobile postérieurement à la n'ième épreuve.

Supposons maintenant que le point mobile évolue depuis n— — ©, Alors les probabilités absolues sont de la forme Pr” (E, 8) —Q( (8) donc nulles en dehors de 2 G,. Envisageons un ensemble & avec Q (8) 0, en adoptant un systeme déterminé de probabilités absolues Q® (8). La probabilité à posteriori pour que le point mobile qu’on a observé à l’épreuve n dans & se soit trouvé a l'instant m (m <n) dans un ensemble ] sera donnée par la formule de Bayes

PT (F, 8) Q (d .) J

Si nous savons que le point a été dans / (x) à l'épreuve nr, nous savons

18) Nous désignerons cette hypothèse par H pour ne pas avoir à la rappeler.

que, en dehors de cas de probabilité zéro, le point se trouvait à l’epreuve m<n dans [’ (x),

n— m—l—l" (mod d (x)) (1)

nous pouvons donc écrire

& l(a)=1 Je (0)

Let l’ étant toujours liés par la formule (1). Si & n'appartient qu'à un seul sous-ensemble cyclique / (x), ce qui est le cas le plus intéressant, et si Q®° (8) => 0, alors la probabilité à posteriori se réduit à

j P'"(F,8)P , 6 (d%) Je (0) Pr( (8)

Donc: si & n'appartient qu'à un seul sous-ensemble cyclique la probabilité à posteriori ne dépend que de n—m et est indépendante du système particulier de probabilités absolues (pourvu que Q® (8) > 0).

Si nous nous plaçons de nouveau dans l’hypothèse H, alors nous pouvons définir une probabilité inverse pour que le point mobile observé à l'instant # dans un point He / (x) s’est trouvé à l'instant m < n dans F, égale à

pere (Es DIpr er (F) Æ LTERE (F, H) Pt (2) H)

les p,, (G) ayant des significations évidentes et étant positives pour G &.{(a). Cette formule n’est démontrée que si Q®? (1(«)) > 0, on peut la supposer vraie dans tous les cas.

Cette probabilité inverse sera indépendante de nos connaissances sur le mouvement du point mobile après l'instant n.

Supposons maintenant que n — m augmente indéfiniment, alors de la formule (2) résulte que

D(J, m| 8,n) #« es

où n—m—=l—{l (mod d (x))

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® (], m|6,n) est donc asymptotiquement périodique. Si & C / (a), alors la probabilité à posteriori sera équivalente à

Pc) [JL ()] et dans l'hypothèse H, la densité de probabilité inverse +" (FH), Hel(a) est O0 si FE l’ (a), n—m—l—l (mod d (a)), et tend vers Prg Œ)SiF el (a).

$ 11. — Quelques remarques

1. Les P° (E, 8) peuvent-ils être exactement périodiques? Si les P® (E, 8) sont périodiques en n, ils coïncident avec les Pr" (E, &). II suffit d’ailleurs que P® (E, 8) — Pr (E, &), pour qu’on ait pour tout 7, PO (E, 8) = Pr (E, 8). Interprétons l'équation P(E, 8)—P r°(E,8). Il en résulte d’abord que le point mobile passe dès la première épreuve avec probabilité 1 dans les ensembles finals: P® (E,£G,) — 1 quel que soit E. Maintenant soit E « (2), 8 < i+1 (a), (ou 1 (x) sii— d (a)), alors

DATES PACA

Donc à l’intérieur d’un ensemble final la probabilité de passer dans une épreuve dans l’ensemble & ne dépend (en dehors de l’ensemble &) que du sous-ensemble cyclique, dans lequel le point mobile se trouvait à l'épreuve précédente.

Ces conditions nécessaires sont, comme on voit sans peine, aussi suffisantes.

2. Sur un procédé permettant de ramener le cas singulier général au cas non-oscillant. Envisageons l’ensemble W° de l’espace Rp, D-ième puissance de l’ensemble W du R, considéré auparavant, D

étant le plus petit commun multiple des d (x). Un point E de W° sera donné par la connaissance de D points E, de W. A côté du point

mobile (soit P) que nous avons envisagé jusqu’à maintenant, nous allons considérer un point mobile P se balladant sur W? et dont le mouvement sera lié au mouvement de P dans W de la façon suivante. Si le point P a été à la m D +1-ième épreuve au point E,, à la m D +- 2-ième épreuve au point E, ... et à la D m + D'ième épreuve au point E,, le point P se trouvera à la m + 1-ième épreuve au point E (E;,..., Es). Nous aurons encore une probabilité bien définie P!” (E, &) pour que le point P passe en n épreuves du point E (E,,..., E)ide W? dans l’ensemble & de W;,, s'exprimant en fonction des P (E, &) par

P(E, 8) — [ PP (ES di PMR décry. PhP (ES, d 06e) &

92 W. DOEBLIN

PEL 8) => Pr (E, 8) (exponentiellement). Il suit que PU(E, 8) > Pr (E, 8) exponentiellement. Supposons que E, = / (à), p. e. [—d4, soit D — f d, alors en dehors de cas de probabilité nulle le point P se trouve à la mD+1-ième épreuve dans 1 (a), à la mD +-2-"° épreuve dans 2 (2) et à la mD<+D épreuve dans d (a). Le point P se trouvera donc à la mime épreuve quelque soit m dans l’ensemble [1 C):2"C),d(x),...1(&)..., d(ax)] et à l’intérieur de cet ensemble PY(E 6) P (8) exponentiellement et uniformément par rapport à E et &.

$ 12. — Application au cas d’un ensemble de mesure infinie, au cas dénombrable et au cas fini

On peut ramener toujours la cas d’un ensemble W de mesure infinie au cas où W est de mesure finie en modifiant la définition de la mesure de l’espace euclidien de façon à lui attribuer une mesure finie. On pourra p. ex. prendre un point arbitraire 0 comme origine, tracer une"suite d’hypersphères S,, ...,S, de rayons 1,2,3,.. , n,... autour de O et définir la mesure d’un ensemble & compris dans la couronne sphérique entre S,., et S, comme étant la mesure Lebesguienne ordi-

naire divisée par =: Il est évident que les fonctions mesurables avec

l’ancienne mesure restent mesurables. Si après ce changement de mesure les fonctions PÜ/(E, &) satisfont aux conditions du $ 1 les résultats des $ précédents s'appliquent.

Nous allons supposer que P” (E, 8) soit définie quel que soit E pour tout ensemble & mes (B), que pour ces &, P° (E, 8) soit mesurable (B) en E, enfin que la densité p”” (E, F), derivée par rapport à & de la fonc-

tion d'ensemble P(” (E, &) existe sauf pour des coiples E, F de mesure (L) nulle et soit mesurable en fonction du couple E, F.

Et qu’on ait l’hypothése:

I Si mes W— 0», ils existent deux entiers N et m, deux nombres positifs n et b, tels que

PO(E, 8) <1—b si mes (8 Sy) <n

Alors tous les résultats établis précédemment s'appliquent aux

P° (E, 8) dans ce cas, seulement les ensembles finals et sous-ensembles cycliques sont maintenant tels que mes (8S,,) = n.

Supposons maintenant que l’ensemble W est l’espace tout entier qu'il existe une densité de probabilité p (E, F) constante si E se meut

dans la couronne sphériqueS, Ét— S,, et F dans la couronne Sen 0.

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Alors la probabilite de passer d’un point Es S, — S; , dans une couronne S, — S,, ne dépend que des indices À et £ et pourra être écrite p;, (—1,2...; k—1,...). Le cas dénombrable est donc un cas particulier du cas continu, ce qui était évident à priori. L'hypothèse Il" s’écrira alors:

Ils existent deux entiers m et N et un nombre b tels que m pro > b quel que soit à.

Donc dans le cas dénombrable sous cette hypothèse s'appliquent tous les résultats énoncés plus haut dans le cas continu. Ce cas a été étudié pour la première fois par M. Forrer. La solution complète du cas dénombrable est dûe à M. KozmoGoror.

Remarquons encore que le cas d’un nombre fini d'états peut de

même se traiter comme cas particulier du cas continu sous l’hypothèse I, IL.

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