CHAPITRE

LES VARIABLES ALÉATOIRES ATTACHÉES AU POINT MOBILE $ 1.— Position du problème

Plaçons nous dans les hypothèses du $ 1 ou du $ 12 du Chapitre 2. Comme dans le cas fini, faisons correspondre un nombre X(F) à chaque point F. Nous supposerons sur cette fonction X(F) qu’elle soit mesurable et bornée. Cette dernière hypothèse a pour but d’éviter des complications qui pourraient s’introduire dans le cas d’une fonction non bornée, car nous ne supposons pas que la probabilité pour que le point mobile se trouve dans un ensemble de mesure nulle à une épreuve donnée est nécessairement nulle. Nous pouvons considérer les variables aléatoires en prenant la valeur X (F) lorsque le point mobile parti de E passe à la n-ème épreuve en F, et S® — X0 + x® +...+X® somme des valeurs X (F;) correspondant aux F; réalisés successivement dans

les 7 épreuves considérées. Il s’agit d'étudier ces variables. Comme nous avons réservé la lettre & dans le chapitre précédent pour désigner des ensembles, nous allons dans ce qui suit désigner par

l'espérance mathématique ou valeur moyenne de A.

$ 2.—Le cas régulier

RIRE | X (F)P®(E, d'Æ,) W PU (E, 8) convergeant vers P (8) il suit que IX [ X (F)P (d %.) = M W et

or [x® — MF — [ X? (F) P (d %,) — M°— 5°:

LIW

96 | W. DOEBLIN : Considérons la différence

IX] ME= [ X (F)[P®(E, d#,)- P(d ;)| a” W soit K la borne supérieure de | X(F) |, et &, l’ensemble pour lequel p"(E, &) — P (6) atteint sa borne supérieure. [er [xP] M | <K{P'(E,8,)—P(8,)-P(W—6,)—-PO(E.W—6,). De | P®(E, 8) —P(8) | <O0(e—*") quel que soit E et &, suit ot [XP] = M +0 (e7/").

Envisageons maintenant les Se D'abord

or [S{”] — =) 8 PÔ(E, d %.) = D'or [x].