ET
De où [X®]-> Metor[xŸ — M]— O[e-?"] suit Oiré S fe rie
et AC [s®] — nM est borné. De plus soit 6, ,, l’ensemble des points de W
£ [x (F) P' art | x@rx+ D Pi, 5,2 r6)
5e Y se FRE, 20),)-2B06,,) |
emo
A! ont un sousensemble de &, ,et —1<6 <1.
I, m 8, étant toujours l’ensemble où P (E, 8) — P (6) atteint sa borne A m
DUB IE CPE P(Æ,)| <2(P%(8)—P(8,)
or PÔ (E, 8)—P(8)— : (e—*"),leterme restant est donc quel que soit n
inférieur en module à C — m étant une constante.
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D'autre part
Ÿ'(P0E, os) PO) RUE SE Go,
D DE EP, 6.) — P(8,,)]- 2e LR (EG).
En faisant tendre 7 et m vers l'infini, nous voyons que
IT
at [s® rM| “4 X (F)S (E, d #,)
et
ot [S® — r M] — [ X (F)R®(E, d'æ.).
2 W Passons à X [S® — » Mf2. On a
ot [Sn M] — La xe MP+2) ox? m) ÿ x?) 1— 1= 1 t=ir1
Y AUX M]? #25 et [(X® — M) D (XŸ — M)] = t=iti peut s’écrire (i) : (a—t) OÙ [(XE — M) OR LH [ST — (x — M]].
Si à la irième épreuve le point mobile a été en F, alors
M ,D= MISE” — Mr —#)]
On conclut comme au premier chapitre que
HS — n M]° = 5 n + (E)
ce qui tend vers
sf | X (F)+ 2 | X (G)S(F, d 6) | (XF) — M)P(d %,). LI 2” W
FA (E) tendant vers une limite ayant une forme analogue à celle du cas fini. Considérons maintenant
on [SE — x (S1]? = à + 7° (E)+IM(SE)— M nf
ru RE ON MODE
Par conséquent on {SP - MSP 1} /n—>5.
Nous avons donc obtenu les deux résultats. L’espérance mathématique et le carré de l'écart type de Se tendent divisées par nr vers des limites indépendantes de la position initiale du point mobile. De plus les différences entre ces grandeurs et leurs parties asymptotiques tendent vers des limites.
Si l’existence de la limite de [SP] [net den Eee Mr est due à l’homogénité du mouvement et au fait que, grâce a la tendance rapide de P°° (E, 8) vers une limite indépendante de la position initiale, M [XŸ . XÜ+° MJtend rapidement vers zéro si { augmente indéfiniment, l'indépendance de cette limite de la position initiale est dûe principalement à la stabilité à la Poisson telle que nous l’avons démontrée dans le théorème II. En effet supposons qu’une de ces limites-là (celle de ARE) | / n ou celle de 9 [SE nMi n) soit comprise entre a et a +e dans un ensemble de mesure positive. Alors elle sera partout comprise entre a et ae, comme on montre sans peine par une décomposition de l'espérance mathématique. On en déduit immédiatement l'indépendance de la limite envisagée de la position initiale.
Supposons maintenant que 5 >< 0. Alors les mêmes raisonnements que ceux que nous avons faits dans les $ 3, 4, 5 du Chapitre 1 nous montrent qu’on a le théorème
Théorème. Dans le cas régulier, sis 0, la loi de probabilité de SE —nM]}/sV/ntend vers la loi réduite de Gauss (uniformément par rapport à E). Tous les moments de [Sr M|isV/n tendent vers les moments de la loi de Gauss.
Il n'y a rien d’important à changer dans la démonstration du théorème du logarithme itéré et nous pouvons énoncer (5 >< 0).
Théorème du logarithme itéré: La probabilité pour que l’on ait pour au moins un n > N l'inégalité
IS —nM|> V2 n(lgn+clg;n)
, RUES à 2 | é tend vers zéro avec N ,sic >, est égale à 1 sic < D:
À l'encontre des démonstrations des théorèmes ci-dessus, il y a un peu de différence pour le cas 5 — 0 entre le cas fini et le cas qui nous intéresse. Comme nous nous servirons des probabilités à postériori, nous allons adopter l’hypothese H (voir $ 10, Chapitre 2).
Nous allons de plus supposer qui on se trouve dans le cas positivement régulier. Alors on démontre par des raisonnements semblables mais légèrement plus compliqués que ceux du $ 5, Chapitre 1 que dans l’hypothèse H, si s — 0, après soustraction d’une constante M de chaque X (F), soit X (F) est presque partout nul,
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soit en dehors d’un ensemble de mesure nulle X (F) ne prend qu’une infinité dénombrable de valeurs et X° +... X est bien déterminé par la connaissance de la position initiale E et de la position F à la (o1)°"* épreuve (pourvu que p®TV(E, F)=> 0) et ne dépend pas de p. On aura pour tout chemin fermé, c’est à dire pour toute suite d’états E,, E;, E,...E»1 avec p (Es Ei) p (Es, E2) . . : p (En 1, Eo) > 0 (sauf si E, appartient à un certain ensemble de mesure nulle)
