x' Por [s® ?]PÔ(E, à %r), DR N
et comme
où [SE] > frosEex-f rose,
&w VW VW.
il sera égal à un terme borné près à
HD ref xosesxylrux y w wW
Par conséquent
ox [SPF 1 nr — | X' (F)[X'(F) + | X'(G)S(F, d &,,)I(d ,)—5° - W
W Le
En revenant aux X (F) ] d dpt \ = es > | (X(F)—M,)[X (F) + 2 | X(G)S(F,d%,)]P,(d %,) PT: #7 W Nous avons
où [S ®] = € or [x!°] — > M ,,+ 9 [SP].
SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 101
Or Nn (4) tend vers une limite finie si 7 —> <, et
JM — af X (F)11 (d %,) — d M Cr
d’où
et
ASE if X (F)11 (d %;) à W est bornée et asymptotiquement périodique. Maintenant M [SP ons PP = os PP {or ST Donc om [s? = or [SIP] An > 0?
et cette limite est aussi la limite de
ON [S® — n M /n.
On voit sans peine que la différence entre [SF + JC (SA et n 5? est bornée et asymptotiquement périodique.
Les raisonnements du $ 7, Chapitre 1, qui s'appliquent sans changement montrent que les théorèmes démontrés sur les se dans le cas
régulier s'étendent au cas actuel.
Remarquons que si 5 — 0, même si l’on n’a pas l'hypothèse H, se — n M restera borné en dehors de cas de probabilité arbitrairement petite dans le sens de la loi forte des grands nombres.
$ 4. — Le cas singulier général
Supposons maintenant que nous ayons plusieurs ensembles finals G,,--.G,,avec les probabilités Pr [E, G,] de passer dans l’ensemble final G,,.
Soient M, et 5, les limites de 90 [S0] /n etor me DR [SCT calculées sous l'hypothèse que E : G,. On voit sans difficulté, exactement comme dans le cas fini, que la loi de probabilité de S | n tend
vers la loi discontinue prenant avec probabilité Pr [E, G,] les valeurs M,..
102 W. DOEBLIN
Les moments de Su | n tendront vers les moments de la loi limite.
En particulier M (E), limite de OT [S°] | n sera égale à M(E)= D PriE,G,IM,
ce qui pourra encore s’écrire, vu la valeur de Il (E, &)
M(E) — [ X (F) II (E, dk)
2 WW .
mais cette dernière formule n’est pas très instructive. De même or [S® | » — M (EF > Pr [E, G,] IM,— M (E)F — W2 (E)
Nous avons des expressions analogues pour les autres moments. Supposons maintenant que les M, (au moins les M, avec Pr [E, G,] 0)
soient toutes égales à M. Alors la loi de probabilité totales de [S® —nM]/V/n tendra vers
X x2 f e dx) Pr Hpetbe
L Pr[E de,
la première somme étant étendue à ceux des ensemble finals avec 5,0, la seconde aux autres.
Les moments de [S® —nM]/V/n tendront vers les moments de la
loi ci-dessus.
Dans le premier cas (loi discontinue avec plusieurs valeurs possibles) ni la loi des grands nombres, ni à fortiori la loi forte des grands nombres ne sera applicable. Dans le second cas par contre, en dehors de la loi des grands nombres dans le sens Bernouillien, la loi forte sera applicable sous la forme suivante: si 5 est le plus grand des 5, avec Pr[E,G,]=>0,et5:<0, alors la probabilité pour qu’on ait pour au moins un ñ7 > N |
[S —-nM| >V25n(gntclen)
Le MAN tend vers zéro avec NC 5. Si 5 est nul, alors les S® — M resteront
bornées en dehors de cas de probabilité nulle, la loi forte des grands nombres sera donc encore applicable.
S'il n'y a qu'un seul ensemble final, (SE —nM\/5 V’n,5<0 tendra vers la loi de Gauss réduite et en dehors de cas banaux (plusieurs ensembles finals avec le même M, et s,) ce sera le seul cas où la loi de Gauss a lieu.
SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 103
Dans le cas général on montre sans peine que
a [SO] = n Ÿ Pr[E, om+ | X (F)S (E, d'#;) +
