CHAPITRE 4 LES MOUVEMENTS SUIVANT L'ÉQUATION DE SMOLUCHOVSKI
$ 1. — Les probabilités
Position du problème. Nous avons envisagé jusqu à maintenant seulement des cas où l’on n'avait qu’une suite discrète d'épreuves. On répérait la position du système ou du point mobile périodiquement après des intervalles de temps constants. Nous allons maintenant supposer qu'on contrôle constamment le mouvement du point mobile et qu’il existe une probabilité bien déterminée pour que le point mobile partide E se trouve après un intervalle de temps { dans un sous-ensemble & de W, cette probabilité P (E, 6, ©) sera toujours supposée indépendante de l'instant de temps initial et de tout ce que nous savons ou ne savons pas du mouvement du point mobile antérieur à cet instant initial. Nous ferons la même hypothèse de mesurabilité et nos hypothèses sur W ne se distinguerons pas de nos hypothèses dans le $ 1 Chapitre 2. En outre nous ferons sur les P (E, 6, f) les deux hypothèses.
1. Ils existent trois nombres positifs T;, a, « tels qu’on ait quel que soit E
P.(E,16,T,) < 1 «a si mes (6) < x
IL P (E, 6, ?) est continue si { => T, par rapport à f. Cette fonction P (E, 6, f) satisfera aux équations
(1) P (E, a1+9= [re 8, f)P(E, dÆ,, 1) W
Elle sera en outre complètement additive par rapport à &. De l’hypothése I et de (1) résulte que
PE, 6 << 1—Aa Si mes (Oo) = mette Ty.
Nous allons étudier le mouvement sous les hypothèses ci-dessus.
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Remarques historiques. L'équation (1) s'appelle équation de Smozucrovsky. Elle a été considérée pour la première fois par ce physicien dans la théorie de la diffusion. Dans l'hypothèse d’une densité de probabilité p (E, F, f), elle s'écrit comme suit
(1°) PER t+9= [ PE G.0p Gr 946
WW
el p (E, G, #)dG.
M. B. Hosnisky a démontré que si p (E, G, à) est continue, bornée et positive alors lim .p (E, G, t) existe et est indépendante de E. MM. t—> ©
KkyLorr et BoGoLIouBorr ont étudié aussi l'équation (1°) sous l'hypothèse que p (E, G, #), soit continue par rapport aux trois variables et bornée pourt>>0. En se fondant sur des théorèmes de M. FRéCHET ils ont obtenu des résultats qui en tenant compte de nos résultats et de nos notations peuvent être résumés en disant qu’à l’intérieur des ensembles finals on est pour les p (E, G, ?) dans le cas régulier. (Au lieu d'ensembles finals MM. Kkryiorr et Bogoziousorr parlent d’ensembles ergodiques). Ce résultat sera étendu dans ce $ dans nos hypothèses.
Etude des propriétés asymptotiques des P (E, &, t}.
Envisageons les P (E, 6, n s) en fonction de ns. P (E, &, ns) satisfait aux conditions du $ 1 du Chapitre Il et est par conséquent asymptotiquement périodique avec une période D, qui d’après les résultats du Chapitre Il est bornée quel que soit s. De l'équation (1) résulte alors en prenant: — ns, s fixe, que P (E, 6, #) est asymptotiquement périodique avec la période s D.
(2) P(E,6,t+sD,n) —-P(E 89 0 sit uniformément par rapport à E, 6, f et ». Or nous pouvons prendre s arbitrairement petit, P (E, &,f) admet donc des périodes asymptotiques
es : À 1 arbitrairement petites. Si nous prenons $s — mr = 14... 101
rifie Sans peine que (2) a lieu aussi uniformèment par rapport à m. Il s’en suit que-quelque petit que soit le nombre : > O0 — on a 2 nombres t,W (0 << Tr << 1 Lc) tels que
P(E,8,{+7)> lim sup P (E, 8, D —s t —> ©
P(E,8,t+%)< lim int P(E, 8,1) +s t—> ©
SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 107
où0O<e<Ke *‘(Ketx-0 indépendants de tr). En vertu de la continuité pour { > T,,il en résulte que P (E, &, f) tend vers une limite. P (E, 6,) = Pr [E, 8].
I! n'existe pas de sous-ensembles cycliques.
Soient G; ... G, .. G; les ensembles finals pour P (E, &, n) Pr[E, G] la limite de P (E, G, n).Pr[E, @] étant la limite de P(E, 6, n) pour ñ —> © est de la forme
Pr[E, 8]= >. Pr[E, G,]P, (8).
Désignons par G, l’ensemble des points E où Pr[E, G,] A, qui comprend G, constitue une sorte de fermeture (non topologique) de Gr nous l’appellerons ensemble final pour P (E, 6,f). A l'intérieur
de G,, P (E, 6, ?) tend vers une limite P, (8) indépendante de E (e G,).
Mais cette limite est nulle si 8 <G, G, qui peut être de mesure non nulle.
PILE, G,] étant la limite de P (E, CG; t) satisfait à l'équation
PrlE, G,] Æ [ Pr{F,G;] PE deb),
1 W Comme Pr[F,G,]< 1 siFeG,, il résulte qu'on a P(E.W—G,h—0 siE:G,
On a visiblement Pr[E,G,]=PrIE, G, |. on peut donc aussi
écrire PAIE Ge APT IE CG TP>(6)
où P, (8) est complètement additive, = 0, mais n’est plus nécessairement = O0 pour tout ensemble G, de mesure positive. [Si P (E, &, t) est continue pour { =0, ou peut définir les ensembles finals G d’une façon identique au Chapitre II et dans ce cas on a P, (6) = 0 pour tout ensemble < G, de mesure positive].
La fonction d’emsemble P, (8) limite de P (E, 6,t) si E:G, sera donnée comme on voit sans dificulté par le système
| NOR [ P (F,6,f) P,, (d ;) à G
où { est quelconque. La solution P, (6) de ce système est unique, comme
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on voit par la démonstration que nous avons employée dans le cas d’une suite discrète d'épreuves.
Les Pr[E, G,] satisieront comme nous savons à
PrLE = f Pr[F,G,]P(E, de, t) W
et seront déterminées par les conditions évidentes Int AN SC A SEC, PrÉ Gen Si EsG, (Ba).
L'’unicité se démontre comme dans le cas fini.
Nous voyons que le mouvement régi par l'équation de SmoLu- CHOWSKI Sous nos hypothèses se distingue du mouvement dans le cas d’une suite discrète d'épreuves avec les hypothèses du $ 1 Chapitre 2 par la non-existence de sous-ensembles cycliques et du mouvement circulaire entre ces sous-ensembles. Ceci est évidemment dû à l’hypothèse de continuité des probabilités par rapport au temps. Il résulte que si nous considérons une distribution P(° (E, &) quelconque, elle ne pourra en général être interprétée comme obtenue comme section d’une solution P (E, 6, f) continue de l’équation de Smozucaowski pour { constant. Il faudra pour cela plusieurs conditions dont nous venons de trouver une assez importante mais non suffisante. Nous nous proposons de revenir plus tard sur cette question.
De l'équation (1) et de P (E, 6, > Pr {[E, 6] exponentiellement par rapport à {, normalement par rapport à E et 6, résulte que
kP:E:6 = Pres aveciis = 0,
Nous avons suppose jusqu'ici que P (E, 6, t) soit continue en t pour { > T, supposons maintenant que P (E, 6, #) soit aussi intégrable en { pour { > 014). Alors l'intégrale suivante existe
S (E, 8) = {P(E, 6,1) —Prl[E,8]}dt
et sera bornée quel que soient E et &. On aura
SE NO Si nous posons t (Eee + [ P(E,.6, 0) dt ” 0 Il (E, 6, t) = IT (E, 68) — Prib/e6l SIT = CSS F Jim UT CE, 8, 9 — ME, 8)1=S (E, 6).
4) Cette hypothèse sera conservée dans ce qui suit.
SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT, TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 109
Dans le ,cas du battage des cartes généralisé“ c’est à dire si l’on a pour au moins un et alors pour tout #
[ P'(E;'6, f) dE —='mes (6) NN mes (& G,)
alors mes(W—E£G)—0 et P,(8)— mes(G,) ‘
$ 2. — Les variables aléatoires attachées au mouvement. Introduction
Supposons qu’on se donne de nouveau une fonction de points x(E) bornée et mesurable sur W. Alors considérons une variable aléatoire égale à x (E) si à l'instant f le point mobile parti de F se trouve en E. Désignons par T.(f) la position aléatoire du point mobile parti de F (à l'instant 0) à l'instant {. Nous avons donc à étudier d’abord les fonctionnelles x [T,; (#)] et après les fonctionnelles
L x [T(#)] dt Re
qui généralisent ici les S®. Les auteurs qui s’occupaient jusqu'à maintenant de telles intégrales n'avaient en général pas pensé nécessaire de démontrer l'existence de ces intégrales sous leurs hypothèses.
Nous croyons pour notre part indispensable de montrer cette existence, avant de faire d’autres énoncés sur les propriétés asymptotiques de cette expression. Nous serons obligés pour montrer que x [T, (#)] est Riemanx-intégrable de faire des hypothèses assez restrictives sur X(E) et d’ajouter encore une hypothèse supplémentaire pour les P(E, 6, #).
Nous supposerons donc :
