Si S,(e) désigne une hypersphère de rayon p autour de Ë

alors quel que soit p, uniformément par rapport à E PE, SG) D —= | Si b 0:

Nous allons commencer par démontrer que x[T,(#)] vérifie pour chaque f une même condition locale de HôLper généralisée (en dehors de cas de probabilté nulle). En termes précis:

Lemme. Pour chaque t déterminé et quel que soit F, il y a un tel que pour tout + (0 <T<È) on ait

RTC + 0) — x (TE NI << 2 0)

110 W. DOEBLIN

Nous utilisons dans l'énoncé ci-dessus la notion de probabilité pour qu’une fonction aléatoire satisfasse à une certaine inégalité pour toute valeur de l'argument dans un certain intervalle. Nous n'avons pas encore défini cette probabilité, nous accepterons la définition de M. KHINTCHINE.

Soit x une fonction aléatoire du temps , Soit S un ensemble arbitraire fini d’instants appartenant tous à l’ensemble T, < £ < T, et Ws la probabilité pour que | x | = X (f) soit satisfaite en au moins un de ces instants. Comme probabilité pour que l'inégalité | x | Z X (ft) soit satisfaite au moins une fois dans l'intervalle T, { T, nous définissons la borne supérieure W de W, pour tous les choix possibles du système S. Si nous désignons d'autre part par W. la probabilité pour que pour tous les instants de S l'inégalité inverse | x | X (f) soit valable et si nous interprétons la borne inférieure W de W, comme probabilité pour qu’on ait pour tout { de T, <f< T, cette inégalité, alors la condition nécessaire W —- W — 1 est satisfaite“. |

Cette définition nous suffira amplement pour nos buts, l’usage principal que nous ferons du lemme étant la démonstration de l’existence de l’intégrale de x [T, (#)] et dans la définition de cette intégrale de RiEmanN n’interviennent que des ensembles finis d’instants.

Ceci posé, il suffit évidemment de démontrer que X![T;(r)]- x(F),; satisfait à une condition généralisée locale de Hôzner. Les positions du point mobile étant liées en chaîne simple, et la fonction x (E) étant supposée uniformément continue, il suffira même de démontrer que la distance | T.(:) — F | satisfait à une condition locale de HôLper. Pour

ce dernier but, observons qu'il existe une suite d’instants #, >> 0 CR

et une suite de grandeurs positives décroissantes 1, 82,...en, en —> 0 telles que la probabilité pour que

ITRG)—F|> e,

les intervalles de temps £, — Be

soit mL De plus t, —>0, à, pe Por

tendant vers zéro, nous pouvons trouver une autré suite décroissante de

grandeurs positives e. (—> 0) telles que, pour tout = (GE, Sret,)la

probabilité pour que MT CA NN CNET soit = LS Considérons la suite e, + e. = 6,:0Onas >, > 10

Soit #’(r)la fonction continue décroissante définie dans l'intervalle

__ SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 111

0, { égale à :, , pour r — f, et linéaire dans l'intervalle ENT UE Ce dis que Pré TRE | pt) 1 LS ee

si T——0. Pr [A] étant la probabilité pour qu’on ait À pour tout DRE

LAC CON VE ee Pour cela soit Y, la borne supérieure de | T.(f)--F)|dans l’intervalle {,,, <t<1,. Nous avons

PRESSE PONNR EG) = Rx} ee En effet, envisageons un ensemble S quelconque d’instants Ex ge 4 AVEC" En LE DRE NL Ye AS D yS le maximum de

| Tr ()—F | pour le système S considéré. Nous avons évidemment

Pr Trt)—F | >e) S Pr[YO Se] DpiPri | Tr) —Tr(és) | sr}

où p, désigne la probabilité pour que, pour la première fois dans la suite des | Tr ()—Fl, on ait|Tr (ti) — F|> °c, sous l’hypothèse que VO.

On aÿ'p;—1 CPL AN FE) TES Fe donc / 1 Pr{l Ter) —F | >eÿ>s Pr > en}.

En prenant la borne supérieure des Pr Ho > 5, } pour tous les choix possibles de l’ensemble fini S

Pr cu PE Tu) El").

SéonanVeee om Te 0) FL,» (0 dans itqut l'intervalle £, , ,, {,. Pour démontrer qu'on a | T: ()—-F | <é’(€) dans tout l'intervalle 0, { avec une probabilité tendant vers 1, il suffit de montrer qu'avec probabilité 1, seulement un nombre fini des événements Y, sont réalisés, ou encore (d’après le lemme de Cantelli) que

LE Pr{Y,=—e,} converge; or

> Pr ar 7 En} <2 2Pr{l TG Fi>s)<2) 5

n=2 ce qui démontre le lemme.

Nous allons en déduire le Théorème. Sous nous hypothèses x [T.(t)] est en dehors de cas

de probabilité nulle, Riemann-intégrable par rapport à t.

112 W. DOEBLIN

Envisageons une division D de l'intervalle T;, T, par une suite d’instants T, É <éunret ST O EEE CR RE oùt,—T, t,,,—=T,. A cette division nous allons faire correspondre la somme

n+1 D TOI, ee) = Soit X(T, (f)) la borne supérieure des valeurs de x (T; (£)) dans l'intervalle (#,.,,t;) et x[T.(f,)] la borne inférieure de x[T: (t)] dans le même intervalle. On a évidemment n+] n+1 n+l

Six MG, )> D x CT HD, XIT:()IG,—t;;)

b—] ET | ou encore en désignant les trois Sommes qui interviennent dans cette formule par J,, 35, Ji on aura

(er

SAS De pe

1Ct

Si nous considérons des divisions succesives D, D,, D,, ... chaque division étant emboitée dans la précédente, c’est à dire la division D, contenant tous les instants de divisions de D, ,ona

C4) er

p > Jp, >: = Jp en, bn PP re

Les grandeurs 2 étant décroissantes et bornées inférieurement et les D, étant croissantes et bornées supérieurement tendent vers des limites 3 et 3 (dépendant à priori de notre suite de divisions).

SOIF, LE etes cie <T, la division D, , Ôn, le maximum det, = Me Pour la division D. Je dis que si la suite de divisions est telle

que %,, tend vers zéro, alors en dehors de cas de probabilité nulle, 3

et J sont égales. En effet envisageons la quantité positive np +1 se = k k G 3 Rest RTC ESC CEE ER SES LE

Comme in, tend vers zéro, en vertu du lemme, la probabilité pour que X (ER) X[Tr (4) > e tend vers zéro et est inférieure à np, alors

l'espérance mathématique de J5, — À, est Es 1 ng +1

<2M1 CD) D G—t)+2e (TE T)=2(T, AT) CMS)

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT.TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 113

La probabilité pour que ue 35, > v tendant vers zéro avec à, quel que soit & => 0 (théorème de Tchebycheff) il suit que 355) en dehors de cas de probabilite nulle. Il suit que pour cette suite de divi-

sion considérée, en dehors de cas de probabilité nulle, la limite ng+1

M "7 D (ee Pole

existe. Si maintenant nous considérons deux suites de divisions emboitées D, et D'...quelconques pour lesquelles le maximum des intervalles Ün,

et dn!, tend vers zéro, en formant la suite D”, la division D* contenant

tous les instants de divisions de D, et de D’, et en comparant les

limites de Jp, de Jp, et de Jp,» on voit Sans peine que cette limite ne

dépend pas de la façon dont nous faisons tendre les intervalles vers zéro. Il en résulte que x [T, (f)] est Riemann-intégrable C. q. f. d.

Dans ce qui va suivre nous allons utiliser le lemme bien connu. Lemme. Si une variable aléatoire y, bornée tend si n —> © vers une autre variable aléatoire y bornée, alors quel que soit i >0 7 Er = i i nl ue bel TE 9 [lim Ya] Fe [y É

Plaçons nous dans les hypothèses dans lesquelles nous avons démontré que

lim Se TP TO = [mon

nn —>® j—1] #0

[ti = “2 f] existe stochastiquement. L’espérance mathématique de

t { D. IT, (O1 > est LV, x IT, (IX et OR [x (Te

étant une fonction continue du temps:

Comme les x (F) sont bornées, on en deduit en vertu du lemme t

on | [ x [Te (dt | = [tons

27 0 COIMnES maintenant

lim 9 LS + SAC) to == Aie.

He :00

114 W. DOEBLIN

On a

n 2 nl 2 NT | D CT # = an [x (TOP x i=1 i=1

n—1 ss 229 dE Ler ETAODS x [Te Cp] £] i=1 Le

M {x ER ({)1}2 étant bornée, le premier terme du second membre tend

vers 0 avec = Envisageons le second. Nous pouvons écrire 1 < t on | x Wen Le x [Tg (£))] = = OCDE pal # ne

or | 5 x [T ()] 1 P(E, d,, t) ji et

n—i AE 9 | De Te CL) a] œe [ Or {x [TR dt 40)

où x — lim mi Nous pouvons donc écrire en désignant par A une quan-

tité variable tendant vers 0 avec +

E) æ | [rotl-f A EXxIT, (0) dt + A

(EE) [xw!f LC (| Put 1) Ni 0

ta | | x(F)! P(E,d %., t)

et W

ñ 2 O)re D XIT& QE | tendra vers

tn t—T À 2| af x (F) | M, x MAI ae P(E; d'Æiic,).