Cas non oscillant. Dans ce cas D —> P;, donc

Se Ep. to ri >)

n=] SiE,:G,etE, s G,, nous sommes ramenés au cas 1), car à l’intérieur des groupes finals nous sommes dans le cas positivement regulier; si E,< G, et E, « G,, S,, — 0, car tous les PŸ sont nuls. Nous pou-

vons donc calculer les S,, si E, z G, par les systèmes

| Sy = (Pi —P,)= D S;; P;k É; G, ; | D, Su 20. si Exec CG.

et 5 D — 1) . si Ê; Ë (.

Pour déterminer les autres S;, remarquons qu’on a les équations r (S:) Su — (px Pt) = 2 PuSn G=1:..,r) qu’on obtient en passant à la limite dans n+1

2 (Pa — Pa 2 Pi D PP

= Nous allons déterminer les S,, comme solutions du système ÿ se réduisant aux S,, calculés directement plus haut lorsque E, : G,. Je dis

que cette solution est unique. En effet s’il y avait pour un k deux systèmes de solutions de S; satisfaisant à la condition ci-dessus, soient S; et S”

la différence S; — S — y; satisfera à,

' Pie pe V; J=1 et sera nulle pour E, e È G,. Les 2 satisferont aussi à

= Dei y, V; > >» P; V; J=1

et comme P;;, —0 siE.<2G,, et y; =0 siE,eËG,, y, —0.C.q.f.d.

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 11

3. Cas singulier à l'intérieur d’un groupe final. Nous aurons plusieurs sous-groupes cycliques 1,...,d (d >> 1), et entre ces sousgroupes nous aurons le mouvement circulaire bien connu. SA —>P; si

E; ceetE,ee, n—=e — e (mod d), BÉE —0 si 1==e’- e (mod d). Supposons d'abord que E, « d et E, © e, alors Lol => P,sin= e (mod d),P A sin==e GES d).S,; s’écrira

pr)

Alors de (ad +e+d), Le (nd +e) (d) pÉirern ep 2(P% 9 p,)Pé et de

(nd + e) ere 2.(PS NA

on déduit que les S;; satisfont au système

—P}—PJ=LS,P® (Essé) Egee Meta 8-2 E; ée J

et l’on montre comme au numéro 1) que la solution de ce système est unique. Envisageons maintenant les états E, « e et E,:e’. Soit plenombre d’épreuves séparant e’ de e (p—e —e sie >e, — d—(e—e') sie <e) on verra par un passage à la limite analogue à celui qui a donné le système ci-dessus que les S;, sont les solutions uniques du système

| s, PP) À s,P®

Ex te’

Il ne sera point nécessaire de calculer directement par les formules ci-dessus tous les S,. Il suffira de résoudre les systèmes correspondant

aux E;e d et E,s d. En effet supposons que nous ayons résolu ces systèmes. Si alors E, d et E,e e< d, on aura (n=>"T)

(nd — e) Le d—e (n—1)d Pi = P; is er (P, HE: p;) donc LR

Sa = (Pr "Pa + À PES j €

formule qui exprime les S,, pour E,se et E,<d par les S,, (E,e d'et E, cd).

12 < W. DOEBLIN

Si maintenant E; € e et E,e e,, nous devons distinguer deux cas. a) e, — e. Nous avons alors

Le)

Sx =. } (Pi "Re pa

n=0 etsin>1

(nd + e;—e Ed nd—e Fu (e:) péter pe (PEt eu P)) PÉ E; ed

d'où l’on conclut que

Six Fe Dr à RS. cu 3 S; De E; ed b)e “e.Ona

(Po &—e) P,)

et (nd+e; —e) __ (ad—e) (es) piteo = À (ét )PÉ E; td donc — (e:) + 2 S Px - E; ed

Nous avons exprimé tous les S;; par les S,, avec E,ed et E,c d.

4. Cas singulier général. Nous avons plusieurs groupes finals à l’intérieur desquels on ne se trouve pas forcément dans les cas positivement réguliers. Les numéros précédents nous mettent en mesure de calculer les S;, lorsque E, appartient à un groupe final. Calculons d’abord ces S,,

et désignons les par S,,. Alors dans le cas général nous avons

P EL) Prt+ 1) [ä, î] Ex à b. Er __ pr [k, j))

Comme

S, =>, (Pre Pr) Î

(S;) 2 | Sy Cry — P PES LE, j)) . Pi Se

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 13

je dis que la solution de ce système, se réduisant à S,, lorsque E;« G, est unique. En effet la différence y, de deux solutions > HSerait à

Ga nes Ka

et serait nulle pour E,sÈG,. En itérant l'équation ci-dessus, il vient

et .

= Dpt uy, k=1 y, étant nulle si E,s2G, et Pr® [5, k] étant nulsi E, e 2G,, y, —=0. CAL Lt 5. Il nous sera utile pour la suite d'établir une formule généralisant

une formule de M. FRÉCHET pour le cas non-oscillant. Procédons comme M. FRécHET. Ecrivons

= 2 (PS PrÔ li )

multiplions ces équations pour i— 1. ., par Pr®le,i] et sommons, il vient

D Pr [e, il =) Dre [e, il (P (PO — PrOi, j1)

D else leu

c’est à dire

" Dr ets =Un i=1 ce qui était la formule que nous voulions obtenir. Dans le cas régulier elle s'écrit d Y PiSy — 0 =]

dans le cas non-oscillant

DS 0 > (21 Oieeri F

14 W. DOEBLIN

ce qui est équivalent aux formules

E ; Ga

Dans le cas singulier à l’intérieur d’un groupe final, nous avons les d formules a: | = LS F3

On a de même