DA„ DX, DAX, DA»X

Il est à remarquer que A| est un polynônne du premier degré, X un polynôme du second degré en a.

Quand on aura ainsi trouvé Ao» A^ X en fonction de a, a?,, x^^ x^, on y fera a = o, et Ton aura les valeurs cherchées de A©» A,, X en fonction de a?,» x^^ x^.

QDATBiftMB CAS.

A(î = Ae = A»9 = o, A»9>o.

Dans ce cas, posant encore

U = A((3 -f- ay)»-f- A,A(P -4- ay)»-f- A, A(P -h «y) - A(X0) = o,

on calculera les coefficients de Â|, Â^, X à l'aide des équations U ^ o et de celles qu'on en tire par diflerentiations successives. L'équation

-T- DU = o donnera DA,,

dCL

:^DAU = o » DA„

DA'U=:o » D).,

DA«U = o » DAX,

et* faisant ensuite 0^ = 09 on aura les valeurs cherchées de Âo» A|, A^, /.

Équations linéaires à termes constants.

Soit à trouver une intégrale de l'équation

où Xo X2, . . ., X;^9 Z sont holomorphes en z^x^^ X2 ^n*

Cette intégrale étant assujettie à se réduire à

quand

cela revient à chercher une intégrale 9 de l'équation

qui se réduise à z — /3 quand ô = o, ce qui se fait comme on vient de le voir.

Si cette intégrale 9 s'exprime par une fonction algébroîde de z et des x^

9*-f- AiÇ-h A# = o,

Ao = o est l'équation qui nous donne l'expression implicite de zen fonction des x.

La condition pour que le théorème IV soit applicable pour que z, par exemple» soit algébroïde de degré m, c'est que le coefficient de z'" dans Ao» coefficient que l'on calcule comme on vient de le voir, ne soit pas nuL

Équations non linéaires.

Soit à trouver une intégrale de

qui se réduise à |3 quand d = o, on calculera les fonctions g)^, wa, . . . , «;,, auxquelles/?, , p^t . . . , pn doivent se réduire quand ô = o ; puis on cherchera, par les procédés que je viens d'exposer, n-+- 1 intégrales de

qui se réduisent respectivement à

« — P, />, — «„ Pi -—M», . . . , /?H — 0)«

quand

On obtiendra ainsi m fonctions 91, (p^f ..., (pn^^t qui seront données par des équations de la forme

<pr+ A^-icpT*"' + ...-+- A,<p/ -h A, = o,

OÙ les termes Ao se réduiront respectivement à

qui seront des fonctions holomorphes par rapport à z, aux x et aux p. Les équations

H| = Ha = . . . =: H„ = Hn-Hi = o

renfermeront l'expression implicite de l'intégrale.

GINQUlftMB CAS.

Les G) ne restent pas finis, mais restent déterminés quand les x s'an nulent.

Si lUntégrale est assujettie a se réduire à ]3 quand = o, les (ù nous seront donnés par les équations

rf3 . de

(20) \ rt^i dxt

OÙ a)|» 0)2, . . .» a)|, sont les inconnues cherchées, X un paramètre à éliminer et Ff ce que devient F quand on y remplace z par |3 et pt,

P2f "'f Pn par «M ^2» •••» w„.

Si, dans les équations (20), on fait ces équations deviennent algébriques; elles donnent donc toujours

GJi (ùt (un I

A| Aj An Ait-f.|

A|, Azf •••• A„, A„^, étant des fonctions algébriques des coefficients de Fi, de |3 et de 0, qui restent finies quand ces coefficients restent eux-mêmes finis.

Si

Vi» 72» • • •• 7«» c'est-à-dire les valeurs que prennent Wi, co,, .•.,«/! pour 07, 2 â^s =: . . . :^ â?„ =:r o, sout fiuis et déterminés. Cest ce que nous avons toujours supposé jusqu'ici.

Si, au contraire,

les 7 ne restent pas finis; supposons que Ton n'ait pas à la fois

A| ^ A 2 ^^ . 1 . ^^ An = Aa4-i ^^^ 05

soit, par exemple,

On changera de variables, et, au lieu de considérer z comme fonction de x^9 œ2f . . M ^nt on considérera x^ comme fonction de z^ x^^ ...tX„. Soient 9i, ^29 •« •» 9» les dérivées de x^ par rapport k z, Xi^ . . ., x„; soient c*/^, a)^» • • •» («>'/, les valeurs que prennent ces dérivées quand on fait 9 = 0; soit Fa ce que devient F, quand on y remplace w, , wj, . • ., «„

par -7-» ^,S 7» ••-> r> puisqu'on rend la fonction ainsi

obtenue entière en la multipliant par une puissance convenable deoi>', . v)'^, CO2, ..., c*)'^ seront donnés par les équations

F, = o, y d^ de .

d? ^ d^ , ^. dG ,

//p d^ , . do , (/Xi dxx * dxx * '

r/3 rf3 , ^ dd ,

ou

«l'où

I — Wj — 6)3 — 0)^ 6),

Al Aa Aa kn A,H-i

a>'j, o's, ..., ^ji\ restent donc finis et déterminés quand

X\ • — «* j — • • • ■■ ' Xn — O*

il en résulte que Ton est ramené aux cas déjà étudiés, et que Ton peut

obtenir l'expression implicite de l'intégrale en égalant à zéro n + i fonctions holomorphes en Zy Xfy Jîj, . .., a?„, q^ — y\, y,— y'j, ..., ?«" V«» 7,, 72, ..., 7„ étant ce que deviennent (ù\, «j, ..., w', pour

C'est une propriété analogue au théorème IIL Exemple. — Soit l'équation

et supposons qu'on veuille étudier l'intégrale de cette équation, qui est assujettie à se réduire à

quand on y fait

Xi t — Xi -f" ^ { •

S) I et (02 sont donnés par les équations

ûjj — û)J r= r, tï H- 2ari = (»i + Wa(i + 2j:,);

on en tirerait deux valeurs de (ù^ et deux valeurs de 03 en fonctions de â7|, et il est aisé de voir que, quand a:, s'annule, Tune des valeurs de Oi et l'une des valeurs de oa^ deviennent infinies.

Considérons alors d?, comme fonction de x, et de z.

Soit

d'où

dxj

«' dx:

dxi

Pi — -^

L'équation donnée devient

et il s'agit d'étudier l'intégrale de cette équation, qui se réduit à Xi + a?î quand on fait 2 = jc< -h 2x\ ; (ù\ et «^ sont alors donnés par

w? — w'î* = 1 1, 1 4- 2 JTi = w', -h ft)', ( a -I- 20:, ),

qui,

pour

se

réduisent

<roù

rfF

dqx

-'' dq.

dx^ dz

Pour a?, = o, il vient

dB dz

€t enfin

dqx

rfF dÇi

dx,

rfF rf0

rfF rf9

Donc la condition (9), qui se réduit ici à

rfF rf^ rfF rf9>

rfjf, rfXi l/j, rf2 ^ '

e8t remplie.

Donc X2 est fonclion holomorphe de a*^ et de z. Soient

les premiers termes de la série qui représente cette fonction, çr^ est nul; q^ est égal à i, comme on Ta déjà vu; quanta r,, s^^ /,, nous les obtiendrons de la manière suivante. DifTérentions

par rapport k x eiSL z^ puis faisons x = z = o; il viendra

(22) ?ir,— g,5, = 0, J.J,— Ji/, =rO.

Faisons maintenant dans (21)

(56) et égalons les coefficients de x]; nous aurons

(23) I = -î. -f- îi5,+ a/,-f-7,,

mais, SI nous remarquons que, pour Xt=p, 9i=i, ?2 = o, nous verron3 que les équations (22) et (â3) se réduisent à

Donc tt n*estpasnul; donc, en vertu du lemme III, z est algébroïde de degré 2 en a;, et en X2.

Interprétation géométrique. — A quoi correspond géométriquement le cas que nous venons d'examiner quand on n'a que trois variables â?|, X2 et z et que, par conséquent, toute expression de z est fonction de a?, et de a?,?

Il est aisé de voir, en se reportant à ce qui a été dit à ce sujet à propos des cas précédents et reprenant les mêmes notations^ que le plan tangent P, mené par la droite T au cône G, est alors parallèle à l'axe des z; mais, comme il ne peut être en même temps parallèle aux troisaxes.de coordonnées, on peut toujours employer un artifice, qui consiste k étudier la surface S, non plus comme définie par une équation où z est égalé à une fonction de x^ et de a;,, mais comme définie par une équation où X2, par exemple, est égalé à une fonction de x^ et de z. Comme le plan P n'est plus alors parallèle à l'axe des x^y là difficulté a disparu. Tel est le sens géométrique de l'artifice analytique qui vient de nous permettre de tourner la difficulté.

SIXifeMB CAS.

a)|, 0)2, . . . , Gi)„ ne restent pas déterminés quand C'est ce qui arrive quand

Al ^^ Aj ^^ • • f = An =^ An^i ^^^^^ O

et que, par conséquent, les équations

dl , dQ aor, dxx

/ /^ i d? . dO

d^ . de

dXn dXn

ne restent pas distinctes quand on y annule les a?.

Soit 7i» 72' •••» 7/1 nn système quelconque de valeurs qui, substitué

à la place de '/),, coj ci),^ dans les équations (24)f y satisfont quand

les 07 s'annulent.

Supposons qu'on veuille étudier un élément de la fonction z tel que or,, 0*2, ..., or„ soient suffisamment voisins de zéro et que/?<,/?2. - ^Pn

soient suffisamment voisins de 7,, 70 7,,; par exemple, supposons

que l'on se trouve dans le cas de deux variables et que

soit considéré comme représentant une surface. Puisque p^ et p^ ne sont pas déterminés quand

la surface présente un point conique à l'origine, et Ton se propose d'étudier, non pas toute la partie de la surface qui est suffisamment voisine du point conique, mais la partie de cette surface qui est limitée par deux courbes se croisant à l'origine.

]l est clair que l'on obtiendra l'intégrale cherchée en égalant a zéro n intégrales de l'équation

^ ' ^\dxi ^ dz j dpi Lddpi\dxi '^ dz /

(58) qui se réduisent respectivement à

( rfp\ de ^( d^\

. ^. I / d^\d9 de f r/p\

quand on a

Les expressions (a6) sont holomorphes ena?4,â?2, . .., Xn% z^ p^ —7m

/^a 7^' • • • f Pn Vil»

Donc les n intégrales de Téquation (25) sont algébroîdes par rapport aux mêmes variables. Si ces intégrales sont 9,» 92, ••.»?/tf les équations

sont équivalentes à n équations

(27) H| = Hj =:... = H» = 0,

oïl les H sont holomorphes en a;,, â?2i - .., a:„, z^pt — 71» />j — 72» .. ., Les équations (27), jointes à Téquation proposée

fournissent l'expression implicite de l'intégrale cherchée z et de ses

dérivées du premier ordre /7«,/>2. ... »/'a en fonction de a?«,a:2f ...« ^n» c'est-à-dire que le théorème III est toujours applicable.