PREMIÈRE SECTION

L*équalion proposée est de la forme

oi] X|, X3, . . . , X^ sont des fonctions holomorphes en ^i, j?^, . . . , ir„, exprimables par des séries dont les termes de degré zéro sont nuls et dont les termes du premier degré se réduisent respectivement à

/|X|y r^i^if • • • f f^n'^n»

Hypothèse I. — Si Ton représente les parties réelles et imaginaires de X|, Xo, . . . , X„ par les coordonnées de n points, dans un plan, ces n points sont tous d'un même côté d*une certaine droite passant par l'origine, ou, ce qui revient au même, le polygone convexe à l'intérieur duquel se trouvent les points X|, X,, ..., X„ ne contient pas Torigine.

Hypothèse IL — Les quantités X,, Xj, ..., X„ ne satisfont à aucune relation de la forme

/WjXa + /773X3 4- . . , -H ITltJkn =■ X|

oîi m,, m,, . . . , nin sont des nombres entiers positifs.

Théorème I. — Si ces hypothèses sont satisfaites, le module de l'expression

1 nti — I

est toujours plus grand qu'un certain nombre positif K, quand on donne aux mi des valeurs entières et positii^es, mais d'ailleurs quelconques.

En effet :

I" Cette expression n'est jamais nulle, car, pour qu'elle le fût, il

faudrait que Ton eût

Or, toutes les fois que m, >o, le point dont les coordonnées sont les parties réelles et imaginaires de

2 niiX — X,

esta l'intérieur du polygone convexe qui enveloppe tous les points X,; or ce polygone n'enveloppe pas l'origine.

Si au contraire /ni = o, on n'aura pas non plus

/WaXj -t- /W3X3 -I- . . . -+- /77||X„ — X, =: O,

en vertu de l'hypothèse II.

Donc

2^ Cette expression ne tend pas vers zéro quand les m tendent vers l'infini d'une manière quelconque, mais en restant entiers positifs.

En effet, supposons que m^^ m^* ..., mn tendent vers l'infini, de manière que

lim — = — .

OÙ les «1 et ai sont des quantités finies, déterminées, positives et d'ailleurs quelconques.

On aura

2/W/X,- — I 2a/Xj

lim

2 /Wf — i 2 a,-

Or J^' ' est représenté par le centre de gravité de n masses égales respectivement a «i, a^, ..., a^ et placées aux points X|, X2, ...« X„.

( 6i ) Ce centre de gravité est à rintérieup du polygone circonscrit aux points X, , Xa» • • • » ^fl- Donc

Zoii ^ C. Q. F. 0.

Donc on peut choisir un nombre positif K tel que

mod — r^ > K.

2/ÏÎ4 — j c. Q F. u.

Théorème II. — // existe une infinité de fonctions holomorpfies qui satisfont à l'équation

i=rt

OÙ s = a?, -h ^2 -i- . . . -h ^rt.

En effet, faisons dans l'équation (2)

il vient

et Ton voit aisément que Téquation est satisfaite. Soit maintenant

où H = /iM4-a, d'où

^'^' = [s -('nV-f .)«■]"

il viendra

et, par conséquent, le premier membre de l'équation (a) s'écrira

fm{l^.-^) =/(S) iH^H+iO? = ,

Donc la fonction/(S), qui est une fonction holomorpbe, satisfait également à l'équation donnée.

11 en sera de même des fonctions

(3) K,/(S) -h Ki{x^ — Xt) -f- K8(a:, — a:,) -f-. . .•4-K,(j:, - .r»),

OÙ K|, Ks, . . . , K;, sont des constantes quelconques.

Corollaire I. — Parmi ces/onctions, il y en a une qui est représentée par une série dont les termes du premier degré se réduisent à x^ .

En effet, /(S) est représenté par une série dont le premier terme est S.

Si donc on fait dans l'expression (3)

K 1 = — > K} =:= Ks :=i . . . = Kjh = %

cette expression devient une série que nous appellerons f (a?), et dont les termes du premier degré se réduisent à x^.

Corollaire IL — Si M et a sont réels positifs, H et — n — seront réels positifs, et tous les coefficients de la série (f{x) sont réels et positifs.

Théorème III. — Si les hypothèses I et II sont satisfaites^ V équation ( i ) admet une intégrale holomorphe, et une seule, dont les termes du premier degré se réduisent à x^.

1^ Il existe une série, et une seule* qui satisfait formellement k l'équation (i) et dont les termes du premier degré se réduisent à a?,.

En effet, si une pareille série existe, on obtiendra le coefficient du terme en

en diff'érentiant Téquation (i) m, fois par rapport à o^i, •.., mn fois par rapport à cç„, et en égalant les x à zéro. Posons, pour abréger,

nn — ^ rL .

on aura

équation dont le second membre est une expression symbolique où Ton

convient d'effectuer la multiplication d*aprës les règles ordinaires du calcul et de remplacer après l'opération

Jl^t+V-t-*- • ■*^n\^

(X.K'(X.)?,..(X.)». par 5^^;5^;-:^

et de même pour/?^.

Donc on a

D(Xr/?r)= Xr-7 h 'w, •-^— D|2 -H m, -7— Dj-S -+-... -4- m« -1— D„z -♦- 2B.

Dans celle expression, D^U représente une dérivée partielle de U qui ne diflëre de DU que parce qu'une différenliation par rapport à â?/ a élé remplacée par une différenliation par rapport à x^j de telle façon que

dxr dx^^-^ rfjcy» dx'!^* . . . dx'S'^

Les B sont des termes formés d'un coefficient positif d*une dérivée de Xr d'ordre supérieur au premier et d'une dérivée de z d'ordre inférieur à m, -4- /7Î2 -}-•.. -h m„.

Si l'on annule les Xy X;. s'annule ainsi que ses dérivées du premier

ordre, excepté -j-S qui se réduit à X,.. On a donc

D{Xr/?r) = /n,XrD2 -f- 2B,

et Dz est donné par l'équation

2D(X./>,) = X.D« ou

(4) (m,>, -f- /iîî^4-. . .^- m,X,— X,)D2 -H 2B = o.

Si l'on connaît les dérivées d'ordre inférieur à celui de Hz^ celle équation permettra de calculer D2, puisque

m\ X| -f- nit'kx + . . . -f- /w„X„ — X| 5 o.

Donc, si l'on connaissait les dérivées du premier ordre, on pourrait calculer toutes les autres et l'on ne trouverait pour elles qu'une seule valeur.

Or les dérivées du premier ordre sont données par Téquation Sii>i,

pi=o;

si i=i, l'équation est indéterminée. On peut choisir pour/?, telle valeur que l'on veut, et, en particulier, on peut faire

Donc il existe une série satisfaisant formellement à Téquation (i), dont l^s termes du premier degré se réduisent à ^«, et il n'y en a qu'une.

a^ L'équation (2) admet également une série qui lui satisfait formellement et dont les termes du premier degré se réduisent à ^1, et elle n'en admet qu'une, car elle est de la forme (1).

Les coefficients de cette série sont donnés par les équations

(5) (m,-i- m,-i-. . .-h /Wi,— i)D3-+- 2B, = 0,

où les B, sont formés avec les dérivées partielles des coefficients des/? dans l'équation {2) comme les B avec les dérivées partielles des X.

Cette série ne peut être autre que (p{x); elle est donc convergente.

3** On peut former une équation auxiliaire qui soit de la forme (2) et qui nous aidera à démontrer la convergence de la série définie pa les équations (4).

Soit, en effet,

supposons que Ton ait toujours

mod. y ' '■ > K (R étant posîlK),

ce qui est toujours possible, d'après le théorème L

Supposons que les fonctions X|, Xs» •.., X„ restent holomorphes

quand les modules de a?i, a?2* •• t ^h restent plus petits que -(a étant

( 65 ) réel positif) et qu'en même temps les modules de ces fonctions X,,

Xa, . . . t X„ restent plus petits que -^ (M étant réel positif). Soit

L'équation

est de la forme (2); elle admet donc une intégrale holomorphe

dont les termes du premier degré se réduisent à^^ et dout on peut calculer les coeifîcients à Taide des équations (5) ou des équations

(S bis) K(m,-hma-h. . .-+- /w„— i)Dz'4- 2KB,=:o.

4^ Toutes les dérivées partielles de KX'^ d'ordre supérieur au premier sont réelles, négatives et de module supérieur k la dérivée correspondante de Xr.

5*" Les Hz' sont positifs et leurs modules sont plus grands que ceux des Dz correspondants.

En effet, supposons que cela soit vrai pour les dérivées d'ordre inférieur à celui de Dz : je dis que cela sera vrai également pour Dz.

En effet, soient B/ Tun des termes B, B,/ le terme B, correspondant :

• B/ = /iA{X.)A.(«),,

oîi A représente une dérivée d'ordre supérieur à i et A| une dérivée d'ordre inférieur à celui de Dz ; de même,

KBu=/iA(KX;)A,(2').

A|(z') est positif et de module plus grand que celui de ^i{z); A KX',.) est négatif et de module plus grand que celui de A(X;.). Donc KB|, est négatif et de module plus grand que celui de B,-.

Donc 2KB« est négatif et de module plus grand que celui de ZB.

De plus.

(66) est positif et de module plus petit que celui de

Donc

/?Î|).,H- HlîXa-f- . . .-h IH„X„— X|.

K ( /Hi -f- nu -t- . . . 4- fTln — I )

c'est-à-dire Dz' est positif et de module plus grand que celui de

c'est-à-dire de Ds.

Or la série

D2'^7«ji:7«.«.;rî-