DEUXIÈME SECTION
Des cas où l'équation proposée est de la forme
X,» X,» . • • » X;,, Z sont des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de â?i, â?,» . . • t a?^, jz» s'annulant avec ces variables et contenant des termes du premier degré par rapport aux x et^ z.
PREMIER CAS
Soit à intégrer les équations différentielles
Xi Xj
àXn
où Ton suppose les X indépendants de z et où les termes du premier degré de X,- s'écrivent
(67) Pour cela» nous envisagerons Féquation
où S est égalé à Tune des racines de Téquation
âCsi et}) "^ 9 dC]3 • • •
afin ai,.
âc«3
O^MS . . • âCm — S
Nous appellerons >,, X^, ...9X,, lesn racines de cette équation (16).
Hypothèse I. — L équation (16) n'a pas de racines multiples.
Hypothèse IL — Si Ton représente les parties réelles et imaginaires des X par les coordonnées de n points dans un plan, ces n points sont d'un même côté d'une certaine droite passant par l'origine.
Hypothèse IIL — L'un desX n'est pas égal à une fonction linéaire a coefficients positifs des autres X.
Lemme I. — Si l'hypothèse 1 est satisfaite y on peut ramener par un changement de variables V étude de l'équation ( 1 5 ) à celle d'une équation de même forme 9 mais où les termes du premier degré deX^^X^, . . . , X„ se réduisent respectivement à
c'est-à-dire à une équation de la forme (1 ). Soit, en effet, un changement linéaire de variables
X, = ^niXi 4- p^Xi + . . . -H (3i,« r».
Si le déterminant dea |3 n'est pas nul, on pourra écrire les équatiens (17) sous la forme
7i = yi.^iH-7.2J:*a +
jri=y2iX,-^ynXi-h
yn = 7*1 Xx -+- y«î:r, -h . . . -H y«,ir„.
Les équations
dxt doPt __ dr^ dz
\i A.3 Xji oZ
deviennent, après la transformation,
(la) rfr. __ dr, drn__dz
Les conditions pour que les termes du premier degré de lyu^i se réduisent à X,y, s'écrivent
yiiûf«i 4- yiïOCaj-f-. . . H- yi^ann ^ = ■* = Al,
y.« d'oïl
( «H — X, ) y,, -h a„yn H- ... -h «i«ym= o,
aiiiyiiH-airtyia-+- . . -H (ai,„ — X,)y„=o.
Ces équations, qui sont linéaires par rapport aux y^* conduisent pour ces variables à des valeurs différentes de zéro , car le déterminant auquel elles conduisent est nul, puisque X, est l'une des racines de Téqualion (i6).
La condition que les termes du premier degré de lyfdXiSe réduisent ^ XaJa permettrait de même de calculer lesy^/.
D'après un théorème connu, l'équation (i6) n'ayant pas de racines multiples, le déterminant des 7 n'est pas nul. Donc des valeurs des 7 on pourra déduire celles des ]â.
Donc ou aura pu choisir les coefficients du changement de variables (17) de telle façon que les conditions posées à l'énoncé du lemme soient satisfaites, c'est-a-^dire qu'après la transformation l'équation (i5) devienne
lyuXiÇi 4- lynXiÇ^ -*-...-+- lyniXiq„ = S* ou
(20) Y,7,-+-Y,ç,-H.. -hYngn=Sz,
OÙ
dz dz dz
et où les termes du premier degré des Y se réduisent respectivement à
^i/i> hXif •••> ^T«- c. Q. F. D.
Lemme II. — Si t hypothèse II est satisfaite pour t équation (i5), elle
l'est également pour l'équation (20), et réciproquement. Car l'équation (16), tirée de Téquation (i5), a les mêmes racines
que Téquation analogue tirée de l'équation (20).
Lemme III. — S'il existe une série y ordonnée suivant les puissances des X, qui satisfait formellement à l'équation (ï5), cette série satisfera formellement à l'équation (20) après qu'on y aura remplacé les x par leurs valeurs en fonction des y, et réciproquement.
Lemme IV. — Pour que V équation (i5) admette une intégrale holomorphe^ il faut et il suffit que V équation (30) en admette une.
Car toute fonction bolomorphe par rapport à n variables a?,, x^, . . . , â?x est également une fonction bolomorphe de n combinaisons linéaires de ces variables,
pourvu que le déterminant des 7 ne soit pas nul.
Théorème V, — Si les hypothèses I, II et III sont satisfaites pour l'équation (i5), cette équation admet une intégrale holomorphe différente de zéro.
En effet, dans ce cas, Téquation (20), qui est de la forme (1), satisfait aussi aux hypothèses I et If, c'est-à-dire aux hypothèses I et II de la Première Section. Elle a donc uoe intégrale holomorphe différente de zéro, d'après le théorème III. Donc, d'après le lemme IV, l'équation (i5j admet aussi une intégrale holomorphe.
