TROISIÈME SECTION

L'équation n'est pas linéaire.

Nous supposerons que, si l'équalion proposée s'écrit

si X,, Xj, .. ., X„. Z, P,, Pj. .. ., P„ sont les dérivées du premier ordre de F par rapporta x,, x^, . .., x„, z, p,, pt, . . ., p,„ l'équalion

( (X. + p,Z)^+(X, + ^.Z)^+... + (X, + />.Z)-^ ) ^ ' 'dp, ^ '^ 'dp, '^ 'dp.

satisfait aux conditions posées à l'énoncé du théorème V.

Nous supposerons que l'intégrale que l'on cherche se réduise k ^'(l^i» /^a»- '•> i^/i-i) quand on y remplace x^, x^^ ..., a^^parô^, ^j, ...» 9;,» et que, dans le même cas, p^^p^^ '"^ fn se réduisent aussi k des fonctions connues «,, «2, . . ., co;, de juif, /Xa, . . ., jX;,«^.

On peut toujours supposer que, quand /i|, jXg /Jt.„i s'annulent,

coi, G)2, ..., O;, s'annulent aussi, car, s'ils se réduisaient à 7,, 72, ..., 7„, ou poserait

et l'on serait ramené au cas où les o) s'annulent.

Quand on fait .

Z = Xi = Xi = • . • := Xn ^^ p\ =^ p^ = • • . :^ pu ^ O,

on a

X,H-;?,Z = Xa + />,Z = ... = X, + /?«Z = P, = P,=...= P« = o.

Mais quand l'équation (33) satisfait aux conditions posées à Ténoncé du théorème Y, toutes ces quantités ne peuvent être nulles à la fois quand on donne à z^ aux x etauxp des valeurs suffisamment voisines de zéro et annulant F, c'est-à-dire que les équations

X, -h/?|Z = Xa-f-^iZ = . . . = X« -h /?»Z =0, P»=P, = ...=:P.=

sont distinctes, car, si elles ne Tétaient pas, le déterminant fonctionnel des premiers membres de ces équations par rapporta z^ /r,, x^^ ..., Xn^

Pif P2f '"f Pn serait nuK

Or Téquation qui correspond à l'équation (16) est formée en égalant à zéro un déterminant qui ne diffère de ce que deviendrait ce déterminant fonctionnel quand on y annulerait jz, les x et les/i, que parce que certains termes seraient diminués de l'inconnue S.

Donc, si le déterminant fonctionnel était nul, cette équation admet' trait une racine nulle. Donc elle ne satisferait pas aux conditions posées à l'énoncé du théorème V.