PROBLÈME III

Soit à trouver une intégrale de

qui se réduise à quand on y fait

07, = 6, ( /Lt|, |Ltî, . . . , f/,| ), • >

x„=fl,(p„/:jij, ...,|x»-,),

^ et les Q étant des fonctions holomorphes des |x s' annulant avec ces variables.

Quand on fait

X\ = {Jly X\ =^ "jj * ■ • > ^» ^— ^«>

les/ise trouvent assujettis à se réduire à certaines fonctions des fx : cO|, Ces fonctions sont déterminées par les équations

rfô JÔ. rfô,

o/Ai d^x a\kx rfS rfô, (/0,

-rî- =0)1 -T- -f-û)2 gr-

a/a, a/x, ajtx.

dOn

o/x, diJii

rfô rfÔ, rfe,

tf/X„-., ûffin-, rifX»-,

dSn 4-.. .H- ««-7 •

PREMIER Cas.

Les équations (37) donnent les q en fonctions algébroïdes des (i. Ce cas ne présente pas de difficulté spéciale, et Ton verra plus loin comment on le traite.

DEUXIÈME CAS

Les équations (37) ne donnent pas les « en fonctions algébroïdes des jtx.

Les deux membres de cbacune des équations (37) sont holomorphes par rapport aux fx et aux w. Donc, en vertu du lemme VI (P Partie), on peut en tirer les &> et les [i en fonctions algébroïdes par rapporl à /i— I nouvelles variables

et s'annulant avec ces variables.

Donc j3, les 6 et les &> seront algébroïdes par rapport aux v et s'annuleront avec eux. O.n est donc ramené au premier cas.

Exemple. — Un exemple fera mieux comprendre ce qui précède. Soit l'équation

Pl=p]'^pl'

Soit a trouver une intégrale de cette équation se réduisant à

f^î + f^î quand