CAS GÉNÉRAL

Dans tous les cas on peut donc supposer :

i*' Que les 0, |3 et les w sont algébroïdes par rapport aux |x;

2*^ Qu'ils s'annulent avec ces variables.

On peut toujours supposer que les équations de la forme

qui définissent les 6 par exemple, de même que celles qui définissent [i et les co» sont irréductibles, c'est-à-dire ne sont pas un produit de deux équations de même forme.

On remarquera que, pour un même système de valeurs des jj., /5, les et les o) sont susceptibles de plusieurs valeurs.

Soit

un système fixe de valeurs des jx.

Soit

p«» "l,Oï "3,0, •••» Vj|,o) W|,o, (tii.O) ••'» W||,D

un système fixe de valeurs de /3, des 9 et des ei>, tel qu'en substituant dans les équations (37), à la place de

f^i» f^a» •••> l^a—i9 p» V|, 72, •••» &ji> W|, COa, ..., Ci)rt, f^«»o> /'•i.éj • • ■> f^«»— 1,0» poj "1,0» W2^o> • • «1 wn,o> Wi,o> W»,o, • • •> W^,»>

ces équations se trouvent satisfaites.

Supposons maintenant que Ton fasse varier les jx d'une manière quelconque en partant du système fixe de valeurs

P-I,#) f^t,Of •••» ft»-i,»

pour aboulir au système quelconque de valeurs

Supposons que |3, les S et les &> varient d'une manière continue en même temps que les p. en partant du système initial de valeurs

Po> ^l,9f va,t, ..., dn,99 Wl,t>. &>!,#, •••> W||,»,

et qu'ils deviennent égaux respectivement a

(3*] bis) Pi, 9i,tf 6j,i, ..., ©n^i, û>i^», Wj,!, ..., W«,i

quand les [x. deviennent égaux respectivement à

Nous appellerons les valeurs (87 i«) valeurs correspondantes de /7, des d et des oj.

Pour résoudre le problème III» il faut d'abord remplacer dans les T

Z, X\f OCiy • • •> ^n» P\\ p^j • • • » Pn

par

P, 01, O7, •••, V», W,, Wj, •••» CPttt

il viendra

les ij' étant algébroïdes par rapport aux {x. Si Ton n'a substitué à z, aux 07 et auxj9, dans lesT, que des valeurs correspondantes de /3, des 5 et des o/y les équations qui définissent les 1^ sont irréductibles.

On* appellera système de valeurs correspondantes des ^ un système de valeurs de ces fonctions obtenu en substituant dans les T un même système de valeurs correspondantes de p, des d et des o).

Il faut ensuite, comme on Ta vu dans la Section précédente, remplacer dans les équations (35) les T par les ^ et / par fi^..

js, lès X et les p s'expriment alors par des fonctions algébroïdes

Si Ton a eu soin de ne donner dans cette substitution aux ^ que des valeurs correspondantes, les équations qui définissent z, les a? et les p sont irréductibles. On dira encore que des valeurs de z, des x et desp sont correspondantes quand on les aura obtenues par la substitution dans les équations (35) d'un même système de valeurs correspondantes des ip. Les expressions de z, des x et des p que l'on vient d'obtenir donnent-elles l'expression implicite de l'intégrale cherchée?

Pour que cela soit, il faut et il suffit que l'on ait identiquement

fl

dz dz dz

3^,-P" d7,-P" ■• ' dF„-P"

1^ Je dis que ces conditions sont remplies, pourvu que lés |x ne prennent pas certains systèmes particuliers de valeurs.

En effet, «i, wa^ •• •> »/*> ^, ^m ^a? • • -t ^« ne sont pas tous identiquement nuls. Il en résulte que, pourvu qu'on ne donne pas à fX|, J^2* •M p-n-i des valeurs qui satisfassent aumoinsà une relation donnée

on n'aura pas à la fois

On pourra toujours choisir les \k d'une infinité de manières, de telle façon que les modules de ^, des co, des Q soient aussi petits que l'on veut et que les jx ne satisfassent pas à

Dans ce cas, comme on Ta vu au commencement de cette Section, les

fonctions

X|H-/>,Z, Xj -f /?tZ, ...,X„-f-/>„Z

ne s'annuleront pas à la fois quand on y remplacera z^ les j9 et les x par p, les a> et les 0. Mais alors les fonctions J sont identiquement nulles, comme on l'a vu dans \qs Généralités [V^ Partie); les équations qui donnent z^ a?,, x^^ • . ., x^, p^, p2, » * •y Pn 6n fonction des jx sont

(8o) bien l'expression implicite de Tintégrale, et, par conséquent,

dz dz dz

Supposons maintenant que Ton donne à des valeurs qui annulent a la fois

et voyons si 'les expressions que nous avons trouvées représentent encore réellement Tintégrale cherchée.

Interprétation géométrique. — Supposons que Ton n'ait que deux variables indépendantes a?, et 0:2, et que, par conséquent, l'intégrale soit susceptible de représenter une surface S.

Il s'agit de déterminer la surface S de telle façon qu'elle passe par une courbe donnée C, passant elle-même par l'origine, et qu'en chacun de ses points sou plan tangent P soit tangent à un cône donné. Nous avons trouvé une expression de la surface S en égalant js, x^^ x^ h certaines fonctions de deux variables auxiliaires jj.| et fx,.

Si, donnant à /X| une valeur constante qui n'annule pas

Wl, 0)2, j3, Oly 6ij

on continue à considérer fXj comme une variable , ces expressions de z, 074, X2 en fonction d^, et jul^ définiront une courbe K^ passant par le point

qui est sur lâ courbe C et que nous appellerons m, et passant aussi par l'origine.

Nous avons vu que, si la surface S cherchée existe, la courbe K;„ en fait partie, et qu'effectivement, tout le long de cette courbe, la surface engendrée par les courbes K„ satisfait aux conditions de la définition de la surface S.

Supposons maintenant que (X| tende vers une valeur qui annule à la fois les &),* |3 et les 9, par exemple vers zéro, c'est-à-dire que le point m se déplace sur la courbe C en se rapprochant indéfiniment de l'origine.

Dans ce cas, ou bien /Xj restera fini, et alors z, a?, et X2 tendront vers

zéro, ou bien /x, augmentera indéfiniment et z, x^, x^ tendront vers des limites finies, c'est-à-dire que, quand le point m tendra vers l'origine, la courbe K^ se rapprochera indéfiniment d'une certaine courbe limite Kq.

Il s'agit de faire voir:

I** Qu'à l'origine, c'est-à-dire quand

|[X, = o, Uj^QO

OU quand

la surface engendrée par les courbes K;„ et par la courbe Ko satisfait aux'conditions de la définition de la surface S; 2^ Que le long de la courbe Ko, c'est-à-dire quand

fX, = 0, jUt, =00,

cette surface satisfait encore à ces conditions.

Hypothèse L — Supposons donc d'abord que les équations

soient distinctes, ce qui est le cas le plus général. Alors, pour que l'on ait

et par conséquent ^

il faudra que l'on ait

(a) |ui, = jùi, = |ùi3 = . '. . = |x„, = o.

Donc, toutes les fois que ces conditions (a) ne seront pas remplies, on aura, si /x^^o,

dz àz __ dz ^

Hypothèse II. --On peut toujours supposer que les parties réelles des quantités X|, X2, ..., X2it+i sont positives, car on a supposé que, si a,-

et Pi soat les parties réelle et imagiDaire de X^» les points dont les coordonnées sont a/ et jS^ sont d'un même côté d'une certaine droite passant par Torigine, c'est-à-dire que l'on a, quel que soit i,

Aa,-4-Bp/>o,

A et B étant deux constantes réelles indépendantes de i.

Si les parties réelles des X/ n'étaient pas positives, on multiplierait Téquation F = o par A — iB.

X,, X,, .... lin+i deviendraient alors

(A-iB)X., (A-/B)X„ . ., (A-iB)X,,^., dont les parties réelles sont

Aa, H- B^i, Aaa -!- Bj3„ . . ., Aa2»^.l -+- BPa,^.,,

et sont par conséquent positives.

Cas à examiner.

Le cas où Ton n'a pas

|Lt, = /ÙI3 = . . . = |Ul,, = O

ou bien

ayant été examiné, il nous reste trois cas à considérer: :i? li„ = o; mais on n'a pas à la fois

fA|=f^2= . .. =^n-x =0;

3^ lin est fini et de plus

jtA, = |:X, = . . . rz: |ùt^», = O.

PREMIER CAS

Rappelons de quelle manière on a obtenu l'expression implicite de l'intégrale.

Dans les T» on a remplacé z, les œ et \esp par |3^ les 6 et les o), et

les T sont devenus égaux à des fonclioos ^ des |j., définies par des équations de la forme

où les A sont des fonctions holomorphes des /x s'annulant avec ces variables.

On a ensuite, dans les équations

remplacé les K,- par ^i et / par /X;,, et les T se sont trouvés définis par les équations

(38) Tr -^ A^,;j,fxîiTr* + . • .-+- AVV5r-*^''T.-+- AiV7'* = «•

Il est clair que, si Ton annule ii^ ou si Ton annule les n — i premiers /x sans rendre /X;, infini» on annule les T, et par conséquent z, les X elles p.

Nous allons d'abord supposer que fi^ tende vers Tinfini en même temps que les autres /x tendent vers zéro.

Les équations (38) nous donnent une expression implicite de l'intégrale.

Dans les équations, les  sont des séries ordonnées suivant les puissances croissantes des jx, de sorte qu'on peut poser

A=2x, ou

où Kf est une constante, ]3|, /S^, . . ., ^^^^ des nombres entiers. L'équation (38) pourra alors s'écrire

Supposons que l'on fasse le changement de variables

OÙ octy as, ..., a„^i sont des constantes dont les parties réelles sont positives et que l'on déterminera plus loin. L'équation (38) s'écrira alors

où et

0= ^ OCi -t- ^«2-+-.. .H g— an -I — ^i.

Remarquons que, dans cette expression «

sont réels positifs» tandis que ^i, «2» ... , a^,.,, X/ sont imaginaires.

On peut toujours choisir les quantités a^ as, ...» a;,.i de telle façon qu'un ou plusieurs des â soient nuls pendant que les autres ont leur partie réelle positive.

En effet, posons

a, = /i,a 4- i/r,, «a = Aja -+- //f„ ..., «««, = An-ia-h «A*»-.,, Ai = yîiH-iÇi, A3.= Tïj -+" 1Ç2, •••> AjiH-i = ^»+i "*" 'w+L

Dans ces expressions, A,, A2, ...» A;t~i sont des quantités positives et d'ailleurs quelconques, choisies arbitrairement; a et les k sont les inconnues qu'il s'agit de déterminer; les 10 et les Ç sont les parties réelles et imaginaires des X.

Dans chacune des équations (38) et dans chacun des coefficients A qui y entrent, prenons chacun des termes x ^^ considérons le â correspondant

— |7-ai-h^aa-+-...H j7- Ctm-i — Ai,

dont la partie réelle est

Vif |7-/«a-h...-i jT- /ln-i I — Tïj.

Considérons les diverses quantités

p. A. 4- p, Aa 4- . . . 4- p»-i A«-,,'

comme

Kfiw;

(85 ) ces quantités ne peuvent devenir plus grandes que

A étant le plus petit des nombres A,, A2, ...» A^-i ;

)3 étant le plus grand des nombres y^i, vjs» • • •» vjs/t-i-i ;

mi étant le plus grand des nombres m correspondant à chacune des

équations (38).

Il y aura donc une ou plusieurs des quantités (4o) qui seront plus grandes que toutes les autres.

PREMIER CAS

En général, il n'y en a qu'une. Soient

les valeurs correspondantes de on posera

P... A, 4- Pm A,-h . . . -h (3i,-,,./i«-, La partie réelle du $ correspondant sera

g (Pi,«Ai-+-(3a,«Aa-+-. . .-l-(3,,,,A^,)a— yîo= o;

la, partie réelle des autres i sera et elle sera positive, puisque

. « = b /. . o il . r:5 Â — >

p.,. Al -4- pa,.A,-f- ... -h p«-,., A„, -"^ p,A, -4- p,A, H- . . . + p„-, A^., Quant aux quantités k^^k^^ . . ., k^^^, on les assujettira à la condition

Ça étant la partie imaginaire du X dont >?o est la partie réelle.

Alors tous les d ont leur partie réelle positive, excepté celui qui correspond à p,,©, /Sa,©, . . ., i3„-i,o» >3o H- i^o* et qui est nul.

Si donc on fait la substitution (39) dans les équations (38), ces équations prennent la forme

( 38 bis) o = Xr -f- l]iTr' Kti -+-..• -hT/ A'(Oç(--iA. + aV'' ?«>,,

où les Â' sont holomorplies par rapport à la» Is» • • •« ^n-t et à diverses puissances de v, dont les exposants ont leurs parties réelles positives.

De plus, dans Tune au moins des équations (38 6<V), l'un au moins des Â' ne s'annule pas avec v, quels que soient les §.

DEUXIÈME CAS

Plusieurs des quantités (40) sont égales entre elles et plus grandes que toutes les autres.

Si le nombre de ces quantités n'est pas supérieur à /i — 1, il n'y aura pas de difficulté; mais, quel qu'il soit d'ailleurs, on pourra tourner la difficulté, comme on va le voir.

Égalons encore a à ce nombre positif, qui est égal à plusieurs des quantités (4o) et plus grand que toutes les autres. L'expression (4i) sera encore nulle pour les & qui correspondent à une quantité (4o) égale a a^ positive pour tous les autres. On posera encore

(4a ) ^ (Pi**! -+- P»*"» + ..--*- P—i*"»-. ) — ç.- == o,

où l'on donnera aux |3 et a Ç/les valeurs qui correspondent aux $ dont on vient d'annuler la partie réelle. Si le nombre des équations (4^) est

<;n — I ou = n — I,

on pourra choisir les k de façon à satisfaire à ces équations^ et, comme dans le cas précédent, les équations (38) seront ramenées à la forme (38 iw).

Si le nombre des équations (4^) est

on ne pourra plus choisir les k de cette manière, mais on pourra le

Taire de telle sorte que tous les d aient leurs parties imaginaires positives, excepté un nombre fini d'entre eux, que tous ceux dont la partie réelle est déjà nulle aient leur partie imaginaire positive, excepté un ou plusieurs dont la partie imaginaire devra être nulle. En eiïet, soit par exemple

La partie imaginaire d'un c^ s'écrit

Considérons d'abord ceux des $ dont la partie réelle est déjà nulle; pour l'un au moins d'entre eux. Ci est positif, sans quoi on changerait

V— I en —V— I ; donc, pour ^, =o, toutes les expressions (42 bis) ne sont pas positives; pour k^ positif et très grand, elles le sont toutes. On pourra donc choisir kt positif de telle sorte qu'il annule une ou plusieurs des expressions (4^ bis) en laissant les autres positives.

Considérons maintenant ceux des & dont la partie réelle est positive; il n'y en aura qu'un nombre fini pour lesquels

^ ^ le plus grand des g/X le plus g rand des K

et, par conséquent, dont la partie imaginaire peut être nulle ou négative. Tous les autres ^ auront leur partie imaginaire positive. Posons maintenant

Dans ce cas, les équations (37) s'écrivent

où

si $ = t-i" iî ,

5^ = (e 4- ie,) H- i(e, — 6g).

I® Pour un nombre fini des quantités d^,

(88) alors

a^ Pour un nombre fini des quantités c^,

alors

€ H- 6ei>o,

si 6> o.

3^ Pour un nombre fini des quantités â,

on pourra alors toujours choisir b positif et assez petit pour que

4"" Pour un nombre fini ou infini des quantités &,

e>o, ei>o; si 6>o,

En résumé, tous les d^i ont leur partie réelle positive, excepté un ou plusieurs qui sont nuls. Les équations (38) prennent donc encore ici la forme (38 bis), c'est-a-dire que les T sont fonctions algébroïdcs de la, la, ..•, Ç««,, de diverses puissances de |„ et de v^ dont les exposants ont leur partie réelle positive, et que tous les T ne s'annulent pas, quels que soient les |, quand V| s'annule.