CAS GÉNÉR^I

Dans les deux cas qu'on vient d'examiner^ les équations (38) ont été ramenées aux équations (38 bis). En résolvant ces équations (38 bis) par rapport auxn?, à 2 et aux/9, on trouvera

Ces équations donnent l'expression implicite de l'intégrale, pourvu que l'on n'ait pas

fit, = |uis = . . . = /x,^, =0 ou fx, = 0,

(89) c*est-à-dire pourvu que

v>o, ^,>o, Es^o, .... En^o.

Les équations (38 bis) montrent que, quand les ? tendent d'une certaine manière vers certaines valeurs différentes de zéro,

pendant que v tend d'une certaine manière vers zéro, les T tendent vers certaines valeurs finies et différentes de zéro,

et que, par conséquent, js, les x et les p tendent vers certaines valeurs finies et différentes de zéro,

'2'0» JCi,», X>,Of • • • I ^»,»> Pi,9% Pttt9 • • • > /^'♦i»-

Ces valeurs satisfont évidemment à l'équaiion

r ( Z«, ^i,a> ^J,D » • • • > ^n,9y Pt,»9 /'»,•» • • • > /^«.•j ^^ ^>

car F est une font lion continue de js, des x et des /?, et Ton a vu qu'on pouvait salisiaire à l'équaiion F = o en donnant à ces variables des valeurs aussi voisines que l'on veut de

^9y ^I,0> ^t,«i • • • > ^n,«J Pl.O» P^t^t • • • > /^Ji.»'

Il reste à faire voir que, pour

on a

ou que Ton peut prendre v et les ^ assez voisins de leurs limites pour que

OÙ les modules de s,, e,. . .*, t„ sont aussi petits que Ton veut.

Hz dx,^

Or on a

P'=d^: P' = toutes les fois que

Considérons un instant v, la» Ij |„ comme des fonctions holo-

morphes quelconques d*une variable t qui tendent vers

quand /tend vers zéro.

Remarque. — Remarquons qu'on peut toujours supposer que, pour / = o,

dz dxx dxi dxn

di' W It "rfT

ne tendent pas vers l'infini. En effet, un desT est donné par l'équation

(39) T'--+-A«^,ï'"-'H-...-4-A,ï-+- Ao=o,

où les A sont des fonctions holomorplies de diverses puissances de t dont les exposants ont leurs parties réelles positives. Si To est la valeur de T pour / = o, on aura

(T - T«)'"-+-B«-,(T - Tor-'-f-. . . -f- B,(T - To) -h Bo= o,

où les B sont de même forme que les A.

Soit /'^N^'^») celle des puissances de t qui entre dans le développement de B,„K et dont la partie réelle est la plus petite. Si tous

les a,i sont plus grands que i, — -— * tend vers zéro quand t tend vers

zéro; or on peut toujours supposer que tous les a^ sont plus grands que 1, car» si cela n'était pas, on poserait

X étant un nombre plus grand que tous les-j^^ et Ton aurait où Xa^ > I .

(9' ) Donc on peut toujours supposer que pour / = o on a

dT et par conséquent

dt ~

dxx dx.

dx„

dt ~

dt dt

dt °

Cela posé, soient /« une valeur quelconque de /; z^, ^1,1,^72,0 ■ . ., J7»,i les valeurs correspondantes de z et des x; on aura

Jr^'jjdxx dxi dxn \

[ '^'[-drP'-^-dt'P'^--^-dtP''y

Cette intégrale existe, puisque les quantités sous le signe/ restent finies.

Or on peut prendre ^, assez petit pour que />i, ^2« -- >* Pn soient aussi voisins qu'on voudra de /?i^o» /'2.0» • • • • Pn.o- Donc

les modules des £ étant aussi petits que Ton voudra, c'est-à-dire

Zi— -20= (/>!,• -^ fiiK^M — ^i.p) -h. . .H- (/?ji,oH- Bn](x„,i — X„,c)'

OEUXIÈMB CAS.

|UL,, ji.2, . . . , fx„, ne sont pas nuls à la fois (fx,, = o). Dans ce cas, les équations (38) démontrent que lesT s'annulent, et par conséquent aussi z^ les a? et les/?. Je dis que l'on a en même temps

dz dz dz

dxt dxt dxn

Pour cela, il faut faire voir que, quels que soient les /i — • 1 premiers p. on peut prendre ii„ assez petit pour que

z = Çi Xi -4- ^iXi -+- . . -I- Çn<^«9

où mod.Ç, <£<, n)od.Ç2<€a, ...» mod.Ç;,<6„, s,, £2» •••♦ £« étant aussi petit que Ton veut. Or on a

f, ( dz dx, dz dx, dz dxr\ . , .

^\dxx 'dyïn dx, dfjt.^ ' ' ' dx„ dix»)

OU, puisque, toutes les fois que fJ!.«<o,

dz dz dz

d'où

dxi

d^ln

Or, on aura pu prendre p.„,o assez petit pour que, fi„ variant depuis zéro

jusqu'à [kn.o (de manière que son point représentatif décrive une ligne

droite), on ait

mod.^,<<€,.

Dans ce cas, on aura

X***'* dxi

dfJi^Pi -^ = ZiXi, [ mod. Ç, < £, ) ,

d'où

=1 ZLiXi. C. Q. F. D