IM

Il est. clair que le système

est équivalent au système (i).

Les B sont symétriques par rapport à :Z|, Z2, ..., ^m* D^ plus, ce sont des fonctions entières par rapport à ces variables. En effet, les dénominateurs /^{z^) ne contiennent que des facteurs de la forme «, — Zf^ci ne contiennent ces facteurs qu'à la première puissance. Donc les B seront égaux aux quotients de fonctions holomorphes en z^, Z2* .• .. ^in» ^M ^2» •••• ^n par le produit de tous les facteurs tels que Zi — z,^. Taurai donc démontré que les B sont eux-mêmes des fonctions holomorphes en z, , jsa» • • • ♦ ^m. ^j • ^2» • • • ♦ ^/i si je fais voir qu'en les multipliant par js, — z^ et faisaut js, = z^ on les annule. Or cela est évident, car, lesB étant symétriques par rapport à s/ et à Zf^, B{zi—z,,) change de signe quand on change z^ en x^a et ^a en jz/. Donc il s'annule quand z^^Zf^. Donc les B sont holomorphes en j?i, x^, ...» ^«, en «,, ^2» ...• ^,rt et symétriques par rapport k ces m dernières variables.

Posons

9i := Zt Z(y Sj ^ — •" 2L Z^ , • • • « ^M — - 2éZi •

Ces m nouvelles variables s'annuleront en même temps que les jz.

De plus, on sait que tout polynôme entier symétrique par rapport aux z et de degré /> est un polynôme entier en

Si, Sj, ..., Sp, ^'yp'Sm^

et en

Si, Sj, . . ., S«, si/?>/n.

Donc les B çeront des fonctions holomorphes en S|, 83, .. . , S,„, x^^

(9) Les S sont donc définis en fonction des x par m équations dont le second membre est zéro et les premiers membres sont des fonctions holomorphes en 81,82, • • • • 8,„, x^^ x^^ . . • ^^ qui s'annulent quand

0| — — &j — • • • • — dai — X\ -^ JTj — . • . — — Xn — -^ O»

Donc, en vertu du théorème de MM. Briot et Bouquet, les 8 seront holomorphes en x^^ x^, . . . , o^^^si le déterminant fonctionnel desB par rapport aux S ne s'annule pas quand

Il faut donc calculer le déterminant fonctionnel des B par rapport aux S pour ce système de valeurs, et pour cela calculer, toujours pour les mêmes valeurs des variables, les dérivées partielles

1° Si A<m — /> -h I,

rfB^

En efl*et, si dans (p{z) on fait

<p{z) devient De même on a, quand lesx s'annulent,

,3^ \ ^^zrfp {z,) yl ^,zr\f,{z.)

Le premier terme est homogène et de degré m ^ p '\- \ par rapport aux J5, le second homogène et de degré m —p -h 2, etc.

Donc, si l'on exprime maintenant les B eu fonction des 8, le premier terme de B^ dans le développement (3) donnera un ternue en Sm^p+i et des termes formés par le produit de deux ou plusieurs des Sa tels que A < m — /> + I , mais il ne donnera pas de terme en 8a(A < m — /? -+- 1 ) et indépendant des autres S. Les termes suivants du développement (3) n'en donneront pas davantage pour les mêmes raisons.*

( .o) DoncB,,, développé en fooctiondesS, ne contiendra pas de terme en S^.

Donc

dBp

dSk

Donc le déterminant fonctionnel des B par rapport aux S se réduit; au signe près, au produit des

dB,

dSm-

Il suffit donc, pour faire voir que le déterminant n'est pas nul, de montrer qu'aucune de ces dérivées partielles ne s'annule.

Pour calculer .^ '* y reportons-nous au développement (3) et cher-

chons d'où peut provenir, dans le développement de B^en fonction des S, un terme enS;„^|. Il ne peut venir que du [premier terme du développement (3), que nous appellerons pour abréger Tp, car les termes suivants de (3) sont homogènes par rapport aux z et de degré supérieur à m — /? -+- I.

Il suffit donc de s'occuper des termes provenant de T^; on a

9 étant une fonction de S,, Sa, . . • S,„pqui s'annule avec ces variables, et c'est (/.p qu'il s'agit de calculer. Comme ap est une constante indépendante des z, il suffira de calculer sa valeur en donnant aux z des valeurs quelconques, par exemple les racines de l'équation

a" — . ZP-* — I = o.

Tous les Sa sont nuls, et S,„^^, = m —p -^ i . Donc

Tp = Xp{m — p -f- 1).

Or, on a

cette intégrale étant prise le long d'un cercle de rayon suffisamment grand. En effet, le résidu de la fonction sous le signe /par rapporta la

racine i' = z^ est

zTf^)

La somme des résidus de cette fonction est donc la somme de ces

quanlilés, c'est à-dire ^- Or, dans le cas particulier où nous nous sommes placés,

Donc

.- 2177 T. -^ Ci'„ I ; dv,

La première intégrale est nulle; en ce qui concerne la seconde, la fonction sous le signe /est développable (puisque le rayon du cercle le long duquel on prend Tintégrale est très grand) en série ordonnée

suivant les puissances croissantes de - et dont le premier terme est - -

Ce premier terme donnera une intégrale a/n, les autres une intégrale nulle. Donc

~ 2/7:1^--:= 2/7rCS„ T,=^>.„CS„ «^= ^^^ =Cr^>..

Donc les a^ ne sont pas nuls; donc le déterminant fonctionnel des B par rapport aux S ne Test pas non plus; donc les S sont des fonctions holomorphes en â7|, ots, . . ., x„.

Les m valeurs de z, à savoir z,, ^2, . . ., z,„, satisfont à une équation

où les A' sont des polynômes entiers et symétriques par rapport à s,, Z2« - • •> ^m; ces polynômes sont donc aussi des polynômes entiers par rapport à S|, S3, ..., S;„, et par conséquent des fonctions holomorphes en .i?!, iCa, ..., Xn.

C'est dire que les m valeurs de z sont algébroides de degré m en

M^i , vC^f I •, COfi% G* Q* f« Oa

La démonstration précédente suppose que l'équation

n'a pas de racines multiples; mais il est facile de l'étendre à ce cas d'exception.

Soient encore, en effet,

où z^^ z^, ..., Zfn représentent pour un instant des quantités quelconques, et soit encore

/{ç) ei/p{v) sont des polynômes entiers par rapport à t? et aux S. Soit maintenant

cette intégrale étant prise le long d'un cercle de rayon assez petit pour que (j^{i^) soit convergent pour certaines valeurs des x et assez grand pour contenir les m racines de l'équation

pour ces mêmes valeurs des x.

Supposons, de plus, qu'on ne donne à z,, jZo, . ..,z,„que des valeurs dont les points représentatifs soient compris à l'intérieur de ce cercle.

Cela est toujours possible.

Celte intégrale est une fonction continue des S et des x, et l'on a vu que dans le cas où tous les z sont différents, c'est-à-dire où les S ne prennent pas certains systèmes particuliers de valeurs, cette intégrale se réduit à une fonction holomorphe des S et des x. Il en est donc encore de même dans le cas où les z cessent d'être tous différents.

Pour exprimer que les z se réduisent aux m racines de l'équation

en tenant compte de leur degré de multiplicité, il faut encore écrire

{ i3 ) que les Bp sont nuls, c'esl-à-dire qu'il faut égaler à zéro les mêmes roDctions bolomorplies des S el des x que dans le cas où il n'y a que des racines simples, c'est-à-dire que la démonstration précédente s'applique.

(loROLtA.iREl. — Si ç est une fonction algébroide en 3, a;,, a;,, .... jr„ telle, qu'une de ses valeurs s' annule quand on a à la fols

mais qu'aucune de tes valeurs ne s'annule, quel que soit z, quand on a à la/ois

si s est défini enfitnction des x par l'équation

z est une fonction algébroide en x,, x^. ■ ■ -, x„.

En effet, la fonction ç, étant algébroide en :;, j?,, c^, . .. t„, est donnée par une équation

où les A sont liolomorplies en s, x^,x,, ..., x„. L'équation f — o est donc équivalente à l'équalion

Mais A* est une fonction holomorphe en z,x , x„ qui s'annule

quand toutes ces variables s'annulent, puisque f s'annule dans ce cas, mais qui ne s'annule pas, quel que soit z, quand tous les x s'unnuteni, puisque f ne s'annule pas dans ce cas.

Donc A(, contient un ou plusieurs termes contenant une puissance de z et indépendants des x.

Si s™ est celui de ces termes dont le degré est le moins élevé on rpiombe sur le cas étudié dans le lemme précédent, et s est une fonction algébroide de degré m en x,, x, x„. c. q. f. ».

Corollaire 11.— &', dans une fonction holomorphe V en x,,x„ ...,.j„, on substitue à la place de ces variables n fonctions 9 , , 91 ^m de p va-

fiables nouvelles y« , Ja» • • • » J>f algéhroîdes par rapport ày^^y^^ • • • • JV et s' annulant avec ces variables, la fonction F devient une fonction algé-r broïdeen y^.y^, ...,Xp.

En effet, les fondions f i, 92* • • •• f^ s^ont respectivement susceptibles de m^, m^, . .., m^ valeurs diflerentes. En substituant dans F un système quelconque de ces valeurs» on donne à cette fonction

m, ms . . . /i?i,= M valeurs difTérentes.

Soient Fj^Fj, ..,, F|, ces valeurs. Les fonctions

sont holomorphes par rapport aux différentes valeurs de ç), , 92^ • • • < ^n- De plus, elles sont symétriques par rapport aux différentes valeurs de 9,, aux différentes valeurs de 92, etc.

Donc, en apjpelant S,^ la somme des p^^°^ puissances des diverses valeurs de ç,, S,^ la somme des/?*^"** puissances des diverses valeurs

/su

de 92, les fonctions \Ff sont holomorphes par rapport aux S, c'est-à-

1=1 dire (puisque les S sont holomorphes par rapport aux y) holomorphes

par rapport aux y. C'est dire que la fonction F elle-même est algébroîde en ji, y,» •••t JV« c- Q« f- ^•

Lemme IV. — iï y,, Ça, . . ,, (fp sont p fonctions holomorphes en z^, z^f .... Zp, iF|, a?2. ...» x„9 si ces fonctions s'annulent quand on annule tous les z et tous les x, si les équations

restent distinctes quand on annule tous les x^ si Von définit les z en fonction des X par les équations

<Pi = 9i — . . .= <P/i = 0, les p fonctions ainsi définies sont algébroïdes.

En elTet, supposons ^=: 2 pour fixer les idées; z^ et z^ sont alors définis par les équations

7« et fs ne peuvent s^annuler identiquement tous deux quand on fait

2] — JCi — JCj — . • • — ^ji '■ — - Oy

car alors les équations

cesseraient d*étre distinctes quand on annulerait tous les x et se réduiraient toutes deux à

Supposons que ce soit 7, qui ne s'annule pas identiquentent quand

Zj ' ^ Xi — - wPj *— • • • —— Xg^ '' — o ^

on pourra (Lemme III et Corollaire I) tirer de

Zf en fonction algébro'ide de Zj, oot , â;^, ...» â?,,.

Substituons cette valeur de z^ dans 9)3 : c^tte fonction deviendra algébroïde en «2,0:1,0:21 •• •» o^b (roir Lemme III, Corollaire II). L'équation

a donc un premier membre algébroïde en jss, o:, , a:,* . . . , o?^ et qui s'annule avec ces variables. De plus, (ps ne s'annule pas, quel que soit Z2, quand x,, j?2i • • • ^n s'annulent. Ce serait dire que les équations

cessent d'être distinctes quand les x sont nuls. Donc z^ est défini par l'équation ç)2 = o ^Q fonction algébroïde de x^,x^^...yX„. Il en est de même de z, , puisque rien ne le distingue de 23. Le lemme est donc démontré.

Remarque. — On remarquera que dans le lemme précédent on est

( '6.) obligé de faire une restriction, puisque Ton suppose que les équations

restent distinctes quand les x s'annulent.

Les deux lemmes qui vont suivre ont pour but d*examiner ce qui se passe quand cette condition de restriction n'est pas satisfaite.

Lebime y. — Si une fonction z est définie en fonction de x^^x^^ ...»

Xn par une équation

dont le premier membre est une fonction holomorphe enz^x^^x^^ . . . . ^^ s* annulant avec ces variables, on peut exprimer z^x^.x^, - . . ,x„ par des fonctions algébroïdes de n variables auxiliaires |ul,, 1X3, . . . , ijl„ s* annulant avec ces variables.

En effet, toutes les dérivées partielles de f ne sont pas nulles, sans quoi cette fonction serait identiquement nulle. Supposons que toutes les dérivées partielles d'ordre m ne soient pas nulles, mais que toutes les dérivées d'ordre inférieur à m le soient.

Si parmi ces dérivées d'ordre m qui ne s'annulent pas se trouve

^-^9 par exemple, on pourra exprimer x^ en fonction algébroide de z,

X*2 » x^ , . • . , Xfi %

et alors il suffira de poser

— ft|» Xi — ^1, X^ — ^j, ..., ^« — [t-nf

pour satisfaire à l'énoncé du lemme.

Si l'on a, au contraire,

on posera

lïz^ ~ dx",' dx^ ■" ^*'

^1 = «M^i ■+" «•.»T» -h ... "h a,,,H-irin-i,

On pourra toujours choisir les X et les a de telle sorle que leur déterminant ne soit pas nul et qu'après la substitution

On aura alors /«^-i en fonction algébroïde dey,, Vo» • . • » v,,, et il suffira encore de poser

Jl = ^l> 72= y.3i . . . , J'« = Wii,

•ar« = \ a»./fti -t- '^xf

pour satisfaire à l'énoncé du lemme.

Remarque. — Il faut remarquer que celte nouvelle manière de détînir la fonction z ne nous en fait connaître qu'un élément plus restreint que ceux que les lemmes IH et IV nous permettaient d'étudier. Des fonctions algébroides définies par ces lemmes nous connaissions un élément limité pa4' ces conditions que les modules de ar,, ara, • . ., oc„ restent respectivement plus petits que certaines quantités données.

Les éléments définis par le lemme V seront restreints encore par d'autres conditions, par exemple que, les modules des j? restant plus

petits que certaines quantités données, les modules de— %— » ...,—

soient eux-mêmes plus petits que certaines quantités données.

Lemme VI. — Si p fonctions z^^ z^t - .. ^^Zp de n variables ^,,0^2» • • • » cCn sont définies par p équations

dont les premiers membres sont des fonctions holomorphes e/i z, , Zj» • • • » Zp, 07, , a-2» ... fX^et s' annulant avec ces variables, les fonctions z ^ , z^, . . . , Zp et les variables anciennes a?,, x^, ...» Xn peuvent s'exprimer par des fonctions algébroïdes de n nouvelles variables convenablement choisies |UL, , p.2, ..., finCt qui s'annulent avec ces nouvelles variables.

En effet, supposons /? = 2, pour fixer les idées; z, et Zj sont alors définis par les équations

En vertu du lemme V, on peut tirer de <p, = o les z et les x en fonctions algébroïdes par rapport à n 4- 1 nouvelles variables que nous appellerons Vf^v^, ..., V;,^| et s*annulant avec ces variables. Substituons ces valeurs dans <p2\ cette fonction deviendra une fonction algébroïde de v,, Va, . . . , Vn^t (Lemme III, Corollaire II).

On a donc

où les A sont holomorphes en V| . v^, . . . , V;,, v„^f . Donc, égaler y^ à zéro, c'est égaler A© à zéro.

Or, en vertu du lemme V, on peut tirer de

V,, Va, . .. » V;,^, en fonctions algébroïdes de /i variables nouvelles jjl,, fXj, . . . , fx« et s'annulant avec ces variables.

Donc, les z et les x étant des fonctions algébroïdes des v, qui sont des fonctions algébroïdes des /x, sont des fonctions algébroïdes des fi. De plus, zei les x, s'annulant quand on annule les v,qui eux-mêmes s'annulent quand les jul sont égaux à zéro, se réduisent à zéro quand on fait

fli=|^2=. . .== f/i.=^0. C. Q. F. D.

Remarque. — La remarque relative au lemme V s'applique également au lemme YI.

Généralités.

Nous nous proposons d'étudier les propriétés d'une fonction z de n variables x^.Xi^ • • • * ^m qui est liée à ses dérivées partielles du pre-

( '9) iTiier ordre, que nous appellerons

dz dz dz

par une relation de la forme

r [Zf Xif Xif • • » » Xnt Pif P^y • • * j pn] ^^=0.

. Nous supposerons, pour simplifier, que F est un polynôme entier par rapport à z, aux/? et aux x, et nous poserons, conformément k Tusage,

„ rfF ^ dF ^ dF dz dxi dpi

Nous nous bornerons, comme Ta fait Cauchy, à étudier un élément de la fonction js, c'est-à-dire la série des valeurs que prend cette fonction quand on donne à ar, , ^2* • • • « ^n des séries de valeurs telles que, si

sont des constantes imaginaires données,

des constantes réelles et positives, les modules deo?! — «1,^2— «2

^n — OLn restent plus petits respectivement que |3| , /Sa, . . , /3„. On pourra toujours supposer que

car, si cela n'était pas, on poserait

et avec ces nouvelles variables on serait ramené au cas ou les (x sont nuls.

t)e même on supposera toujours que la valeur que prend la fonction z quand les x s'annulent est zéro, car, si cela n'était pas, si par * exemple z prenait alors une valeur finie j3, on poserait

si z prenait une valeur infinie, on poserait

et de toute façon on serait ramené au cas où z s'annule avec les x.

Il pourra arriver qu'on soit obligé d'étudier un élément de fonction plus restreint encore, comme on a vu que cela avait lieu, par exemple, dans les cas où s'applique le lemme Y [voir la Remarque).

L'étude que nous nous proposons de faire de l'équation

comprend la résolution de trois problèmes.