PROBLÈME I

• Rechercher quelles sont les intégrales z de l'équation F = o qui sont holomorphes en x^, x^^ . . . , a?„.

PHOBLÉME n.

Intégrer les équations différentielles

liPiW

— dp,

— dp^ X,-hp«Z

I ^ Sous la forme

9i=fr,, Ç,= /f„ ..., O^zzz k,mf

où les K sont des constantes arbitraires, les 9 des fonctions connues de z, des X et des p\ 2° Sous la forme

où les ^ sont des fonctions connues de x„ et de 2 n constantes arbitraires.

iH9

PROBLÈME m.

Rechercher quelle est l'intégrale

z J \Xxy Xzy • • • > Xu]

qui satisfait à V équation F = o e/ qui se réduit identiquement à une fonction holomorphe donnée enxi, x,, •••^Xn

quand une autre fonction holomorphe donnée c/i a?,, ^2» • • •• ^«

est égale à zéro.

Le problème peut encore s'énoncer d'une autre manière. En eiïet, les deux équations

nous permettent, en vertu du iemme VI, d'exprimer z, a;,, oc^, . . ., ^r,, en fonctions algébroïdes de /} — i variables auxiliaires |j.|, |X2, .. ., p.;,..,, ces fonctions s'annulant avec ces nouvelles variables, soit

Le problème III s'énonce alors :

Trouver une intégrale de l'équation F = o qui se réduise identiquement à/3, quand on y rempUice respectivement x^ f x^f . . ,,x„par$^^ 5,, . . ., 5^.

Cauchy et Jacobi sont arrivés à peu près en même temps à ramener la résolutiondu problème Illà celle du problème II. Rappelons en quelques mots les résultats auxquels sont arrivés ces deux grands géomètres.

Équations linéaires.

Supposons que l'équalion F= o soit de la forme

X,p, H- XiPi -h ... -h X»/>„ — Z = o,

OÙ X,, X2» . .., X;,,Z sont des fonctions connues de o?,, â?,, ..., a7„, s. Les équations différentielles (4)»* qui portent le nom d'équations des

carnctéristuiues, prennent alors la forme

dxi dxt dxn dz

Xi Xi Xn ii

Supposons que le problème II soit résolu, c'est-à-dire que Ton ait * les intégrales des équations (4) sous la double forme

(5) 9,= K|, Çs=: K}, .... 9„ir:K„,

(6) X,=::^x^ JC,— 4;,, ..., ar«-, =: <];,„ Z ^ ^n\

on trouvera l'intégrale que l'on se propose de ebercher dans le problème III, en substituant respectivement, dans f,, 93. ...,<p„, ^,, $«, ^21 • • • » ^/i ^ Id place de Zy a7f , a?,, .... X;,, ce qui donnera à ces fonctions (f la forme

et, en substituant ensuite respectivement, dans i{^,, ^^, ..., <|f^, y,, 73» • •< 7/1 à la place de K,, K2* . . ., K^, on aura ainsi l'expression de 2, x^, x^f . . .» ^ii-i en fonction de x„ et des jui. Ce sera l'expression implicite de Tintégrale cberchée, et ensuite, quand cela sera possible, on éliminera les ^ entre les équations qui constituent cette expression et Ton résoudra par rapport à l'intégrale pour en avoir l'expression explicite.

Équations non linéaires.

Cauchy a fait voir d'abord, en ce qui concerne les équations non linéaires, que, si Tintégrale cherchée existe :

1° Les dérivées partielles du premier ordre pi, pi, . .,/>« doivent se réduire identiquement, quand on y remplace respectivement â?,» X2f . . ., a?„ par &«, O29 • • •» 0„, a certaines fonctions o)i, co^, . . ., f^„ faciles à déterminer.

2** Si les équations

dz dx^ dxn — dpx — dpt

( 33) ont été intégrées sous la double forme

(5) Ç), = A*!, . . . , Çj/.= Ka«,

nous obtieudroDS l'expression implicite de cette intégrale de la manière suivante.

Dansçpi, ^2* • • •• fan i*^!^ plaçons respectivement

^» P\y P^i ' * » P»9 X\f Xji • • • f «âTn

par

Pi, &)i, C03, •••f Wfi, 0i> O2, •••> wj»;

ces fonctions f deviendront des fonctions des fx, que nous appellerons Dans ^1, (j;x. .*.• 4^2Af remplaçons respectivement

Kif lis, • • •> A- SU)

par

nous aurons a?^ œ^j . . ., iï?«-o 2. ^m /^a» . .. /?/i en fonction de a?» et des jx, et ce sera l'expression implicite de l'intégrale cherchée, si cette intégrale existe.

Enfin, Cauchy a fait voir que, pour que la fonction z ainsi définie représente réellement une intégrale de l'équation F = o, il faut et il suffit que les fonctions

- dz dxx dxi dxn-K

soient identiquement nulles.

Remarque I. — On peut toujours supposer que w,, ro^, . . ., ci>„ sont

algébroides en /x,, |j.2« • • •• f^n-i*

En effet, les fonctions c>>,, uj, ..., a>;, sont définies par

F(pi, 0i, 0a, . . ., 0n» ûi>i, Ck)î, ...,&)«=: O

et par /i — i équations telles que

rf(3, de, de, dO„

Si ces n équations permettent d'exprimer les o) en fonctions algébroîdes des /m, il n*y a pas de difficulté.

Si au contraire cela n'a pas lieu, on pourra toujours» en vertu du lemme Vf, tirer de ces n équations

Pi» f^»> •••t ft«-i» Wi> Wj» •••» ^m%

en fpnclions algébroîdes de n — i nouvelles variables

On fera jouer alors à ces variables nouvelles le rôle que jouaient fi,, /JL2, . .' , /X;2.|, et il est facile de voir que ^1, les B et les a> s'expriment en fonctions algébroîdes de v«, Vj, . . ., v„.«.

Remarque II. — La remarque qui précède ne s'applique pas aux cas

où o)|, &)j tùn ne gardent pas des valeurs finies quand on annule

les|x.

Remarque m. ^ Parmi les intégrales des équations des caractéristiques mises sous la forme.

(5) • q?,= Kiy 9,= Ka, ..., 9,«=K;

il y en a une, 92,1, par exemple, qui n'est autre que le j)remier membre F de Téquation F = o. Doue, quand on prendra les intégrales des équations ('4) sous la seconde forme

on pourra remplacer partout, dans <{;,, «l;,, . . ., ^21,, Kja p^r zéro.

Propriétés des fonctions J.

On a vu que la méthode de Cauchy pour l'intégration des équations aux différences partielles était soumise à une restriction.

La fonction à laquelle elle conduit ne représente l'intégrale cherchée que si certaines fonctions J,, Ja, ..., J;,-., sont identiquement nulles.

Or Cauchy a démontré :

j^ Que ces fonctions sont nulles quand on y remplace x^ par

a"" Qu'elles satisfont à Téquation

P-4^=- JZ,

c'est-à-dire que, Jo étant la valeur de J quand x^-^. ôn^

Supposons que Ton ait donné aux fx des valeurs quelconques, par exemple

l'intégrale sera prise depuis la valeur de a?», qui correspond à a;„ = 0„, c'est-à-dire depuis zéro, jusqu'à une valeur quelconque de celte variable.

Si P„^o, il est évident que l'intégrale

conserve une valeur tinie et déterminée, et, par conséquent, puisque

Jo=0,

que J est identiquement nul.

Si P;,= o, mais que P,- par exemple ne soit pas nul, on fera jouer à oci le rôle qu'on avait fait jouer à a?„, c'est-à-dire que, au lieu de résoudre les équations

en fonction de cCn pour les amener à la forme

on les résoudra en fonction de a;,; l'intégrale / cte^^sera remplacée

par l'intégrale 1 dxi^-f qui conservera une valeur finie, et les fonctions

J seront encore nulles.

on nf!<(oudrd les équalions (5 en (onction de/i/, el à la place de Tintéicraïe i </r« |f on rencontrera Tintégrale jdpii^— — ^» dont la valeur

('M HiïH^'î finie*

Dan» ce c^h encore, les fonctions J seront identiquement nulles.

On n'a donc à se préoccuper de la condition de restriction relative aux fonctions J que dans les cas où Ton a à la fois

Xi -♦- pt/> = Xj 4- piZ ^-^ ...--- X« -^ puZ ^ o.