PROBLÈME IL

L Intégrer les équations (4) sous la forme (5).

Cela revient à chercher 2n intégrales distinctes de l'équation linéaire

Or un au moins des coefficients de cette équation, P par exemple, est différent de zéro.

Cherchons donc 2 /i in légrales de Téquation ( 7 ) assujetties à se réduire respectivement, quand ^, = o, à

J\ \^u ^3» • • • ♦ ^n» 2, ^1, ^2, • ■ • > pn)> Ji\'^iy ^3« • • • 1 «^w» ^t Pif P21 • • • » ^n ;»

Jtn[^i* ^3» • • • » ^ni ^» Pu /'sj • • • > Pn )•

1*^ Ou/0/2, . ..,y2„ sont des fonctions holomorphes en iTo, .Tj

tP Ou /a» n'est autre chose que ce que devient le premier membre de F = o quand on y fait a?, =3 o.

3® Ou le déterminant fonctionnel des/ par rapport à

ne s'annule pas quand ces variables se réduisent respectivement à

0,0, ...,0,0, J^'i, J*i, . . . , Xn*

On peut toujours faire toutes ces suppositions. Or, en vertu du théorème de M™*^ de Kowalewski, les a/i intégrales ainsi définies sont holomorphes en

et, d'ailleurs, la dernière se réduit à F.

Les intégrales cherchées du système (4) sont donc

9i = Kl, 9,=:K,, ..., 9,rt-, = Kaii-i, F = K,„,

OÙ 9<, 9a, . . . , 92/1-1 sont holomorphes en a?,, X2, . . ., Xn^ ^fPi-^yi* • • • »

Pn-yn^

II. Soit maintenant à amener les intégrales du système (4) sous la forme (6).

Cela revient à résoudre le système (5) par rapport à toutes les variables qui y entrent en fonction de l'une d'elles, en fonction de j?, par exemple.

Or le déterminant fonctionnel des 9 par rapport à a?2, ..., a?„, 2, P\9 'iPn n'est autre chose pour les valeurs initiales que le déter-

minant fonctionnel des /par rapport aux mêmes variables, qui n'est pas nul, par hypothèse. .

Donc le théorème de MM. Briot et Bouquet s'applique, et Ton peut

exprimer a?2« ^a» • • • » ^n^ ^i P\^ Pi^ - ^ % Pn ^^ fonctions holomorphes de Xi et des K :