SP'-^-O
toutes les valeurs initiales des y- ne sont pas nulles; soit, par exemple,
dx,<
On pourra résoudre alors l'équation (8) par rapport à jt,, et l'on aura
G étant holomorphe.
Soient q^y q^, ..., qn les nouvelles dérivées partielles de z par rapport à
( 3o ) on aura
Soient Q<, Q^, . . . , Q;, les dérivées de F par rapport à ^i, ^a» • . . . y^ ; on aura
L'intégrale cherchée est donc assujettie à se réduire à une fonction
qui est hoiomorphe en j, x^ x„ quand
et d'ailleurs
Donc le théorème de M™*" de Kowalewski s'applique, et z est hoiomorphe en y, X2, . . . , Xn, et par conséquent aussi en x,^ x^. . . , .r„.
Interprétation géométrique. — Supposons que l'on n'ait que deux variables indépendantes or et j; l'intégrale
peut alors être considérée comme représentant une surface S.
Il est facile, dans ce cas, de trouver une interprétation géométrique de la condition (9).
L'équation F= o signifie qu'au point
c'est-à-dire h l'origine, le plan tangent P à la surface S est tangent à un cône donné C.
Dire que Tintégrale z est assujettie a se réduire à j3 quand on a $ = o, c'est dire que S est assujetti à passer par une courbe donnée A qui passe elle-même par l'origine, et par conséquent que le pian P passe par la tangente à l'origine T à la courbe A.
On obtiendra donc le plan P en menant par T un plan tangent à C. On pourra en général en mener plusieurs, c'est-à-dire que par la courbe A on pourra faire passer plusieurs surfaces S.
Considérons une de ces surfaces. Dire quej,,y2, ... ,j„ sont finis, c'est dire que le plan P correspondant n'est pas parallèle à l'axe des z. Dire que
c'est dire que T n'est pas sur le cône C.
A ces conditions, la surface S est représentable par une équation où z est égalé à une fonction holomorphe d'x et d'y.
DEUXIÈME CAS
Xuja» •••»7/i restent finis, mais la condition (9) n'est pas remplie. Géométriquement, c'est dire que le plan P ne passe pas par l'axe des z, mais que T est sur le cône C.
Supposons d'abord que l'équation F = o est linéaire.
Théorème II. — Dans ce cas, V intégrale z peut s' exprimer en égalant à zéro une fonction y holomorphe par rapport à z et aux Xy et s" annulant avec ces variables y pourvu que, si
Qi =■ K|, . . . , cp„ = K„
représentent les intégrales du système (4), «fi, 92» •••» ?/i s'annulent avec z et les x, z — ^et B ne s'annulent pas identiquement à la fois quand tous les f sont nuls.
En efl^et, si une pareille expression de l'intégrale existe, elle pourra s'écrire
lio) <I>(9„ 9,, . . .,9„) =0;
Ço 92, . . .f (Pnf étant les fonctions qui, égalées à des constantes, représentent les intégrales du système (4)9 sont, comme on l'a vu (résolu-
tion (lu Problënie II), holomorpbes par rapport à z et aux x et s'annulent avec ces variables.
De plus, $ devra être identiquement nul quand on aura à la fois
(il) 2 — P = 0, Ô— O.
Faisons un changement de variables en prenant pour variables nouvelles a?,, 9i. fo» « • » ?«; nous aurons
les ^ étant holomorpbes par rapport à a-, et aux ç? et s*annulant avec ces variables. (Foir la résolution du Problème II.) Les équations (i i) deviennent alors
B et C étant holomorpbes par rapport à x^ et aux 9 et s'annulant avec ces variables.
On trouverait l'intégrale (10) en éliminant a?, entre ces deux équations.
Or B et C ne peuven-t être identiquement nuls, quel que soit x, quand les 9 s'annulent, sans quoi l'on aurait identiquement
2— pi=:0, =
quand
ce qui est contraire aux hypothèses faites en commençant.
On pourra donc tirer (Lemme III) de C = o, par exemple, .r, en fonction algébroïde des 9; si Ton substitue cette valeur de x, dans B, cette dernière fonction devient algébroïde par rapport aux 9, c'est-àdire qu'elle est liée aux 9 par une équation de la forme
où les  sont holomorpbes par rapport aux 9.
L'équation B = o estalors équivalente à Ao = o, et le premier membre de cette équation, qui n'est aulre que l'intégrale (10) cherchée, est holomorphe par rapport aux 9.
Donc, si l'on remplace les 9 par leurs valeurs, A^ devient une fonc-
tion <b holomorphe en z^cct, x^y.... x„ et s'annulaDt avec ces variables^ el l'intégrale cherchée s'exprime en égalant celte fonction à zéro, ce quMI fallait démontrer.
« TROISlfcME CAS.
Les y restent finis, la condition (9) n'est pas remplie, mais l'équation F = o n*est pas linéaire.
Théorkme III. — Dans ce cas, l'intégrale z peut s'exprimer en égalant à zéro n-h i fonctions F,, Fj, ...» F„+, holomorphes par rapport à 5, J7,, 372, • • • • ^rn Pi ""J^M /'2~~y2» • • • ^Pn-^Xn ^^ s'annulant avec ces variables^ pourvu que, si
Çi = K|, Çj = Kj, ..., ç,„ = K
in
représentent les intégrales du système IV, si (p^^ Ça» • • • 1 ?2« s^annulent quand z et les x se réduisent à zéro et les p aux y, z — ^, p^ — coi ,/)2 —- «2, . ,.,p„ — co„, ne s' annulent pas identiquement à la fois quand
?i = 9i ==..• = 9ïii = O.
En effet, en raisonnant comme on l'a fait pour le théorème précé* dent, on verrait que pour obtenir l'intégrale cherchée il suffit : 1® De changer de variables en posant
les ^ étant les fonctions qui sont définies dans la résolution des équations (4) sous la forme (6);
2^ De faire cette substitution dans les premiers membres des équations
2 — (3 = o, p, — &), = o, . . . , fn— (à^—o, 6 = 0,
qui deviennent alors
B| = o, Bs =: o, . . . , B«4., =• o, B»+j -r: O,
les B étant des fonctions holomorphes de x^ et des f s'annulant avec ces variables; 3° D'éliminer 0?, entre ces /i 4- 2 équations.
Or Bo 62, .. , hn+2 ne peuvent être identiquemeDt nuls à la (ois, quel que soit a?,, quand les f s'annulent, à cause de la condition de restriction posée au début. Supposons, par exemple, que ce soit B„^.2 qui ne s'annule pas identiquement dans ce cas.
On pourra tirer de Bn+2 = oxt en fonction algébroïJe des ç; substituant cette valeur de x^ dans B^ , B^, . . . , B;,^i , ces fonctions devien • nent algébroïdes par rapport aux f (Corollaire II duLemme III).
L'intégrale s*exprime donc en égalant à zéro n-f- 1 fonctions algébroïdes des^, ou, ce qui revient au même, en annulant /i-f- 1 fonctions bolomorphes des 9 ou, ce qui revient encore au même, /i -t- 1 fonctions holomorphes en z, Xt^x^f ...» ^«./^i — Ji» P^'-y ^Pn—yn*
Théorème IV. — Si^ dans le troisième cas, z ou les p ne prennent pas une forme indéterminée quand les x s'annulent^ z est une fonction algébroîde des x.
En effet, on vient de voir que l'intégrale cherchée s'exprimait en égalant à zéro n-hi fonctions holomorphes en z, a?,, x^, ..-, x^, A^i — Xi»jP2— 72» ••••/^/i— JKn et s'annulant quand on égalez et lésa? à zéro et leis/> aux y.
Soient
Hi = H3 = Hj = . . . = Ijfi4.i =: o
ces /i+i équations. Si ces équations restent distinctes quand les ^ s'annulent, on pourra leur appliquer le lemme IV.
Mais dire qu'elles ne sont pas distinctes, c'est dire que z ou les/? cessent d'être déterminés quand les x s'annulent. Or cela n'a pas lieu, par hypothèse; donc le lemme IV est applicable, donc z est une fonction algébroîde des x. c. q. f. d.
Remarque I. — Il est facile, dans le cas de deux variables, de trouver une interprétation géométrique des conditions de restriction posées dans l'énoncé du théorème précédent.
Dire en effet que z cesse d'être déterminé quand x %iy s'annulent, c'est dire que la surface S passe par l'axe des z.
Dire que/> et q cessent d'être déterminés quand x eiy s'annulent, c'est dire que la surface S présente un point conique à Torigine.
Si aucun de ces deux cas ne se présente, le théorème IV est applicable.
Hemarque 11. — Dans le second cas, les /i+ i équations
se réduisent à une seule où n'entrent pas les/;.
Le théorème IV sera donc applicable toutes les fois que :; ne deviendra pas indéterminé quand on annulera les x.
Théorème V. — Dans le deuxième et le troisième cas, V intégrale chercitée peut s'exprimer en égalant z et les x à des fonctions algébroides de n nouvelles variables fJi|, /Xj, . . ., fx,,.
En effet, il suffit» pour démontrer ce théorème, de se reporter aux équations
H| = Hi = . . . r~ H« = o
et de leur appliquer le lemme VI.
Les premiers membres de ces équations sont holomorphes par rapport à z,p^ —Jif P^ — J21 • • •^Pn—yn^ ^1» . . .. ^n. Donc z, x^ r,^
peuvent s'exprimer en fonctions algébroides de n variables auxiliaires
Exemple L — Soit à trouver une intégrale de l'équation qui se réduise 9l x-^x^ quand ou y fait Les équations (4) > qui s'écrivent
dx dy dz
ont pour intégrales
(6" 2rrrJ^-^K,, V=:ra:-+-K,.
( 36 ) • En remplaçant zety par leurs valeurs (6) dans les équations
il vient
ou, éliminant x^
Ka Vi
OU
{Z'-'xY={y — xY.
On était placé dans le second cas, car Téquation proposée est linéaire et
dx dy
(?est pourquoi on est arrivé à exprimer l'intégrale en égalant k zéro une fonction holomorphe en x^ y, z:
de plus, cette fonction ne s'annule pas, quel que soit z, quand x=y = o.
Donc le théorème IV s'applique et z est algébroîde en x et txxy.
Exemple IL — Soit à trouver une intégrale de Téquation
qui se réduise à - quand on fait
On est encore placé dans le second cas, car l'équation est linéaire et la condition (9) n'est pas remplie. Le théorème II- s'applique donc. Les équations (4)f qui s'écrivent
dx ^dz dy
ont pour intégrales
(5) z — JC = K„ a»-h/ — ^=:Ka,
(6) 2 = ar-f-KM ^ =^ "^ ï^» — (* "^ K,)»;
(3?) en remplaçante^ elz par leurs valeurs (6) dans les équations
il vient
ou, éliminant â?,
ou
(la) [z^-hy —x) — {z — xY = Oj
qui est Tintégrale cherchée, exprimée par une équation dont le second membre est zéro et le premier une fonction holomorphe en a;, j, z. Mais ici Téquation (12) est satisfaite, quel que soit js, quand
Le théorème lY ne s'applique donc pas.
Exemple IIL — Soit à trouver l'intégrale de
qui se réduit a - pour 7= -• Les dérivées partielles/? et ^ sont alors assujetties à se réduire quand
q = — iqi2 ^3x,
Les valeurs initiales de p et q sont 1 et — i, et par conséquent finies;, de plus, la condition (9) n'est pas remplie; on est donc dans le troisième cas, et le théorème III s'applique.
Les équations (4)f qui s'écrivent
dp r/q (ix dy
i I np I '
ont pour intégrales
(5) jr-^ p=zKt, q= p =Kiy P^-^ i — :r — 7=Kj,
(6) q=:K,-hp, y = Ki-i-p, a? = />'-t-K,— K,— K,.
( 38 ■ Si, dans les équations
on remplace q^y et a? par leurs valeurs (6), il vient
(p - i)-~ 3/>^- 3K, -^- SK, -f- 3Ks:= o.
Ces équations peuvent s'écrire
2K,-M = (/>— i)»-ha, (/; — i)':i^3/>M 3a;
en posant, pour abréger,
K: — Ki — K3 =^ a,
d'où
et remplaçant dans la première équation p par sa valeur, il vient
Si dans cette relation on remplace a par K2 ~ K, — K,, puis K, et K, par leurs valeurs (5), K, par zéro, ce qui peut toujours se faire, puisque
on aura une équation entre /?, ^, x.y dont les deux membres sont holomorphes par rapport à ces variables.
Cette relation, jointe à
définit j9 et q en fonction de x et de y.
Si dans l'équation
on avait remplacé «et a? par leurs valeurs (6), puis /i par sa valeur (i3).
puis E|, K3, K, par leurs valeurs (5), on aurait obtenu une équation dont les deux menr)bres auraient été holomorphes par rapport à z, x, y,
z^ p eiq se seraient alors trouvés définis par trois équations ayant leurs deux membres holomorphes en 2, x, j, p, g, comme Texige le théorème III.
Voyons maintenant si le théorème IV s'applique.
Pour cela, voyons si, en substituant dans Téquation (i4)» à la place de a, K, — Kj— Kj, à la place deK|, K2, K, leurs valeurs (5), enfin, en faisant x = jr = o^ Téquation en p et en q que l'on obtient ainsi est distincte de/^^ + ç = o. Mais si, dans les expressions (5), on fait
il vient
L'équation (i/j) transformée ne contient pas q; donc elle est distincte de/>, -4- 9 = o, pourvu qu'elle ne se réduise pas ^ une identité. Or on voit facilement que son premier membre est du degré 2 en/?, tandis que le second membre est du degré 4* Donc les deux équations sont distinctes. Donc, en vertu du lemme IV, on peut tirer de l'équation (i4) non transformée et de
p eiq en fonctions algébro'ides de x et de 7.
Donc z sera aussi une fonction algébroïde de x et y. Donc le théorème IV s'applique.
Calcul des coefficients.
Dans les exemples qui précèdent, on a formé les fonctions H4, Hj. --m H;,^, qui, égalées à zéro, donnent l'expression de l'intégrale par la méthode même qui a servi à en démontrer l'existence; mais, en général, il est préférable d'en calculer directement les coefficients par le procédé que je vais exposer rapidement.
Équations linéaires sans terme constant.
Soit l'équation
' dx ^ ^ iïx ^" " dx "" •
et soit à en trouver une intégrale qui se réduise à
quand on a
On a vu que pour trouver celte intégrale il faut : 1^ Remplacer â?2» • • •» ^n p^i* les expressions
(6) ^t=+i, ..., Xn^^nX
les expressions 7 — ^9 d deviennent alors holomorphes par rapport ^x^ et a 9i, 92, . . ., 9»o
0? Résoudre par rapporta ^1 l'équation
ainsi transforniée et remplacer x^ par «a valeur dans l'équation
également transformée; 3^ Remplacer dans l'équation
après cette double transformation, f|, 92* •'•> ?n-i par leurs valeurs en fonction de 0^4, x^, . . ., a?;,.
Si dans l'équation 6 = o, après sa transformation, la première des dérivées partielles de Q par rapport h x^ . qui ne s'annule pas avec les x,
est T-TT) cel'l^e équation donne r^f en fonction algébroïde de degré m, de
?i» 92' •••» ?ii-M <lonc 9 est également algébroïde de degré m en 94, » o^^ (fn-\ « et par conséquent en x^ » x^^ . • . > ^,1.
Si» par exemple» on a
de d'B .
quand les x sont nuls, tp sera donné par une équation de la forme
où Ao et A| sont holomorphesen^?!» a?,» ...» x^.
Ce sont les coefficients des deux séries Aq, A| qu'il s*agitde calculer.
Pour que ce qui suit soit plus clair» nous emploierons les notations suivantes.
Nous poserons
. ^ du ^ du __ du
u étant une fonction quelconque
A»a = A(Aw), ...» A"tt=: A(A"-'ii).
De plus, nous remarquerons que» dans les calculs qui servent à démontrer Texistence des fonctions Aof A,» on a employé deux systèmes de variables :
Nous représenterons les dérivées partielles par le symbole d quand les variables (i4) seront choisies comme variables indépendantes, par le symbole D quand ce seront les variables (i5) qui joueront le même rôle. Cela posé, voyons d'abord ce que signifient les conditions
qui doivent être remplies pour que 9 soit algébroïde de degré m. On a
d^rfe^ dO^d^ dO^d^ dO^ dvj^
ôXi dxx dxi dxx dxz dxx ' dxà dxi
Or
dx,
dx,
Donc
^ dB ^ d9 ^ ^ V ''^ \fl
Or X« n'est pas nul, on peut toujours le supposer. Donc la condition
dB
équivaut à
De même,
Donc les conditions
ôxt dx^.
équivalent k
Donc les conditions (i6) équivalent à
Donc, si le premier des Ad, qui ne s'annule pas avec les x, est A"'^, 7 est algébroide de degré m par rapport aux x et s'exprime par l'équation
Je dis qu'on a identiquement
là- -h A«,-,15'"-'-f-...4- A,p-f- A.~Xe,
X étant une fonction holomorphe par rapport aux x, et, de plus,
AAo= AA| = . . . = A A«-, = o.
En efTet, posons
0,= $(xiy 9,, . . ., 9«^,)
et considérons 6^ comme une nouvelle variable. On peut tirer a*,, en fonction algébroîde de degré m, de f ,,..., 9;i.( etded«. Soient
les m valeurs de a?( ; toute fonction symétrique de ces m valeurs est liolomorphe en 9,, . . ., f^-ii ô,.
Soient
les m valeurs que prend |3 quand on y remplace Xt par v
Soient Bo, Bo .... B^-i les coefficients de Téquation
à laquelle satisfont ces m valeurs de |3.
Ces B seront des fonctions bolomorphes en x\, . . ., o:'^' et en y, , . . ., ç«.,, et symétriques par rapport aux m premières variables. Donc ce seront des fonctions bolomorphes en f,» ...» f^,.,, &,.
Éliminer a::< entre les équations
OÙ Ton considère les variables (i5) comme variables indépendantes,
c'est éliminer ô, entre
Donc, en faisant $, = o dans
ces fonctions se réduisent à
Les A étant fonctions des 9 seulement, on a identiquement
AA«= AAi = . . . = AA«-i== o.
De plus, on a idenliquement
Bo= Ao-l" /«wi, B| = Al 4- A|7i, •••9 Bi«i = A»— I -♦- Ajii— 1 7i,-
les X étant holomorphes en ^i , f 2, ...» (pn-^i » d| • Or |3 satisfait identique^ ment à Téquation (17). Donc on a identiquement
X étant holomorphe en 9^ f,, ..., 9,,^,» $,, ou, en reprenant les variables (14)9
(18) {î'"-4-A«,(3—»+...-f-A.(3-f-A.==Xe,
X étant holomorphe en ^Ti, 0^2, ..., 07;,. c. q. f. n.
L'existence des fonctions A qui satisfont à ces conditions est dé^ montrée; il reste à trouver leurs coefficients. Pour cela, nous supposerons que Ton n'ait que trois variables a;,, a?,, ^3 et que
c'est-à-dire m = 2.
Prenons le A des deux membres de l'équation (18); il viendra, puisque AA^ = AA, = o,
fig) Ap^^-AiAp^XA^-ffiAX.
Cette équation et celles que l'on obtient en la différentiant un nombre quelconque de fois par rapport à chacune des variables nous donne* ront, quand on y annulera les a?, des relations entre les coefficients de A| et de X, et ce sont ces relations qui vont nous servir a les déter* miner.
Si U est la différence des deux membres de l'équation (19), on calculera donc les coefficients de A| et de X a l'aide des équations
rfU rfU rfC rf»U rf'U
dxi dxt dXi dx\ dxydx^
où
Mais on peut remplacer le système
rfU rfU rfU
dxi dxt dxi
par le système
— — — — AU — o
dxi dXi
et le système
rf»U d*U rf»U
dx\ ~
rf'U
dx\ ~
rf'U dx\
rf'U
rf'U
dxxdxi dxidxt dx^dx^
par
" ' rf'U rfAU rfAU ^,^j ^
rfjrj dxtdx, dx] dx^ "" rfj?, "^
et ainsi de suite.
Ce seront ces nouveaux systèmes que nous emploierons à la place des anciens.
PBBHIBR CAS.
Ap>o.
Dans ce cas, Téquation U = o donne A| =o; Téquation A'^U = o ne contient que
Les équations
t>r=:AU = A'U = A«U=..,
nous fourniront donc
Ay ajkAy A Ay '* t • •
L'équation ^ =o ne contient que A, et ^; elle permet donc de
calculer ce dernier coefficient.
rfA^U L'équation , = o ne contient que A,, des termes de la forme
rfA. jûQ rfAX rfA" 'X
dXi dxx dx^ ■ " * ' dx^
Les équations
nous permettront donc de calculer
dk dM
dxx dxx
De même, si D esl le symbole d'un nombre quelconque de différentiations par rapport à j:^, et à «r,» les équations
o=DU=:D(AU)=:D(A»U)=...
permettront de calculer
pourvu que Ton ait résolu préalablement le même problème pour les diiïérenlielles de A«, X, AX, ..., d'ordre inférieur à celui de D.
Quand on connaîtra les coefficients de » et de X, rien ne sera plu« facile que de calculer ceux de Ao, et alors 9 sera connu, puisqu'il suffira de poser
DBUXIÈMB CAS.
Ap>.o, A0 = A»0 = o, A'e>o.
Dans ce cas, 9 se présente sous la forme
cp'-h A»9 -4^ A, 9 -h A*:= o,
et Ton a identiquement
P^-f-A,P'-f- A,(S4-A.= X6, AA3= AA,= AA.= o. /
On part, comme précédemment, de Téquation
et (les équations oblenues en la difTérentiant , et Ton voit facilement que
U = o donne A,,
AU = o » A„
A>U = o I) AX,
dV àx,
dx,
dx,
rfA'U
•dx,
rfA,
dxx
dxi
dl dxx
dM
ei, en général,
DU = o donne DA,,
DAU = o I) DA„
DA^Unzo » DX,
DA*U=o » DAX,
Connaissant A,, A^^ et X, on connaîtra dont* A«.
TROlSiÈHt CAS.
Dans ce cas, Téqualion
se réduit à une identité.
Les équations de la forme DU:=o ne contiennent plus DA|» nuiîs seulement des dérivées de A^ d'ordre inférieur à celui de D,
Dans ce cas,
A*U= ^— = -T— = AU = o donne A„ X, AX,
D,U-D,AU-D.A>U-o
