SIXIÈME CAS

oj,, wo, . . . , M„ ne restent pas déterminés quand ar, r= .r, =:...= .r„ = o.

(^'est ce (jui arrive (juand

l'I (|ii('. pai' conséi|iiont, les é(ni;itiniis

'"' (Ix, ~ ,1.1 , '

ilx„ ' <l.r„

ne rcsleiit pas ilistinctcs (jiiaïul on y annule lésa-.

Soil y,, y., y„ un système quelconque de valeurs tjui, sulislilué

a In place de ',>^, <„., o),, dans les équations (24), y satisfont quand

les X s'annulent.

Supposons qu'on veuille éludier un élément de la i'oruiidn ; tel (|ue

^1. •î'o r„ soient suf'lisammenl voisins de zéro cl (|ue /;,, p. [>„

soient snllisamment voisins de y,, y, y„; |>ar exemple, sup|)us()ns

que l'on se trouve dans le cas de deux variables cl (|ue

soit considéré comme représentant une surface. Puisque /j, et /j., ne sont pas déterminés (juand

la surface présente un point coni(jiie :i l'origine, et l'on se piopose d'étudier, non pas toute la partie de la surface qui est snllisamment voisine du point conique, mais la partie de celte surface qui est limitée |iar deux courbes se croisant ;i l'origine.

Il est clair (jue l'on obtiendra rintéi:jrale cliercbée en épalanl à zéro n intégrales de l'équation

dx,

dv\ d-^ V '/'•' l <>'^ <l'A

■dz)dj;,~ldf.[dx.^i'',h) ^"'

( 68 ) qui se réduisent respectivement ;i

quanil on a

' ' dXi j (/x-i dx, \' ' dxt

( i^\ 'IL- 'lli , !^ \ ' dxi j dx, dx, \' ' dx^

f / ^\ ^0 (l£ / d^\ \ \ dxj dx„ dx, \" dx„i

Les expressions (aG) sont liolomorplies en Xf,^^, r„, :;, />, —7,,

7^2-72. •■■,Pn-'lu-

Donc les n intégrales de l'équaiion (aS) sont algébroïdes par rapport aux mêmes variables. Si ces intégrales sont o ^, 'f^, ...,ç„, les équations

O. = œ, =r . . . = cp :^ O

sont é(|uivalentes à n équations

où les II sont liolomorphes en .r,, .r^, . . ., a-,,, z, p, — 7,, />.^ — -i.,, . . .^

Les équations (27), jointes à l'équation pi'oposée

fournissent l'expression implicite de l'intégrale clicrcliéc s et de ses

dérivées du premier ordre /;,,/^j />„ en fonction de j:,, a-j, .... ,r„,

c'est-à-dire (jue le théorème III est toujours applicable.

DEUXIÈMK PARTIE.

Éïi'DE ni-.s r.AS or l'on a a i.a fois