CI.NOLIÈME CAS
Les w ne restent pas finis, mais restent déterminés quand les x s'annulent.
Si l'intégrale est assujettie :i se réduire à .i quand v = o, les m iiou.< seront donnés par les équations
dx, ' dx,
«j-j dx-,
OÙ «,, «2 'j„ sont les inconnues clierchées, X un paramètre à éliminer et F, ce que devient F quand on y remplace :; par ,3 et /;,.
pi' ■ ■ ■■< Pn P^r '^h' «2> • • •> '^^n-
Si, dans les équations (20), on fait
.r, = jTj = . . = x„ =: z ^ o,
ces équations deviennent algébriques; elles donnent donc toujours
A,, Ao A„, A„H| étant des fonctions algébriques des coeflicients
de F,, de ,5 et de 5, qui restent finies quand ces coefficients restent eux-mêmes finis.
Si
Vi. '/a. ■ • •• '/;/. c'est-à-dire les valeurs que prennent w,, w^, . . ., 'w„ pour ,r, = o-^ = . . . = iT,, = o, sont finis et déterminés. C'est ce que nous avons toujours supposé jus(|u'i( i.
Si, au contraire,
les Y ru" restent pa^ finis; supposons que l'on n'ait pas à la l'ois
soit, par exemple,
On changera de variables, et, au lieu de considérer z comme fonclidii
(le ,1,, X.,, .... x,„ on considérera ce, comme fonction de z, x., ..., a„.
Soient 7,, </;, .. -, q,, les dérivées de x, par rapport à :;, x.,, .... x„ ;
soient '-,)' , co',, . . ., 'o„ les valeurs que prennent ces dérivées (juand on
fait 5 = 0; soit F., ce que devient F, ([uand on y remplace '■>,, ',>■. '■•>/,
,^ai. J, l*-,2-i, ,.., — ^', i)uis (lu'on rend la fonction ainsi
' 6)', 0)' &>' ÛJ, ' '
obtenue entière en la multipliant par une puissance convenable de w', . w' , '>ù, ..., w'„ seront donnés par les équations
rt'3
rfx, «X, •
dl
r/x, ' rtx,
dl>
dXn
(/x, ax,
, r/3 , , r/0 ' dxi itx,
, dp . , d6
I 0), — Oj — »»„ w,
Vi, 0/2 'j)'„ r('>lent donc finis et déterminés quand
Il en résulte ipie l'on est ramené aux cas déjà étudiés, et que l'on peut
olttunir l'expression implicite de l'intégrale en égalant à zéro n + i fonctions liolomorphes en z,x^,X2, ..., x„, q, — -/\, ^2— v'oi •■•,Ç>^ — '/n< Vi ■ Vs' •••' 7" étant ce que deviennent w\, o/^, ••-, 'j''„ pour
(l'est une propriété analogue au théorème III. lixemple. — Soit l'équation
et supposons qu'on veuille étudier l'intégrale de cette équation, qui est assujettie à se réduire à
quand on y fait
'j, et wo sont donnés par les équations
',i] — m] =r I, 1 -^- iXx = «, + w. I + 2.r, j;
on en tirerait deux valeurs de w, et deux valeurs de <,).. en fonctions de a-,, el il est aisé de voir que, quand a?, s'annule, l'une des valeurs de &), et l'une des valeurs de w, deviennent infinies.
Considérons alors a-, comme fonction de a;, et de z.
Soit
r/.rj </x-.
9' = Z?,' 'l'^Th'
d'où
L'é(iuation donnée devient
et il s'agit d'étudier l'intégrale de cette éciualiou , ipii se réduit it x^ + ar'; (juand on fait ;; = .r, --t- ix'] ; o/, et o;'., sont alois donnés par
Cl)',- — w'/ ;= 1 1, I + 2X| = &)', 4- &)', (2 + 2,r, ,1,
( 55 ) <|iii. |)oiir X, = o, se réiluiseiil à
'/(], ' (Iq, ^
dx.
Pour .r, = o, il viciu
M enfin
ilq, ' dq: ' dx, ' dz
</F f/6 ^F <fj , </ç , dx, dq^ dz '
Donc la condition (9), qui se rcduil ici ;i
dV dO dV dO .
dq, dx, dq, dz - «■si remplie.
Donc a\ est f'onclion lioloniorplic tic .c, cl de r. Soient
(ai) .r.. -: q,x,-\- q,z -\ x; -\- s,x,z -\ z^ -~ . . .
les premiers ternies de la série (]ui représenle celle fonction. <j , esl nul; y, est égal à 1, comme on l'a déjii vu; quanta /■,, s,, /,, nous le< obtiendrons de la manière suivante. Dillercntions
|)ar rapport à ,r et à z, puis faisons j? ~ s = o ; il viendra (22) q,r,— q,s, zi^ o, q,s, - q.l, -- o.
Faisons mainlenant dans (21)
Xj^^Xt-hx], z ^-. o.x,— x] ,
( 56 ) et égalons les coefficients de x-^\ nous aurons
mais, si nous remarquons que, pour ,r, = o, rj, = \, q., = o, nous verrons que les équations (22) et (2^) se réduisent à
Donc /, n'est pas nul; donc, en vertu du lemme III, z est algébroïdc de degré 2 en x^ et en x^.
Interprétation géométrique. — A quoi correspond géométriquement le cas que nous venons d'examiner quand on n'a que trois variables .r,, X., et z et que, par conséquent, toute expression de z est fonction de x^ et de x^'l
Il est aisé de voir, en se reportant à ce qui a été dit à ce sujet à propos des cas précédents et reprenant les mêmes notations, que le plan tangent P, mené par la droite Tau cône C, est alors parallèle à l'axe des 2; mais, comme il ne peut être en même temps parallèle aux trois axes de coordonnées, on peut toujours employer un artifice, qui consiste à étudier la surface S, non plus comme définie par une équation où z est égalé à une fonction de a-, et de X2, mais comme définie par une équation où ^r.,, par exemple, est égalé h une fonction de a-, et de z. Comme le plan P n'est plus alors parallèle à l'axe des x^, la difficulté a disparu. Tel est le sens géométrique de l'artifice analytique qui vient de nous permettre de tourner la difliciillé.
